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丰城中学 2023-2024 学年上学期高三期中考试数学试卷
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有
且只有一项是符合题目要求的．）
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知弧度数为 的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A. B. C. D.
4. 函数 在区间 上的单调递增区间是
A. B. C. D.
5. 函数 在 的大致图象是（ ）．
A B.
.C. D.
6. 11月25日，中国工程院院士、“共和国勋章”获得者钟南山在2021中国网络媒体论坛上发言，截至11
月24日，中国新冠疫苗全程接种人数已经达到10亿8万，占中国人口的 ，到今年底接种率就会超
过 ，为建立群体免疫打下了基础．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点
为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每人参加1项，接种工
作至少需要2人参加，登记、留观至少1人参加，则不同的安排方式有（ ）
A. 50 B. 80 C. 140 D. 180
7. 的展开式中 的系数是（ ）
A. 56 B. 84 C. 96 D. 126
8. 已知 ，关于 的方程 ( )有四个不同的实数根，则 的取值范围
为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有
多项是符合题目要求的．全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分）
9. 下列函数中，是奇函数且在区间 上是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
10. 下列命题是真命题的有（ ）
A. 分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容
量为30
B. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间
[114.5，124.5]内的频率为0.4C. 甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数
为67
D. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
.
11 一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（ ）
A. “恰有1件次品”和“恰有2件次品” B.
C. “至少有1件正品”和“至少有1件次品” D. “至少有1件次品”和“都是正品”
12. 已知函数 满足 ，有 ，且 ，当 时，
，则下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 时， 单调递减
C. 是周期为4的函数 D. 关于 对称
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 若曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 =___________.
14. 已知随机变量 ，若 ，则 =______.
15. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围为______．
16. 给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4
种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17. （1）已知 ，且 ，求 的最小值．
（2）已知 是正数，且满足 ，求 的最小值．18. 已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， .
（1）若 为锐角三角形，求角 ；
（2）若 ， ，求 面积
的
19. 近年来，随着“雾霾”天出现 越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人
们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了 人，其中女性 人，男性 人，并根据统计数据画
出等高条形图如图所示：
（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；
（2）根据统计数据建立一个 列联表；
（3）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.
附：
的
20. 端午节吃粽子是我国 传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中蛋黄粽4个，豆沙粽2个，这三种粽子
的外观完全相同，从中任意选取3个.
（1）求选取的3个中至少有1个豆沙粽的概率；
（2）用X表示取到 的豆沙粽的个数，求X的分布列和数学期望 .21. 已知函数 ，直线 ， 是 图象
的任意两条对称轴，且 的最小值为 ．
（1）求 的表达式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐
标不变，得到函数 的图象，若关于 的方程 ，在区间 上有且只有一个实数
解，求实数 的取值范围．
22. 已知函数 ．
（1）当 时，求 在点 处的切线方程．
（2）若 在 时有两个零点，求实数a的取值范围．丰城中学 2023-2024 学年上学期高三期中考试数学试卷
考试时间：120分钟 试卷总分：150分
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，有
且只有一项是符合题目要求的．）
1. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出集合 ，再利用集合的交运算即可求解.
【详解】 ， ，
.
故选：D
【点睛】本题考查了集合的交运算、解对数函数的不等式，属于基础题.
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题的否定的概念求解即可.
【详解】根据全称命题的否定可知，“ ， ”的否定是“ ， ”.
故选：A
3. 已知弧度数为 的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】连接圆心与弦的中点，可得半弦长 ， ，解得半径为2，代入弧长公式求弧长
即可.
【详解】解：连接圆心 与弦的中点 ，
则由题意可得 ， ， ，
在 中，半径 ，
由弧长公式可得所求弧长 .
故选：B.
4. 函数 在区间 上的单调递增区间是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用辅助角公式将函数化为 ，再利用正弦函数的单调递增区间整体代入求出函数的
单调递减区间，再结合函数的定义域即可求解.
【详解】由 ，则 ，
解得 ，
又 ，
所以 ，故函数在区间 上的单调递增区间是 .
故选：C
【点睛】本题考查了三角函数的性质、辅助角公式，需熟记公式与正弦函数的单调递增区间，属于基础题.
5. 函数 在 的大致图象是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性排除C、D，根据 时，函数值的符号排除B，故选A.
