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鹰潭市 2024 届高三第一次模拟考试
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．时间120分钟．满分150
分．
第Ⅰ卷选择题
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂在答题卡上．
1. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的模公式及复数除法法则即可得解.
【详解】因为 ，
所以由 ，得 .
故选：B.
2. 已知集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解一元二次不等式求出集合A及 ，根据集合的包含关系求出结果.
【详解】因为 ，
或 ，
因为集合 ， ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司故选：A.
3. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Florence Nightingale）设计的，图中每个
扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿
人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法正确的是（ ）
A. 2015年至2022年，知识付费用户数量先增加后减少
B. 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2022年最多
C. 2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增
D. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
【答案】D
【解析】
【分析】利用题中所给的南丁格尔玫瑰图逐一考查所给选项，即可得解.
【详解】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A错误；
对于BC，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：
2016年， ；2017年， ；
2018年， ；2019年， ；
2020年， ；2021年， ；
2022年， ；
则知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，
知识付费用户数量的逐年增加量不是逐年递增，故BC错误；
对于D，由 ，
则2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故D正确.
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司4. 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间直线与平面，平面与平面的位置关系判断ACD，利用空间向量判断线面位置关系，从而
判断B，由此得解.
【详解】对于A，若 ， ，则有可能 ，故A错误；
对于B，若 ， ，则直线 的方向向量 分别为平面 法向量，
又 ，即 ，所以 ，故B正确；
对于C，若 ， ，则有可能 ，故C错误；
对于D，若 ， ，则有可能 ，故D错误.
故选：B.
5. 某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．
其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为 ，
则单位职工体重的方差为（ ）
A. 166 B. 167 C. 168 D. 169
【答案】D
【解析】
【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可得解.
【详解】依题意，单位职工平均体重为 ，
则单位职工体重的方差为 .
故选：D.
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学科网（北京）股份有限公司6. 已知 ， ， =（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正切的和差公式化简求得 ，再利用三角函数诱导公式与三角恒等变换，结合正余弦
的齐次式法即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，即 ，解得 ，
所以
.
故选：D.
7. 已知椭圆 ： 的左焦点为 ，如图，过点 作倾斜角为 的直线与椭圆 交
于 ， 两点， 为线段 的中点，若 （ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（
）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意求出 点坐标，再利用点差法求得 ，进而可得椭圆离心率.
【详解】依题意，椭圆的左焦点为 ， ，
过 作 轴，垂足为 ，由 ，
得 ， ，则 ，
设 ，则有 ， ，
由 ，两式相减得 ，
则有 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：B.
8. 在满足 ， 的实数对 中，使得 成
立的正整数 的最大值为（ ）
A. 22 B. 23 C. 30 D. 31
【答案】C
【解析】
【分析】由 得 ，构造函数 ，利用导数求得 的单调性，求
得 的取值范围，结合不等式的知识即可得解.
【详解】因 为， ，所以 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，又 ， ，
要使得 成立，只需 ，即 ，
所以正整数 的最大值为 .
故选：C.
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是由 变换得 ，从而得以构造函数
，由此得解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目的要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图所示，已知角 的始边为 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 ，
为线段 的中点，射线 与单位圆交于点 ，则（ ）
A.
B.
C. 点 的坐标为
D. 点 的坐标为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断
C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A：因为 ， ，所以 ，正确；
对于B：依题意 为线段 的中点，则 ，则 ，
又 ，所以 ，正确；
对于C： 为线段 的中点，射线 与单位圆交于点 ，则 为 的中点，
所以 ，
又 ，所以点 的坐标为 ，正确；
对于D：
，
，
所以点 的坐标为 ，错误.
故选：ABC
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学科网（北京）股份有限公司10. 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 为 的面积，且 ， ，
下列选项正确的是（ ）
A.
B. 若 ，则 只有一解
C. 若 为锐角三角形，则 取值范围是
D. 若 为 边上的中点，则 的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用平面向量数量积公式及三角形面积公式可判定 A，直接解三角形可判定B，利用角的范围结
合正弦定理可判定C，利用平面向量中线的性质及数量积公式结合余弦定理、基本不等式可判定D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 ，则 ， ，故 只有一解，故B正确；
对于C，若 为锐角三角形，则 ， ，
则 ，则 ，即 ，
由正弦定理可知： ，故C错误；
对于D，若D为 边上的中点，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以
由余弦定理知 ，得 ，
又 ，所以 ，
当且仅当 时取得等号，
所以 ，
即 ，故D正确.
故选：ABD.
11. 直四棱柱 的所有棱长都为4， ，点 在四边形 及其内部运动，
且满足 ，则下列选项正确的是（ ）
A. 点 的轨迹的长度为 .
B. 直线 与平面 所成的角为定值．
C. 点 到平面 的距离的最小值为 .
D. 的最小值为-2．
【答案】BC
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】建立空间直角坐标系，表示 ，化简后得点 的轨迹方程，得轨迹长度判断A；向
量法求线面角判断B，向量法求点到平面距离，结合点 的轨迹得最小值判断C；坐标表示向量数量积，
结合点 的轨迹最小值判断D.
