四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题扫描版含答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年11月试卷_1109四川省成都市树德中学2024-2025学年高三上学期期中考试

树德中学高 2022 级高三上学期 11 月半期测试数学试题 命题人：张世军 审题人：叶强、杨世卿、严芬 一、高考资源网：单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是 符合要求的。 1、已知集合A=1,a+2,B=  a2,1,3  ，若对 高三数学半期 2024-11 第1页 共2页  x  A , 都有xB，则 a 为 A．1 B．−1 C．2 D．1或2 2、直线2x−y+2=0被圆 x − 1 2 + y − 2 2 = 4 ( ) ( ) 截得的弦长为 2 5 4 5 A． B． C． 5 5 5 D． 8 5 5 3、下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生 使用APP的结论正确的是 1 A．超过 的大学生更爱使用购物类APP 3 B．超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C．使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是 2 3 % D．APP使用目的中6个占比数字的 4 0 % 分位数是 3 4 .3 % 4、数列a 为等比数列，若a −a =15,a −a =6，则a 为 n 5 1 4 2 3 A．4 B．-4 C．4 D．不确定 5、已知实数x,y满足x y0，则下列不等式恒成立的是 xy 2 x+ y x y 2xy A． + 2 B．  xy  y C． + 4 D．  xy 2 xy 2 y x x+ y  6、已知四面体A−BCD的外接球半径为 2，若BC = 3,BDC = ，则四面体A−BCD的体积最大 3 值为 9 9 9+6 3 3+2 3 A． B． C． D． 4 2 4 4 7、设F 为抛物线:y2 =4x的焦点，过F 且倾斜角为60的直线交曲线  于A,B两点（ B 1 8、已知函数 f(x)= 的图象关于点 9−3x 在第一象限， |OB| A在第四象限），O为坐标原点，过A作的准线的垂线，垂足为M ，则 的值为 |OM | 1 1 A． B． C．2 D．3 3 2 P 对称，则点 P 的坐标是 A．  2 , 1 1 8  B．  2 , 1 9  C．  2 , 1 3  D． ( 0 , 0 ) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求； 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9、甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 再从乙罐中随机取出一球． A 1 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A 表示事件“从甲罐取出的球是白 2 球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是 A．A、 1 A 2 为对立事件 B． P ( B A 1 ) = 4 1 1 C． P ( B ) = 1 3 0 D．P(B A)+P(B A )=1 1 2 10、对于函数 f ( x ) = s i n x 与 =  −   g x s i n 3 x 6 ( ) ，下列说法正确的是 A． f ( x ) 与 g ( x ) 有相同零点 B．当x [0,2]时， f ( x ) 与 g ( x ) 的交点个数为6 C．将 f ( x )  的图像向右平移 6 个单位，并把横坐标变为原来的 1 3 可以得到g(x) 的图像 D．将 f ( x ) 的图像横坐标变为原来的 1 3  ，并向右平移 6 个单位可以得到 g ( x ) 的图像 1 11、已知函数 f (x)= x− −alnx，下列说法正确的是 x A．若a=1,则曲线 f ( x ) 在 ( 1 , 0 ) 的切线方程为x−y−1=0 B．若 f x  0 ( ) 当且仅当 x  0 , 1 ( )，则a的取值范围 ( −  , 2 ) 1 C． f   =−f (x)  x 1 D．若函数 f (x)= x− −alnx有三个零点为 x x 1 , x 2 , x 3 ，则 a x 1 x 2 x 3 的取值范围 ( 2 , +  ) 三、高考资源网：填空题：本题共3小题，每小题5 分，共15分. 1 12、已知sin(+)= ,tan=5tan,则sin(−)= . 2 a  n , 当a 为偶数 13、已知数列a 满足：a =7,a = 2 n ，则 n 1 n+1 3a +1, 当a 为奇数  n n a 4 m o c . u 5 s k . w w w 网 源 资 考 为 . 高 14、设a ,a ,a ,a 是数字1,2,3,4的排列，若存在1i jk 4成立a a a ，则称这样的排列为 1 2 3 4 i j k ‘树德好排列’，则从所有的排列中任取一个，则它是‘树德好排列’的概率是 .