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福建省部分达标学校#$#%!#$#&学年第一学期期中质量监测
高三数学试卷参考答案
一!单项选择题"本大题共’小题#每小题(分#共&$分!
!!)!#*+!%*,!&*-!(*,!.*-!"*+!’*,
’!解析"依题作出函数"!#"的图象#结合图象可知$ "
当#"!/##$%时#"!#"
极小值
0"!/!"0#1&
当#"!$##%时#"!#"
极小值
0"!!"01&
1 $
当#"!##&%时#"!#"
极小值
0"!%"0
#
!
!" # # " !
若对##"!/2#$%#"!#" 极小值$#1#则$%!#
所以$的最大值为!#,正确!
二!多项选择题"本大题共&小题#每小题(分#共#$分!
3!+,!!$*,-!!!*+-)!!#*+,)
!#!解析"对于选项+#"!#4#""01567!#4#""/1895!#4#""01567#/1895#0"!#"#故选项+正确!
对于选项,#由"!#"01567#/1895##得"%!#"0895#1567#4567#1895##
"
当#"!$# "时#"%!#"0895#1567#4567#1895#&$#
#
"
所以"!#"在区间!$# "上单调递增#故选项,正确!
#
对于选项-#"!#4 " "01567!#4& ""/1895!#4& ""#
&
设&!’"01567!’4& ""/1895!’4& ""#
则&!/’"01567!/’4& ""/1895!/’4& ""01/槡
#
#567’4槡
#
#895’/1 槡
#
#895’4槡
#
#567’01895!’4& ""/1567!’4& ""0/&!’"#
"
所以函数&!’"即"!#4 "是奇函数#故选项-不正确!
&
对于选项)#由"!#"01567#/1895##
得"%!#"0895#1567#4567#1895##令’!#"0895#1567#4567#1895##
则’%!#"01567#!895##/567#"41895#!895#/567##"!
" %"
#当#"! # "时#895##/567#’$#895#/567##’$#
# &
" %"
所以’%!#"’$#即"%!#"在区间! # "上单调递减#
# &
又"%! " "0895 " 1567# " 4567 " 1895# " 0!&$#
# # #
"%! %" "0895 %" 1567% & " 4567 %" 1895% & " 0 槡# !1/槡 # # /1 槡 # #"’$#
& & & #
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$%
{#{QQABJYKUggAAABBAAAgCEwWiCgIQkBCCCAoORBAAIAABgANABAA=}#}
书书书" %"
所以"%!#"在区间! # "上存在唯一零点&
# &
%"
$当#"! #""时#"%!#"0895#1567#4567#1895##
&
"
又567#4895#0槡#567!#4 "’$#1567#&1895##
&
所以"%!#"0895#1567#4567#1895#’!895#4567#"1567#’$#
%"
则"%!#"在区间! #""上无零点!
&
"
综上#"!#"在区间! #""上有且仅有一个极值点#故选项)正确!
#
三!填空题"本大题共&小题#每小题(分#共#$分!
!%!’#(/&’#%#(!或!/&##%"
!&!/#!答案不唯一#形如(#!(’$"即可"
槡.#
!(!
’
!.!)&!!解析""%!#"0##4#)#4*#设切点为!##"!#""#则切线斜率为"%!#"#
$ $ $
切线方程为+/"!#"0"%!#"!#/#"#由于切线过点,!!#$"#
$ $ $
# &
:/"!#"0"%!#"!!/#"#整理得 #%4!)/!"##/#)#/ 0$!
$ $ $ % $ $ $ %
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构造函数&!#"0 #%4!)/!"##/#)#/ #:+0&!#"有三个不同的零点#
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易知))/!#&!!")&!/)"’$#即!/ /)"!)%4)#/ "’$#即!)4 "!)/!")
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(
!)4#"#&$#又点,!!#$"在曲线下方#:"!!"&$#即)&/ #解得)&!!
%
四!解答题!
./ -.
!"!解$!!"在*-./中#由正弦定理得 0 # ………………………………!分
567+- 567+-/.
( # 槡#
则 0 #解得567+-/.0 !……………………………………………#分
567&(; 567+-/. (
又由题设知+-/."!$;#3$;"#……………………………………………………………%分
槡#%
所以895+-/.0槡!/567#+-/.0 ! ……………………………………………&分
(
槡#
!#"895+./00895!3$;/+-/."0567+-/.0 # …………………………………(分
(
槡#%
567+./00槡!/895#+./00 #…………………………………………………….分
(
! ! 槡#%
由1 0 /.)/0)567+./0#得槡&.0 <(3是-/ 的中点#:23,0/!…………………………………………………………!分
! !
>23-平面./34#0/.平面./34#
!
:0/,平面./34#………………………………………………………………………#分
!
又4是-. 的中点#:34,./#………………………………………………………%分
! ! !
>34-平面./34#./.平面./34#
! !
:./,平面./34# ……………………………………………………………………&分
! !
又0/#./-平面0./#.//0/0/#…………………………………………(分
! ! ! ! ! ! ! ! !
:平面./34,平面0./!……………………………………………………………….分
! !
!#"解$取-.的中点5#连接/5! )
!
!
在菱形-.0/中#>+-/00!#$;#:*-./为正三角形#则/50/0# " !