【详解】直四棱柱 的所有棱长都为4，则底面 为菱形，
又 ，则 和 都是等边三角形，
设 与 相交于点 ，由 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴，过 垂直于底面的直
线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则有 ，
，
点 在四边形 及其内部运动，设 ， ，
由 ，有 ，
即 ，
所以点 的轨迹为 平面内，以 为圆心，2为半径的半圆弧，
所以点 的轨迹的长度为 ， A选项错误；
平面 的法向量为 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
又由 ，则 ，
所以直线 与平面 所成的角为定值， B选项正确；
，设平面 的一个法向量为 ，
则有 ，令 ，得 ， ，
所以点 到平面 的距离 ，
，所以 时， ，
所以点 到平面 的距离的最小值为 ，C选项正确；
，
，其几何意义为点 到点 距离的平方减12，
由 ，点 到点 距离最小值为 ，
的最小值为 ，D选项错误.
.
故选：BC
【点睛】方法点睛：
空间几何体中的相关问题，要利用好几何体本身的结构特征，点线面的位置关系，图形中的角度和距离等，
建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，也是常用的方法.
第Ⅱ卷非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
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学科网（北京）股份有限公司12. 的展开式中 的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得 的展开式通项，令 ，求出 回代到通项公式中去即可求解.
【详解】 的展开式通项为 ，
由题意令 ，解得 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
故答案为： .
13. 已知抛物线 的焦点为 ， 是 上的动点，过点 作直线 的垂线，垂足为
，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先分析得 的轨迹，再利用抛物线的定义，结合圆的性质数形结合即可得解.
【详解】如图所示，易知 ，直线 过定点 ，
因为 ，所以Q在以 为直径的圆上，
不妨设其圆心为 ，显然半径 ，
分别过 作准线 的垂线 ，垂足为 ，
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学科网（北京）股份有限公司结合抛物线定义有 ，
当且仅当 均在线段 上时取得等号.
故答案为： .
14. 已知函数 ， 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ，
，若 为偶函数，求 =______．
【答案】
【解析】
【分析】先利用复合函数的导数与 的奇偶性判断 的奇偶性，进而推得 与 的周期性，再
利用赋值法求得 的值，从而得解.
【详解】因为 是偶函数，则 ，
两边求导得 ，所以 是奇函数，故 ，
由 ，
代入 ，得 ，
则 ，所以 ，
又 是奇函数，所以 ，
所以 是周期函数，且周期为4，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，可知 也是以4为周期的周期函数，
令 ，得 ，故 ，
而 所以 ，
令 ，得 ，则 ，
而 ， ，
又 ，则 ，
，
故答案为： .
【点睛】结论点睛：函数的对称性与周期性：
（1）若 ，则函数 关于 中心对称；
（2）若 ，则函数 关于 对称；
（3）若 ，则函数 的周期为2a；
（4）若 ，则函数 的周期为2a.
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设 为数列 的前 项和，已知 是首项为 、公差为 的等差数列．
（1）求 的通项公式;
（2）令 ， 为数列 的前 项积，证明： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等差数列定义可得 ，再利用 与 的关系即可得解；
（2）由 与 可得 ，从而利用累乘法得到 ，进而得证.
【小问1详解】
因为 是首项为 、公差为 的等差数列，
故 ，
即 ，
当 时， ，
故
，
当 时， ，符合上式，
故 ；
【小问2详解】
由 ， ，
故 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
因为 ，故 .
16. 如图1，已知正三角形 边长为6，其中 ， ，现沿着 翻折，将点 翻
折到点 处，使得平面 平面 ， 为 中点，如图2．
（1）求异面直线 与 所成角的余弦值；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设O为BC的中点，结合图形翻折的性质推出 平面 ，从而建立空间直角坐标系，
求得相关线段长与相关点坐标，利用空间角的向量求法即可得解；
（2）分别求出平面 与平面 的法向量，根据空间角的向量法即可得解.
【
小问1详解】
取 的中点为 的中点为 ，连接 ， ， ，
因为正三角形 中， ， ，
所以 ，则四边形 为等腰梯形，
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学科网（北京）股份有限公司故 ；
由翻折性质可得 ， ,
则 ， 是 的中点， ，
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
以点 为坐标原点以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
因为正 的边长为 ，
则 为正三角形，边长为 ，则 ，
， ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
则 ，
，
异面直线所成角的取值范围为 ，
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学科网（北京）股份有限公司异面直线 与 所成角的余弦值为 .
【小问2详解】
由（1）得 ， ，
，
易得平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17. 2024年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现.
魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行
改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红
色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分
别从甲、乙两袋中取球．
的
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取 球颜色不同的概率；
（2）若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左
右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量 ，求 的分布列．
【答案】（1）
（2）分布列见解析
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据给定条件，利用古典概型及对立事件的概率公式即可得解；
（2）求出 的可能取值，再求出各个值对应的概率，求出分布列即可得解.
