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河南省商丘市第一高级中学 2023-2024 学年第一学期期中考试
高三数学试卷
一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分）
1．若 是虚数单位，则复数 的虚部等于（ ）
A．2 B． C． D．
2．设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．函数 的图象可能是（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知命题“ ，使 ”是假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返
回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，
这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为100m/s，这
是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使
石片的速率低于60 m/s，则至少需要“打水漂”的次数为（参考数据：取 ，
）（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
6．若 为等差数列， 是其前n项的和，且 ， 为等比数列， ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
7．设非零向量 的夹角为θ，定义运算 ．下列叙述错误的是（ ）
A．若 ，则
B． （ 为任意非零向量）
C．设在 中， ， ，则
D．若 ，则
8．已知函数 的图象上有且仅有两个不同的点关于直线 的对称点在 的
图象上，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4小题，每题5分，部分选对得2分，共20分）
9．已知数列 满足 ，则（ ）
A． B． 的前n项和为
C． 的前100项和为 D． 的前20项和为284
10．已知函数 ，则（ ）A． 是周期函数 B．函数 在定义域上是单调递增函数
C．函数 是偶函数 D．函数 的图象关于点 对称
11．已知向量 ， ，其中 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，可以作为平面向量的一组基底，则
B．若 ，则
C．若 ，则 有最小值
D．若 ，则
12．设函数 ，如图是函数 及其导函数 的部分图像，
则（ ）
A． B．
C． 与y轴交点坐标为
D． 与 的所有交点中横坐标绝对值的最小值为
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．已知 ，则 ______．
14．已知数列 满足 ， ，则数列 的前30项和为______．15．已知 ，则不等式 的解集为______．
16．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为 外接圆的圆心，若 ，且
， ，则 的最大值为______．
四、解答题（本题共6小题，共70分）
17．（10分）设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，且 ．
（1）求角C的大小；
（2）若向量 与 共线，求 的周长．
18．（12分）已知函数 ，且满足 ．
（1）求函数 的定义域及a的值；
（2）若关于x的方程 有两个不同的实数解，求t的取值范围．
19．（12分）已知数列 中， ，
（1）证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，若 恒成立，试求实数λ的取值范围．
20．（12分）已知向量 ， ，函数 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）已知 为锐角三角形，a，b，c为 的内角A，B，C的对边， ，且 ，求
面积的取值范围．
21．（12分）已知函数 定义在区间 内， ，且当 时，恒有．
（1）证明： 为奇函数；
（2）若数列 满足 ， ， ， ，且对
， ，求λ的取值范围．
22．（12分）已知函数 ．
（1）若 ，求实数a的取值范围；
（2）若 有两个极值点分别为 ，求 的最小值．