【详解】因为 ，所以 ，所以 为 上
的奇函数，其图象关于原点对称，故C、D不正确；
当 时， ，所以 ，故B不正确;故选：A
【点睛】关键点点睛：利用函数的性质排除不正确选项是解题关键.
6. 11月25日，中国工程院院士、“共和国勋章”获得者钟南山在2021中国网络媒体论坛上发言，截至11
月24日，中国新冠疫苗全程接种人数已经达到10亿8万，占中国人口的 ，到今年底接种率就会超
过 ，为建立群体免疫打下了基础．近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点
为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记、接种、留观3项工作，每人参加1项，接种工
作至少需要2人参加，登记、留观至少1人参加，则不同的安排方式有（ ）
A. 50 B. 80 C. 140 D. 180
【答案】B
【解析】
【详解】不同的安排方式分成两类，再求出每一类中的安排方式即可作答．
不同的安排方式有两类办法，有3人参加接种工作的安排方式有 种，
有2人参加接种工作的安排方式有 种，
由分类加法计数原理得不同的安排方式有： 种．故选B．
7. 的展开式中 的系数是（ ）
A. 56 B. 84 C. 96 D. 126
【答案】D
【解析】
【分析】根据通项公式表示二项展开式的第 项，该项的二项式系数是 ，表示出 的系数，然后利
用组合数的性质进行求解．
【详解】 的展开式中 的系数为
．
故选：D
8. 已知 ，关于 的方程 ( )有四个不同的实数根，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求导得到导函数，确定单调区间，画出函数图像，令 ，得到 有两个不同
的根 ，得到 ，解得答案.
【详解】令 ， ，
当 时， ，函数单调递增；当 时， ，函数单调递减；
故当 时，函数的最小值为 ，
图像是由 的图像 下方的部分向上翻折形成，如图所示：
令 ，
当 时，等式为 ，矛盾，舍去；
若 ，此时对应两个不同根，若要凑四个根，则 ，不满足题意，舍去；
则 有两个不同的根 ，即 ， ，
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分
析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有
多项是符合题目要求的．全部选对得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分）
9. 下列函数中，是奇函数且在区间 上是减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据所给条件，逐一分析各选项中函数的奇偶性及其在区间 上的增减性即可.
【详解】对于A，函数 的定义域为R，是增函数，A不对；
对于B，函数 的定义域为R，是奇函数，并且在 上单调递减，B对；
对于C，函数 的定义域为 ，是奇函数，并且在 上单调递减，C对；
对于D，函数 的定义域为R，且 ，是奇函数，对
函数求导 ，
当 ，函数单调递减，即 ，解得 ，所以 递减区间是
.D不对．
故选：BC
10. 下列命题是真命题的有（ ）
A. 分层抽样调查后的样本中甲、乙、丙三种个体的比例为3：1：2，如果抽取的甲个体数为9，则样本容
量为30
B. 某一组样本数据为125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据落在区间[114.5，124.5]内的频率为0.4
C. 甲、乙两队队员体重的平均数分别为60，68，人数之比为1：3，则甲、乙两队全部队员体重的平均数
为67
D. 一组数6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的85%分位数为5
【答案】BD
【解析】
【分析】根据分层抽样的性质判断A选项；利用落在区间 内的个数除以总数计算概率，即
可判断B选项；由甲、乙两队的人数比，计算出两队在所有队员中的所占权重，然后利用平均数的计算公
式，即可判断C选项；由百分位数的性质，即可判断D选项.
【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为 ，故选项A错
误；
对于选项B：样本数据落在区间 内的有120，122，116，120共4个，所以样本数据落在区
间 内的频率为 ，故选项B正确；
对于选项C：甲、乙两队的人数之比为 ，则甲队队员在所有队员中所占权重为 ，乙队队员在
所有队员中所占权重为 ，则甲、乙两队全部队员体重的平均数为 ，故选
项C错误；
对于选项D：将该组数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，3，3，4，5，6，由 ，则该组
数据的 分位数是第9个数，该数为5，故选项D正确.
11. 一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（ ）
A. “恰有1件次品”和“恰有2件次品” B.
C. “至少有1件正品”和“至少有1件次品” D. “至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD
【解析】
【分析】判断各选项中的事件是否有同时发生的可能，即可确定答案.