四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1 15、已知在 ABC中，accosB− bc=a2 −b2， 2 （1）求A; （2）若a=2，则三角形 高三数学半期 2024-11 第2页 共2页 A B C 的面积为 3 ，求b,c. 16、如图，在四棱锥P−ABCD中，平面 P A D ⊥平面ABCD， P A ⊥ P D ， AB⊥ AD，PA=PD， A B = 2 ， A D = 8 ，AC=CD=5， （1）求证：平面PCD⊥平面 P A B ； （2）求点B到平面 P C D 的距离. 17、已知函数 f (x)=ex −(a+1)x （1）讨论 f (x)的单调性； （2）若 f (x)=ex −(a+1)xb对于xR恒成立，求 b − a 18、已知椭圆 的最大值. C ： x a 2 2 + y b 2 2 = 1 3 3 3 17 过A(1, ),B(1,− ),E(− ,− ),F(−2,0) 中的三点. 2 2 5 10 （1）求椭圆方程及其离心率; （2）过 P ( 4 , 0 ) 作直线 Q R 交 C 于 Q , R 两点(QR)， 联结 B P , B R ， 过 Q 作 x 轴垂线分别交BP,BR 于 M , N . 求证: M 为 Q N 中点. 19、若数列a ( 1nk,nN*,kN*) 满足 n a n  0 ,1  ，则称数列{𝑎 }为 𝑛 k 项 0 − 1 数列，由所有 k 项0 − 1 数列组成集合 M k . （1）若{𝑎 }是12项0−1数列，当且仅当n=3p ( pN*,p4 ) 时， 𝑛 a n = 0 ，求数列  (−1)na  的所有项的 n 和； （2）从集合M 中任意取出两个不同数列 k a n , b n k    ，记X = a −b . i i i=1 ①若k =3，求随机变量 X 的分布列与数学期望；②证明： E X  k 2 m o c . u 5 s k . w w w 网 ( ) . 源 资 考 高树德中学高 2022 级高三上学期 11 月半期测试数学试题答案 一、单项选择 C D C C B D D A 二、多项选择题 AB BC ACD 三、填空题 1 5 34 。 3 12 四、解答题  15、（1）由教材中，A= ，教材中证明以下恒等式 3  1 （2）A= ,S = bcsinA= 3,bc=4,又因为 3 2 高三数学半期 2024-11 第3页 共2页 a = 2 , 由余弦定理知 a2 =b2 +c2 −2bccosA,4=b2 +c2 −bc,故 b = c = 2 （本题两小问都来自教材，引导教学，立足教材，深耕细作，重视双基，力求腾飞） 16、（1）【详解】（1）因为平面 P A D ⊥ 平面 A B C D ，且平面PAD平面ABCD= AD，且 A B ⊥ A D ，AB 平面ABCD，所以AB⊥平面 P A D ，因为PD平面 P A D ，所以 A B ⊥ P D ， 又PD⊥PA，且PA AB= A， P A ， A B  平面 P A B ， 所以PD⊥平面PAB，又 P D  平面PAD，所以平面PCD⊥平面 P A B ； （2）取AD中点为 O ，连接 C O ，PO， 又因为PA=PD，所以 P O ⊥ A D ，则AO=PO=4， 因为AC=CD=5，所以 C O ⊥ A D ，则CO= AC2−AO2 =3， 以O为坐标原点，分别以 O C ， O A ，OP所在直线为 x ，y， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 O−xyz， 则A(0,4,0)，B(2,4,0)， C 3 , 0 , 0 ( )，D(0,−4,0)， P 0 , 0 , 4 ( )， PC=(3,0,−4)，PD=(0,−4,−4)，PB=(2,4,−4)， 设n=(x,y,z)是平面 P C D 的一个法向量，  nPC=0  3x−4z=0 则 ，得 ，令z=3，则 nPD=0 −4y−4z=0 x = 4 ，y=−3，所以 n=(4,−3,3)， 设点B到平面PCD的距离为 h (2)由（1）知，当a−1 ， nPB −16 8 34 .则h= = = ， PB 34 17 8 34 所以点B到平面PCD的距离为h为 . 17 （第二问等体积法也可以酌情给分） 17、(1) f(x)=ex −(a+1) ,当a−1 ， f (x)在R上为单增函数 当a−1， f (x)在 ( −,ln(a+1)) 单减， ( ln(a+1),+ ) 单增 f ( x ) 在R上为单增函数， x → −  , f x → −  ( ) 不合题意 当 a = − 1 ， f ( x ) 在 R 上为单增函数， x → −  , f x → 0 ( ) ，故 b  0 , b − a 的最大值为1 当当a−1， f ( x ) 在 −  , l n a + 1 ( ) ( ) 单减， l n a + 1 , +  ( ) ( ) 单增 所以 f ( x ) 在 x = ln ( a + 1 ) 处取得极小值， 也是最小值为 f ( ln(a+1)) =eln(a+1)−(a+1)ln(a+1)−b=(a+1)−(a+1)ln(a+1)−b， 由不等式 e x − ( a + 1 ) x  b ，可得(a+1)−(a+1)ln(a+1)−b0， 所以b−a1−(a+1)ln(a+1)， 令F(x)=1−xlnx(x0)，则 F  ( x ) = − ln x − 1 ， 当 0  x  1 e 时，F(x)0；当 x  1 e 时， F  ( x )  0 ， 所以 F ( x ) 在  0 , 1 e  上单调递增，在  1 e , +   上单调递减， 1 1 1 即F(x) =F =1+ ，即b−a1+ ，所以 max e e e b − a 1 的最大值为1+ . e 故答案为： 1 + 1 e . 