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无锡市 2023 年秋学期高三期中教学质量调研测试
数 学
2023.11.7
注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．若全集 U＝{1，2，3，4，5}，设集合 A＝{1，3}，B＝{2，3，4}．则 A∩( B)＝
U
( ▲ )
A．{1} B．{3} C．{1，3} D．{1，3，5}
2．已知复数z＝2－i，则z(＋i)的虚部为( ▲ )
A．－2 B．－1 C．6 D．2
3．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的是公式P ＝P(1＋k)n(k＞－
n 0
1)，其中P 为预测期人口数，P 为初期人口数，k为预测期内人口增长率，n为预测期间隔
n 0
年数．如果在某一时期k∈(－1，0)，那么在这期间人口数( ▲ )
A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变
4．已知sin(θ－)＝－，则cos(θ＋)＝( ▲ )
A． B．－ C． D．－
5．当x＝2时，函数f(x)＝x3＋bx2－12x取得极值，则f(x)在区间[－4，4]上的最大值为( ▲
)
A．8 B．12 C．16 D．32
6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ°C，空气的温度是θ°C，那么t
1 0
min后物体的温度θ(单位：°C)，可由公式θ＝θ ＋(θ －θ)e求得，其中k是一个随着物体与
0 1 0
空气的接触情况而定的常数．现有60°C的物体，放在15°C的空气中冷却，3分钟以后物
体的温度是42°C．则k的值为(精确到0.01) ( ▲ )
(参考数据：ln3≈1.0986，ln5≈1.6094)
A．0.51 B．0.28 C．0.17 D．0.07
7．记函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜)的最小正周期为T，且f(T)＝．将y＝f(x)的图象
向右平移个单位，所得图象关于y轴对称，则ω的最小值为( ▲ )
A．1 B．2 C．3 D．5
8．设函数f(x)＝x＋lnx，g(x)＝xlnx－1，h(x)＝1－＋＋在(0，＋∞)上的零点分别为a，b，
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学科网（北京）股份有限公司则a，b，c的大小顺序为( ▲ )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．平面向量a，b是夹角为60°的单位向量，向量c的模为，则|a＋b＋c|的值有可能为
( ▲ )
A．3 B．4 C．5 D．6
10．已知a＞0，b＞0，＋＝1，则下列说法正确的是( ▲ )
A．ab的最小值为12 B．a＋b的最小值为4
C．a2＋b2的最小值为24 D．＋的最小值为2
11．已知函数f(x)＝sinx＋，则( ▲ )
A．f(x)的最小正周期为π B．f(x)的最小值为0
C．y＝f(x)的图象关于点(π，1)对称 D．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
12．已知函数f(x)定义域为R，满足f(x＋1)＝f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝－4x(x－1)．则下
列结论正确的是( ▲ )
A．f(－)＝4 B．方程f(x)＝x共有三个不同实根
C．∑f()＝2－ D．使不等式f(x)≥成立的x的最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
13．已知集合A＝{x|(x＋1)(x－1)＜0}，非空集合B＝{x|m＜x＜1}．若“x∈A”是“x∈B”
的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ▲ ．
14．曲线y＝在点(－π，0)处的切线方程为 ▲ ．
15．设等差数列{a}的前n项和为S，S＝－2，S ＝0，S ＝3．则正整数k的值为 ▲
n n k k＋1 k＋2
．
16．圆O 与圆O 半径分别为1和2，两圆外切于点P，点A，B分别为圆O ，O 上的动点，
1 2 1 2
∠APB＝120°，则·的最小值为 ▲ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的
文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB＋bcosA＝．
(1)求C；
(2)若c＝6，AB边上的高等于2，求△ABC的周长．
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18．(本小题满分12分)
在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，点P在线段
DE上运动．
(1)当P为DE中点时，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值；
(2)若∠BAD＝60°，求·的取值范围．
▲ ▲ ▲
19．(本小题满分12分)
S 是等差数列{a}的前n项和，数列{b}满足b＝n－(－1)nS，a＋b＝3，a－b＝5．
n n n n n 1 1 2 2
(1)求数列{b}的通项公式；
n
(2)设数列{a}的前n项和为T．
n n
①求T ；
10
②若集合A＝{n|n≤100且T≤100，n∈N*}，求集合A中所有元素的和．
n
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学科网（北京）股份有限公司20．(本小题满分12分)
设函数f(x)＝log (＋a)(a∈R)，
2
(1)当a＝2时，求不等式f(x)＜2的解集：
(2)当a＞0时，若对任意t∈[，1]，函数f(x)在区间[t，t＋1]上的最大值与最小值的差不超过
1，求a的取值范围．
▲ ▲ ▲
21．(本小题满分12分)
各项均为正数的数列{a}的前n项和记为S，已知a＝1，且(S ＋1)a＝(S＋1)a 对
n n 1 n＋1 n n n＋1
一切n∈N*都成立．
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)在a 和a 之间插入k个数，使这k＋2个数组成等差数列，将插入的k个数之和记为
k k＋1
c，其中k＝1，2，…，n．求数列{c}的前n项和．
k n
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学科网（北京）股份有限公司22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝xlnx－ax2－x(a∈R)
(1)当a＝1时，求证：函数f(x)为减函数：
(2)若f(x)有两个极值点x，x(x＜x)，且lnx＋λlnx＞1＋λ恒成立，求正实数λ的取值范围．
1 2 1 2 1 2
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