周南中学2025届高三上学期第四阶段考试数学试卷_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年12月试卷_1208湖南省长沙市周南中学2024-2025学年高三上学期第四阶段模拟考试

周南中学 2025 届高三上学期第四阶段考试数学试卷 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 ， ，则 为( ) A. B. C . D. = 2.在复平面内，若i是虚数单位，复数 与 关于虚轴对称，则 ( ) A. B. C. D. 3.已知向量 ， ，若 ，则 =( ) A. −2 B. 0 C. 1 D. 2 4.下列命题中真命题是（ ） A. 命题 的否定 ； B. 已知直线 平面 ，直线 平面 ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件； C. 若随机变量 服从正态分布 ， ，则 ； x2  y2 4 4x3y50 D. 圆 上的点到直线 距离为1的点恰有3个. 5．已知函数 ，则函数 的零点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 6．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬 至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立 夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之 和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为 （ ） A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司7．已知 ，若函数 在 区间 上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数 的取值范围是 ( ) A. B． C． D． y  f(x) 8．在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数 y  f(x) 的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其 (0,1) 坐标为 ，则（ ） ex y  A. 函数y  f(x)x的最大值为1 B. 函数 f(x) 的最小值为1 f(x) y  C. 函数y  f(x)ex 的最大值为1 D. 函数 ex 的最小值为1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。 9.某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（ ） A．这14天日促销量的众数是214 B．这14天日促销量的中位数是196 C．这14天日促销量的极差为195 D．这14天日促销量的第80百分位数是243 试卷第2页，共3页 学科网（北京）股份有限公司10.已知椭圆 ： （ ）与双曲线 ： 有相同的焦点 ， ， 且它们的离心率之积为 ，点P是 与 的一个公共点，则（ ） A．椭圆 的方程为 B．三角形PFF 为等腰三角形 1 2 C．过点F 作E的一条渐近线的垂线，垂足为M, 则三角形MFF 面积为 2 1 2 D．对于 上的任意一点 ， 11.如图，在棱长为4的正方体 中，E，F分别是棱 ， 的中点， A B C D P是正方形 1 1 1 1内的动点，则下列结论正确的是（ ） A．若 平面 ，则点P的轨迹长度为 B．若 ，则点P的轨迹长度为 A B C D 1 1 1 1 C．若P是正方形 的中心，Q在线段EF上，则 的最小值为 D．若P是棱 的中点，三棱锥 的外接球球心为O，则平面ABCD 截球O所 1 1 得截面的面积为 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2ab1(a 0,b0) log alog b 12. 已知 ，则 2 2 的最大值为 . y2 8x 13. 抛物线 的焦点为F，A为y轴正半轴上的一点，射线FA与抛物线交于点B， |FB|,|BA|,| AM | |FA| 与抛物线准线交于点M. 若 成等差数列，则 . 14. 已知数列 {a n } ， a i (i 1,2,  ,n) 等可能取 1,0 或 1，数列 {b n } 满足 b 1 0 ，且 b b a b 0 n1 n n，则 5 的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演 算步骤。 15.(13分) 2ab  2cosB 在 ABC中，角A，B，C 对应的的三边分别是a，b，c，且 c .  （1）求角C的值; c1, 2tan A3tanB ABC  （2）若 ，求 的面积． 16．（15分） 如图，在三棱柱 中， ， ，侧面 是正方形， 为 的中点，二面角 的大小是 ． （1）求证：平面 平面 ； （2）若E为线段BD的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值． 试卷第4页，共3页 学科网（北京）股份有限公司17.（15分） a S 数列 为等差数列， n为正整数，其前n项和为 n，数列 为等比数列，且 {b } a 3, b 1，数列 a 是公比为64的等比数列，b S 64． 1 1 n 2 2 a ,b （1）求 n n； 1 1 1 3      （2）求证S S S 4． 1 2 n 18.（17分） x2 y2 1 已知椭圆  1(ab0)的左、右焦点分别为 ，离心率e ，点D在椭 : a2 b2 F,F 2 1 2    3 圆上，且DF 1 F 1 F 2 0, |DF 1 | 2 . （1）求椭圆的方程； （2）过点 F 1 的动直线  与椭圆交于A,B两点（不与椭圆的左、右顶点重合）.  ①当 的倾斜角为 时，求 的面积； 3 ! ABF  2 y ②点P为椭圆的右顶点，直线PA、PB分别与 轴相交于点M、N，求证：以MN 为直径的圆被x轴截得的弦长为定值. 试卷第5页，共3页 学科网（北京）股份有限公司19．（17分） f(x) 定义：如果函数 在定义域内，存在极大值 和极小值 ，且存在一个常数 ， 使 成立，则称函数 为极值可差比函数，常数 称为该函数的 1 f(x) x alnx 极值差比系数．已知函数 x ． 5 a (1)当 2时，判断 是否为极值可差比函数，并说明理由； (2)是否存在a使 的极值差比系数为 ？若存在，求出a的值；若不存在，请说明 理由； 3 2 5 a (3)若 2 2，求 的极值差比系数的取值范围． 试卷第6页，共3页 学科网（北京）股份有限公司