文档内容
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无
效.
3.考试结束后；将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
1.设集合 ， ，则
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 ，则
A. B. C. D.
3.若圆锥的母线长为6，其侧面展开图的面积为 ，则这个圆锥的体积为
A. B. C. D.
4.已知函数 ，则“ ”是“ 在区间 上单调递增”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
5.设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A. B. C. D.
6.若 ，且 ，则 的值为
A. B. C. D.
学科网（北京）股份有限公司7.已知数列 的前 项和为 ，且 ，设 ，若数列 是递增数列，则 的取值范
围是
A. B. C. D.
8.在 中，点 是边 的中点，且 ，点 满足 ，则
的最小值为
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知 ， ， 是三条不重合的直线， 、 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是
A.若 ， ，则
B.若 ， ， ，则
C.若 ， ，则
D.若 、 是异面直线， ， ， 且 ，则
10.已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，则数列 的公比可能为
A.1 B. C. D.
11.如图，在三棱柱 中， ， ， ，
是线段 上的点，且 ，则下列说法正确的是
学科网（北京）股份有限公司A. B.
C. D.直线 与 所成角的余弦值为
12.已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且 ，
，则下列说法正确的是
A.函数 为偶函数 B. 的图象关于直线 对称
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若命题“ ， ”为假命题，则 的取值范围为_________.
14.已知函数 的图象与 的图象的两相邻公共点间的距离为 ，将
的图象向左平移 个单位长度得到 的图象，则 的最小值为
_____________.
15.记 为数列 的前 项和，已知 则 _____________.
16.在三棱锥 中， 是等边三角形， 平面 ， ， ， 是 的
中点，球 为三棱锥 的外接球， 是球 上的一点，则三棱锥 体积的最大值是
____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）已知数列 是等差数列，其前 项和为 ，且 ， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
18.（本小题满分12分）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
学科网（北京）股份有限公司.
（1）求角 的大小；
（2）若 外接圆的半径为 ，求 的取值范围.
19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，
，点 是棱 的中点，点 是棱 上的一点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）已知数列 满足 ， ， .
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求数列 的前 项和 .
21.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱 中， ，平面 平面
，点 ， 分别是棱 ， 的中点，点 是线段 上的一点.
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 的值.
22.（本小题满分12分）已知函数 .
（1）若 ，求 的图象在 处的切线方程；
（2）若 有两个极值点 ， .
①求 的取值范围；
②求证： .
参考答案、提示及评分细则
1.A 由题意知 ， ，所以
，故选A.
2.B 因为复数 满足 ，所以 ，所以 ，所
以 .故选B.
3.D 由题可知圆锥的侧面展开图扇形的半径 ，设底面圆的半径为 ，则 ，解得 ，
所以圆锥的高 ，该圆锥的体积 .故选D.
4.B 若 在区间 上单调递增，则 在 上恒成立，所以 ，
解得 .所以“ ”是“ 在区间 上单调递增”的充分不必要条件.故选B.
5.C 因为 在 上单调递减，所以 ，即 .因为
学科网（北京）股份有限公司在 上单调递增，又 ， ，又 ，所以
，故 ，所以 .故选C.
6.D 因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以
，所以 ，
.所以
.故选D.
7.C 当 时， ，解得 ；当 时，由 ，得 ，两式相
减得 ，所以 ，所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以
.因为数列 是递增数列，所以 对于任意的 恒成立，即
，即 恒成立，因为 时， 取得最小值3，故 ，即 的
取值范围是 .故选C.
8.B 因为 ，所以 ，又
，所以点 在线段 上，所以 .设 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，所以
学科网（北京）股份有限公司的最小值为 .故选B.
9.ACD 若 ， ，则 成立，故A正确；两个平行平面内的两条直线位置是平行或异面，
即 不一定正确，故B错误；若 ，且 ，则 ，故C正确；如图，因为 ，所以
存在直线 ， 且满足 ，又 ，所以 ，同理存在直线 ， 且满足 ，又
，所以 ，因为 、 是异面直线，所以 与 相交，设 ，又 ， ，所以 ，
故D正确.故选ACD.
10.AC 因为 ， ， 成等比数列，所以 ，即
，整理得 ，又 ，
设数列 的公比为 ，所以 ，解得 或 .故选AC.
11.BCD 由题意知
，故A错误；记 ， ， ，所以 ，所以
，故B正确；
，所以
，故C正确；
学科网（北京）股份有限公司由 ， ，所以 ，
，又
，所以 ，所
以直线 与 所成角的余弦值为 ，故D正确.故选BCD.