【详解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；
B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；
C：“至少有1件正品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件正品” }，“至少有1件次品” 的
基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件次品” }，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品”
，不是互斥事件；
D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；
故选：AD
12. 已知函数 满足 ，有 ，且 ，当 时，
，则下列说法正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 时， 单调递减
C. 是周期为4的函数 D. 关于 对称
【答案】ACD
【解析】
的
【分析】由 得 图象关于 对称， 由 得 的
周期为 可判断C；由 可判断D；利用
可得 在 时图象关于原点对称，利用 在 上 的单调
性可判断 在 时单调递减，结合 、 、
及图象关于 对称，关于 对称，周期为 可得 的大致图象可判断A，
利用周期为4和图象可判断B.
【详解】由 ， 得 的图象关于 对称，
由 得 ，所以 ，所以 的周期为 ，故C正确；
所以 ，即 的图象关于 对称，故D正确；
，
所以 在 时图象关于原点对称，
因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
根据复合函数的单调性可得 在 上单调递减， 在
时图象关于原点对称，所以 在 时单调递减，
， ，
再结合 的图象关于 对称，关于 对称，周期为 ，可得 的大致图象如下，
故A正确，
因为周期为4，所以 与 的图象单调性一致，由图可得 单调递增，所以B
错误.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用已知得出函数的对称性、周期性，并结合在 上的单
调性得出函数的大致图象，考查了学生分析问题、解决问题及运算能力.
三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13. 若曲线 在 处的切线平行于直线 ，则 =___________.【答案】
【解析】
【分析】由 求得 的值.
【详解】 ， ，
依题意可知：曲线 在 处的切线的斜率为 ，
即 .
故答案为：
14. 已知随机变量 ，若 ，则 =______.
【答案】
【解析】
【分析】利用 ，正态曲线关于直线 对称，则
【详解】因为
所以正态曲线关于直线 对称
所以
又
所以
故答案为：
15. 当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】等价于 ，对 分两种情况讨论，结合基本不等式求解.【详解】由题得 ，
当 时， 恒成立， ；
当 时， ，
因为 ，所以 （当且仅当 时等号成立）
所以 ，
所以 .
综上， 的取值范围为 .
故答案为：
16. 给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4
种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.
【答案】96
【解析】
的
【分析】通过分析题目给出 图形，可知要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，最
少需要3种颜色，即 同色， 同色， 同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以 4种
颜色全部用上，即 ， ， 三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种
数，最后利用分类加法求和．
【详解】解：要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是
仅用三种颜色染色，即 同色， 同色， 同色，则从四种颜色中取三种颜色有 种取法，三种颜色染三个区域
有 种染法，共 种染法；
是
第二类 用四种颜色染色，即 ， ， 中有一组不同色，则有3种方案 不同色或 不同色
或 不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有 种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，
共有 种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为 种．
故答案为：96．
【点睛】本题考查了排列、组合、及简单的计数问题，解答的关键是正确分类，明确相邻的两区域不能染
相同的颜色，属于中档题．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17. （1）已知 ，且 ，求 的最小值．
（2）已知 是正数，且满足 ，求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式结合指数幂的运算求出 的最小值；
（2）将代数式 与 相乘，展开后利用基本不等式可求出 的最小值．
【详解】（1） ， ，由基本不等式可得 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，所以， 最小值为 ；
的
（2）由基本不等式可得 ，
当且仅当 ，即当 时，等号成立，所以， 的最小值为 .
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解这类问题的关键就是对代数式朝着定值方向进行配凑，同时
注意定值条件的应用，考查计算能力，属于中等题．
18. 已知 ， ， 分别为 内角 ， ， 的对边， .
（1）若 为锐角三角形，求角 ；
（2）若 ， ，求 面积
【答案】（1） ；（2） 或 .
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理实现边角互化得到 ，进一步得到 ，解方程即可得到
A；
（2）由题意可得 ，利用正弦定理以及大边对大角可得到 ，因为 或 ，
所以分类讨论可得到 的形状，再利用面积公式即可求出．
【详解】（1）由题意，在 中，因为根据正弦定理，可得 ，
因为 是锐角三角形，可得 ，所以 ，即 ，
又由三角形是锐角三角形，则 ，所以 .