18、解答：(1)由于 A , B 关于 x 轴对称， 故 A , B 同时在  x2 y2 上. : + =1(a b) a2 b2 若 A , B , C 在   3 ( )2  1 2  + =1 a2 b2 13 上， 则 a2 =b2 = 3 17 4 (− )2 (− )2  5 10 + =1   a2 b2 为以原点 O 为圆心， O A = 1 2 3 为半径的圆， 不合题意. 若A,B,D在  m o c . u 5 s k . w w w 网 源 资  3 ( )2  1 2  + =1 a =2 上， 则a2 b2  . 合题意  4 b= 3 考  =1 a2 x2 y2 1 : + =1 离心率e= . 4 3 2 高 x=ky+4 1  (2) BP:y = x−2 设QR:x=ky+4,Q(x ,y ),R(x ,y )，联立x2 y2 有 2 1 1 2 2 + =1   4 3 (3k2 +4)y2 +24ky+36=0. =(24k)2 −4(3k2 +4)360 (k 2或k −2) −24k y + y =   1 2 3k2 +4 1 1 由韦达 在BP:y = x−2中令x= x =ky +4,M(ky +4, ky ) 36 2 1 1 1 2 1  y y =  1 2 3k2 +4 3 3 y + (y + )(ky +3) 2 2 3 2 2 1 3 在BR:y= (x−1)− 中令x=ky +4 ，N(ky +4, − ) ky +4−1 2 1 1 ky +3 2 2 2 3 3 (y + )(ky +3) (y + )(ky +3) 1 2 5 1 3 2 2 1 3 M为QN中点，2 ky = − + y ky +3= + y + 2 1 ky +3 2 1 1 ky +3 1 2 2 2 3 3 (ky +3)(ky +3)=(ky +3)(y + )+(ky +3)(y + ) 1 2 1 2 2 2 1 2 3 k2y y +3k(y + y )+9=2ky y +( k+3)(y + y )+9 1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 36 −24k (k2 −2k)y y +( k−3)(y + y )=0 将y y = ,y + y = 代入上式知 1 2 2 1 2 1 2 3k2 +4 1 2 3k2 +4 3 36 3 −24k (k2 −2k)y y +( k−3)(y + y ) =(k2 −2k) +( k−3) 1 2 2 1 2 3k2 +4 2 3k2 +4 36 = (k2 −2k−k2 +2k) 3k2 +4 高三数学半期 2024-11 第4页 共2页 = 0 故证明结束。. 19、【详解】（1）因为  a n  是12项 0 − 1 数列，当且仅当n=3p ( pN*,p4 ) 时， a n = 0 ， 所以当n=3p−2和n=3p−1 ( pN*,p4 ) 时， a n = 1 . 设数列  (−1)na  的所有项的和为S， n 则S=(−1)a +(−1)2a +(−1)4a +(−1)5a +(−1)7a +(−1)8a +(−1)10a +(−1)11a . 1 2 4 5 7 8 10 11 =(−1)+(−1)2+(−1)4+(−1)5+(−1)7+(−1)8+(−1)10+(−1)11 =(−1)+1+1+(−1)+(−1)+1+1+(−1) = 0 所以数列  (−1)na  的所有项的和为0. n （2）①若k =3，则 X 当 ) 的取值有1，2，3，其分布列为 X 1 2 3 3 3 1 P 7 7 7 12 则E(X)= 7 ②证明：因为数列a ,b 是从集合M 中任意取出的两个数列， n n k 所以数列a ,b 为k项0−1数列， n n 所以X 的可能取值为：1,2,3, ,k. 因为集合M 中元素的个数共有C0 +C1 +C2 + +Ck =2k个， k k k k k X = m m = 1 , 2 , , k ( 时，则数列  a n  ,  b n  中有m项取值不同，有 k − m 项取值相同， Cm2k k 所以 A2 Cm ， P(X =m)= 2 = k (m=1,2, ,k) C2 2k −1 2k 所以随机变量 X 的分布列为： X 1 2 3 k P C1 C2 C3 Ck k k k k 2k −1 2k −1 2k −1 2k −1 mk! (k−1)! 因为mCm = =k =kCm−1( mN*,1mk ) ， k m!(k−m)! (m−1)!(k−1)−(m−1)! k−1   C1 C2 Ck 1 所以E(X)=1 k +2 k + +k k = ( 1C1 +2C2+3C3+ +kCk) 2k −1 2k −1 2k −1 2k −1 k k k k k k2k−1 k2k−1 k = ( C0 +C1 +C2 + +Ck−1) =  = ， 2k −1 k−1 k−1 k−1 k−1 2k −1 2k 2 即 E X  k 2 m o c . u 5 s k . w ( ) . w w 网 源 资 考 高