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2024-2025 学年第一学期高二年级期中学情调研测试
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不存在
2. 若直线 与直线 平行，则它们之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
3. 直线 与圆 有两个公共点，那么点 与圆 的位置关系是（ ）
A. 点在圆外 B. 点在圆内 C. 点在圆上 D. 不能确定
4. 如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面
宽为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆 和圆 ，则两圆的公切线条数为（ ）
.
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
6. 已知抛物线 ，则抛物线上一点 到直线 的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
7. 椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦s
点（如图）.已知椭圆 ， 为坐标原点， 是点 处的切线，过左焦点 作 的垂
线，垂足为 ，则 （ ）
.
A B. C. 4 D. 8
8. 已知斜率为 的直线 过双曲线 的左焦点 ，且与 的左，右两支分别交于
， 两点，设 为坐标原点， 为AB的中点，若 是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离
心率为（ ）
A. 2 B. C. 3 D.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 直线的斜率越大，倾斜角越大
B. 直线 在 轴上的截距为
C. 直线 的斜率为
D. 若直线 经过第一、二、四象限，则点 在第二象限
10. 已知椭圆 和双曲线 具有相同的焦点 ， ，点 是它们的一个公共点，且在圆
上，椭圆 和双曲线 的离心率分别为 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）s
A.
B. 双曲线 的方程为
C. 的面积为
D. 的周长为
11. 数学中有许多形状优美 曲的线，曲线 就是其中之一，其形状酷似数学符号“
”（如图），对于此曲线，下列说法正确的是（ ）
A. 曲线 与直线 有3个公共点
.
B 曲线 与圆 有4个公共点
C. 曲线 所围成的图形的面积为：
D. 若点 在曲线 上，点 ，线段PQ的长度可能为4
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知椭圆 的焦点在 轴上，离心率为 ，则实数 的值为______.
13. 过点 作直线 ，使它被两条相交直线 和 所截得的线段，恰好被点
平分，则直线 的方程为______.
14. 若直线 上存在点 ，过点 作圆 的两条切线，切点分别为s
，且 ，则实数 的取值范围为______.
四、解答题：本大題共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 的顶点 ， ， .
（1）求AB边上的高所在直线的方程；
（2）求经过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上的截距的2倍的直线的方程.
16. 已知圆 的圆心 在第一象限，半径为 ，且经过直线 与直线 的
交点.
（1）求圆 的方程；
（2）过点 作圆 的切线，求切线的方程.
17. 已知拋物线 的顶点在坐标原点，其焦点 与双曲线 的上焦点重合，A，B为拋物线
上两点.
（1）求拋物线 的标准方程及其准线方程；
（2）若 ，求线段AB的中点到 轴的距离.
18. 已知 ， ，点 满足 ，记点 的轨迹为 .
（1）求轨迹 的方程；
（2）直线 经过点 ，倾斜角为 ，与轨迹 交于 两点（C在 之间），若 ，
，求 的值；
（3）已知点 ，过点 作直线 与轨迹 交于 ， 两点，记直线 的斜率分别为 ，
，试问： 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.s
19. 已知椭圆 的焦距为 2， ， 分别为其左右焦点， 为原点，且点
在椭圆 上.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）经过左焦点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（异于左右顶点），M为线段AB的中点，
①若 ，求线段OM的长度；
②求点 到直线OM的距离 的最小值.