（2）由（1）可知， ，由正弦定理得， ，得 ， ， ．
由 可得， 或 ．
当 时， ， 为直角三角形，所以 = ；
当 时， ， 为等腰三角形，所以 ．
19. 近年来，随着“雾霾”天出现的越来越频繁，很多人为了自己的健康，外出时选择戴口罩，在一项对人
们雾霾天外出时是否戴口罩的调查中，共调查了 人，其中女性 人，男性 人，并根据统计数据画
出等高条形图如图所示：
（1）利用图形判断性别与雾霾天外出戴口罩是否有关系并说明理由；
（2）根据统计数据建立一个 列联表；
（3）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩的关系.
附：【答案】（1）图形见解析，理由见解析；（2）见解析；（3）犯错误的概率不超过 的前提下认为性
别与雾霾天外出戴口罩有关系
【解析】
【分析】（1）利用等高条形图中两个深颜色条的高比较得出性别与雾霾天外出戴口罩有关系；
（2）填写 列联表即可；
（3）由表中数据，计算观测值，对照临界值得出结论．
【详解】解：（1）在等高条形图中，两个深色条的高分别表示女性和男性中雾霾天外出戴口罩的频率，
比较图中两个深色条的高可以发现，女性中雾霾天外出带口罩的频率明显高于男性中雾霾天外出带口罩的
频率，因此可以认为性别与雾霾天外出带口罩有关系.
（2） 列联表如下：
戴口罩 不戴口罩 合计
女性
男性
合计
（3）由（2）中数据可得： .
所以，在犯错误的概率不超过 的前提下认为性别与雾霾天外出戴口罩有关系.
【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了登高条形图的应用问题，属于基础题．
20. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中蛋黄粽4个，豆沙粽2个，这三种粽子
的外观完全相同，从中任意选取3个.
（1）求选取的3个中至少有1个豆沙粽的概率；
（2）用X表示取到的豆沙粽的个数，求X的分布列和数学期望 .【答案】（1）
（2）分布列见解析，1
【解析】
【分析】（1）根据古典概型以及组合数的计算求得正确答案；
（2）根据超几何分布的知识求得 的分布列并求得数学期望.
【小问1详解】
设选取的3个中至少有1个豆沙粽为事件A，
则事件A的概率 ；
【小问2详解】
根据题意， ，
又 ， ，
，
故X的分布列如下所示：
X 0 1 2
P
则X的数学期望为： .
21. 已知函数 ，直线 ， 是 图象
的任意两条对称轴，且 的最小值为 ．
（1）求 的表达式；（2）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐
标不变，得到函数 的图象，若关于 的方程 ，在区间 上有且只有一个实数
解，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换可得 ，根据周期求出 ，从而得到
．
（2）根据三角函数图象变换可得 ，再根据函数 与 在区间
上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可得实数 的取值范围．
【详解】（1）
由题意知，最小正周期 ，又 ，所以 ，
∴ ．
（2）将 的图象向右平移个 个单位后，得到 的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，所以
．
令 ，∵ ，∴ ， 在 上有且只有一个实数解，
即函数 与 在区间 上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知 或
.
∴ ，或 ．
22. 已知函数 ．
（1）当 时，求 在点 处的切线方程．
（2）若 在 时有两个零点，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由导数的几何意义求出斜率，再由点斜式求解即可；
（2） ，若 在 上有两个零点，令
，则 在 上有两个零点，再利用导
数法研究函数的零点即可
【小问1详解】当 时， ，
所以 ，
所以 ．
又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为
即 ．
【小问2详解】
，若 在 上有两个零点，
令 ，则 在 上有两个零点，
，
令 ，则 ，
令 ，则
所以 在 上单调递增，故 ．
当 时， 在 上单调递增， ，即 ，
则 在 上单调递增，
所以 ，所以 有且仅有1个零点，不符合条件．
当 时， ，
所以 ，使得 ．
当 时， 单调递减，则 ，
当 时， 单调递增，
因为当 时， ，所以存在 ，使得 ．
即当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， ，则 在 上单调递增，
又 ，当 时， ，
所以 在 上有两个零点．即 在 上有两个零点．
综上所述，实数a的取值范围是 ．
【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的
时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决
能力.