12.ABD 因为 ，所以 ，所以函数 为偶函数，
故A正确；因为 ，两边求导得 .令 ，得 .因为
，所以 ，所以 ，
，所以 ，即 ，所以 的
图象关于直线 对称，故B正确；因为 ，又 ，所以 ，
所以 ，所以 是周期为4的周期函数，所以
，故C错误；因为 ，所以 ，所以
，所以 ，所以
，又 ，
所以 ，故D正确.
故选ABD.
13. 由题意可知，命题“ ， ”为真命题.当 时，可得
学科网（北京）股份有限公司.若 ，则有 ，符合题意；若 ，则有 ，解得 ，不符合题意；当
时，则 解得 .综上， 的取值范围是 .
14. 由已知 的图象与 的图象的两相邻公共点间的距离为 ，得
，所以 ，解得 ，所以 .又 ，其向左平
移 个单位长度得 ，则 ， ，
解得 ， ，当 时， 取最小值 .
15. 当 ， ， ，所以
.
16. 在正 中， 为 的中点，则 ，又 平面 ， 平面 ，则
，又 ， 、 平面 ，则 平面 ，又 平面 ，所以
，因为 平面 ， 平面 ，则 ，所以 的中点到点 ， ， ，
的距离相等，即三棱锥 外接球的球心为 的中点 .设球 的半径为 ，则
，所以 ，因为 外接圆的圆心为 的中点，设为 ，连接 ，因
学科网（北京）股份有限公司为 ， 分别为 ， 的中点，则 ，故 平面 ，如图.则有 ，即
到平面 的距离为 ，因此 到平面 距离的最大值为 ，又
，所以三棱锥 体积的最大值是 .
17.解：（1）设等差数列 的公差为 ，又 ， ，
所以 解得 ， ，
所以 的通项公式 .
（2）由（1）知 ，
所以
.
18.解：（1）因为 ，由正弦定理得
，
由正弦定理得 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司由余弦定理得 ，
又 ，所以 .
（2）由正弦定理得 ，所以 ， ，
，所以
，
因为 是锐角三角形，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
19.（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 .
因为底面 为正方形，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 .
在 中， ， 是棱 的中点，所以 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）解：以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示.不妨设 ，所以 ， ， ， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司设平面 的一个法向量为 ，又 ， ，所以
令 ，解得 ， ，所以平面 的一个法向量为 .
设平面 的一个法向量为 ，又 ， ，所以
令 ，解得 ， ，所以平面 的一个法向量为 .
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
20.（1）证明：因为 ，所以 ，
又 ，
所以 是以18为首项，3为公比的等比数列.
（2）解：由（1）知 ，
所以 ，又 ，所以 是以1为首项，2为公差的等差数列，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 .
所以 ，
所以 ，
所以
，所以 .
21.（1）证明：连接 ，如图所示，在直三棱柱 中， 平面 ，又 ， 平
面 ，所以 ， ，又 ，所以四边形 是正方形，所以 .
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
取 的中点 ，连接 ， ，如图所示，因为 是 的中点， 是 的中点，
所以 ， ，
又 是棱 的中点，所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，所以 .
（2）解：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ， ，所
以以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，如图所
示.所以 ， ， ， ， ， ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司，所以 ，设 ，所以
.设平面 的一个法向量为 ，所以
令 ，解得 ， ，所以平面 的一个法向量为
.又 ，设直线 与平面 所成角的大小为 ，
所以 ，
解得 或 （舍），所以 .
22.解：（1）若 ，则 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
（2）①由题意知 .
令 ，则 .
因为 有两个极值点 ， ，所以 有两个不等正实根 ， .
若 ， ，则 在 上单调递增，所以 在 上至多有一个零点，不符合题
意；
学科网（北京）股份有限公司若 ，令 ，解得 ，所以当 时， ，当 时， ，所
以 在 上单调递增，在 上单调递减.
所以 时， 取得极大值，即最大值为 ，
所以 ，解得 .
当 时， ，又 ，所以 ，由零点存在性定理知：存在
唯一的 ，使得 .
又 ，令 ，所以
，所以当 时， ，当 时， ，所以 在
上单调递增，在 上单调递减，所以 ，所以
，所以 ，由零点存在性定理知：存在唯一的 ，使得
.
所以当 时， 有两个不等正实根 ， .
综上， 的取值范围是 .
②证明：由①知 ，且 ，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司因为 在 上为增函数，及 ，所以 ，
又 ，所以 .
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，所以 .
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，因为 ，所以 ，所以 ，所以
，所以 ，所以 ，所以 .
所以 .
学科网（北京）股份有限公司