【小问1详解】
记事件 为“两手所取的球不同色”，事件 是两手所取球颜色相同，
则 ，所以 .
【小问2详解】
依题意， 的可能取值为 ，
左手所取的两球颜色相同的概率为 ，
右手所取的两球颜色相同的概率为 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 1 2
18. 已知在平面直角坐标系 中， ： ， ： ，平面内有一动点 ，过 作 交
于 ， 交 于 ，平行四边形 面积恒为1.
（1）求点 的轨迹方程并说明它是什么图形；
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学科网（北京）股份有限公司（2）记 轨迹为曲线 ， ，当 在 轴右侧且不在 轴上时，在 轴右侧的 上一点 满足
的
轴平分 ，且 不与 轴垂直或 是 的一条切线，求 与 ， 围成的三角形的面积最小
值.
【答案】（1） 或 ，图形为两组双曲线
（2）
【解析】
【分析】（1）联立直线的方程可得点 ，进而根据点到直线的距离公式，结合三角
形面积公式即可化简得轨迹方程，
（2）根据 满足 轴平分 ，确定 在 ： 上，即可联立直线直线与双曲线方程，利
用相切可得直线方程为 ： ，利用斜率之和可得直线 恒过定点 ，即可设直线方程为
，联立直线间的方程可得 坐标，即可由面积公式求解.
【小问1详解】
设点
则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
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学科网（北京）股份有限公司直线 的方程为 ，
点 到直线 的距离为
且 ，
因此， ，则 或 ，
因此 ： 或 ，图形为两组双曲线.
【小问2详解】
由题， 轴平分 ，若 在 上，则由于 在渐近线 下方， 无法与双曲线相切
且在 轴右侧最多一个交点，
故由对称性， 与 轴垂直，故舍去，
在 ： 上
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 与 斜率和为0， ，
若 斜率不存在时，由题，则 与 相切，设 ： ，
与 ： 联立得 ，
由相切，令判别式为0，即 ，解得 ，
此时 ，所以 ： ，
斜率存在时，由 ，得 ，则
，
整理得 ，故 恒过定点 ，且其斜率的绝对值大于渐近线的斜率，
设 ： ，与 交于 ，与 交于 ，
则 ， ，
联立解得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，当且仅当 ，即 斜率不存在时取等，
故面积的最小值为 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几
何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，
则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.
19. 设A是由 个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该
行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．
（1）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实
数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）：
1 2 3
1 0 1
表1
（2）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均
为非负整数，求整数a的所有可能值：
a
表2
（3）对由 个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每
行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数？请说明理由．
【答案】（1）答案见解析；
第24页/共28页
学科网（北京）股份有限公司（2） 或
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题中一次“操作”的含义，将原数表改变第4列，再改变第2行即可；或者改变第2行，
改变第4列也可得（写出一种即可）；
（2） 每一列所有数之和分别为2，0， ，0，每一行所有数之和分别为 ，1；①如果先操作第三列，
第一行之和为 ，第二行之和为 ，再考虑第二次操作，由此列出不等关系解得 ；②如果操作
第一行，再根据各列的和考虑第二次操作，由条件列不等式求 ，（3） 按要求对某行（或某列）操作一
次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增
大，从而也就使得数阵中mn个数之和增加，由此证明结论．
【小问1详解】
法1：
1 2 3 1 2 3 1 2 3
改变第四列 改变第二行
1 0 1 1 0 0
法2：
1 2 3 1 2 3 1 2 3
改变第二行 改变第四列
1 0 1 0 0
法3：
1 2 3 2 3 2 3
改变第一列 改变第四列
1 0 1 0 0
（写出一种即可）
【小问2详解】
数表A
每一列所有数之和分别为2，0， ，0，每一行所有数之和分别为 ，1;
①如果先操作第三列，则
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学科网（北京）股份有限公司则第一行之和为 ，第二行之和为 ，
若 ，则 ，即 ，
再操作第二行，则
此时第四列为负数，不满足要求；
若 ，则 ，即 ，
再操作第一行，则
由已知， ，又a为整数，
解得 或 ，
若 ，则
若 ，则
所以 或 满足要求，
②如果先操作第一行，则
第26页/共28页
学科网（北京）股份有限公司则第一列的所有数的和为 ，第二列的所有数的和为 ，
第三列的所有数的和为 ，第四列的所有数的和为 ，
若 ，则 ，与已知矛盾，
若 ，则 ，与已知矛盾，
若 ，则 ，又a为整数，
由已知 ，所以 或 ，
若 ，则
再操作第三列即可，
若 ，则
再操作第三列即可.
综上， 或 ，
【小问3详解】
按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该
行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中 个数之和增加，且增加的幅度大于等于
，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数
表中 个数之和必然小于等于 ，可见其增加的趋势必在有限次之后终止,终止之时必然所有的
行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后
根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但
是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不
第27页/共28页
学科网（北京）股份有限公司变应万变才是制胜法宝.
第28页/共28页
学科网（北京）股份有限公司