又//0平面-.0/# ………………………………………………"分 & %
!
(
:以/5#/0#// 所在直线分别为##+#6轴#建立如图所示的空间直 !
! #
’ $
角坐标系# * "
+
% 槡%
则/!$#$#$"#.!%#槡%#$"#3! #/ #!"#.!%#槡%##"#…………’分
# # !
!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$%
{#{QQABJYKUggAAABBAAAgCEwWiCgIQkBCCCAoORBAAIAABgANABAA=}#}221 221 221 % 槡%
:/.0!%#槡%##"#/.0!%#槡%#$"#/30! #/ #!"!
! # #
设平面./34的法向量为!0!##+#6"#
221 4%#4槡%+0$#
4!)/.0$#
则3
5!)/ 221 30$#
即3
% #/ 槡% +460$#
5# #
令#0!#则+0/槡%#60/%#:!0!!#/槡%#/%"!……………………………………!$分
221
设直线/. ! 与平面./34所成的角为!#则567!0(895+/ 22 . 1 ! #!,(0( ( / / 22 . . 1 ! ( ) ( ! !( (0 % # 槡 . !% #
!
%槡!%
:直线/. 与平面./34所成角的正弦值为 !…………………………………!#分
! #.
?7# ?7#/!
#$!!!"解$因为"!#"0!/ !#&$"#所以"%!#"0 # ……………………………!分
# ##
则曲线+0"!#"在-!!#!"处的切线的斜率为"%!!"0/!!
)1 ! )1 !
因为&!#"0 4 /*##所以&%!#"0/ / /*# …………………………………#分
1# # 1# ##
则曲线+0&!#"在-!!#!"处的切线的斜率为&%!!"0/)/!/*!
因为曲线+0"!#"与曲线+0&!#"在-!!#!"处的切线互相垂直#
所以"%!!")&%!!"0/!#即)4*0/### ………………………………………………&分
又&!!"0!#所以)/*0$#$………………………………………………………………(分
联立#$得)0/!#*0/!!……………………………………………………………….分
1 !
!#"证明$由!!"知&!#"0/ 4 4#!
1# #
# ?7# 1 !
!法一"要证"!#"4&!#"$ #即证!/ / / 4#$$!
# # 1# #
?7# 1 !
令7!#"0!/ / / 4#!#$!"#
# 1# #
/!4?7# 1 ! ?7# 1
则7%!#"0 4 4 4!0 4 4!!………………………………………’分
## 1# ## ## 1#
?7# 1
因为#$!#所以7%!#"0 4 4!&$# ………………………………………………3分
## 1#
所以7!#"在*!#42"上单调递增#………………………………………………………!$分
所以当#$!时#7!#"$7!!"0$#…………………………………………………………!!分
?7# 1 !
即!/ / / 4#$$#
# 1# #
#
所以当#$!时#"!#"4&!#"$ !………………………………………………………!#分
#
!
!法二"设7!#"0?7#/#4!#则7%!#"0 /!#
! ! #
!
因为#$!时#7%!#"0 /!%$#所以7!#"在*!#42"上单调递减#
# !
所以7!#"%7!!"0$#即?7#/#4!%$#
! !
!高三数学"参考答案!第!!!!&页#共"页$%
{#{QQABJYKUggAAABBAAAgCEwWiCgIQkBCCCAoORBAAIAABgANABAA=}#}所以?7#%#/!#当且仅当#0!时#等号成立!…………………………………………"分
设7!#"01#/1##则7%!#"01#/1#
# #
因为当#$!时#7%!#"01#/1$$#所以7!#"在*!#42"上单调递增#
# #
所以7!#"$7!!"0$#即1#/1#$$#
# #
所以1#$1##当且仅当#0!时#等号成立!………………………………………………’分
# ?7# 1 !
要证"!#"4&!#"$ #即证!/ / / 4#$$!
# # 1# #
1#
又#$!#所以即证#/?7#/ /!4##$$
1#
由?7#%#/!#1#$1##
1# 1#
得#/?7#/ /!4##$#/!#/!"/ /!4##0##/!!当#0!时#等号成立"#
1# 1#
即证##/!$$#……………………………………………………………………………!$分
又7!#"0##/!在*!#42"上单调递增#则7!#"$7!!"0$#即##/!$$#
#
所以当#$!时#"!#"4&!#"$ !………………………………………………………!#分
#
) *#
#!!解$!!"由正弦定理得 4 0!#……………………………………………………#分
*48 )*4*8
)#4*#/8# !
整理得)#4*#/8#0)*#即 0 #
#)* #
!
由余弦定理得89500 #…………………………………………………………………&分
#
"
又0"!$#""#所以00 !…………………………………………………………………(分
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#" #"
!#"由!!"知-4.0 #即-0 /.!
% %
4 $’ #" /.’ " #
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" "
因为*-.0为锐角三角形#所以3 解得 ’.’ !…………………….分
. #
"
$’.’ #
5 #
) * 8 )4*48 *
由正弦定理 0 0 #得 0 #……………………"分
567- 567. 5670 567-4567.45670 567.
# #" 槡%
则)4*480 *567! /."4567.4 %
567. % #
# 槡% % 槡%
0 ! 895.4 567.4 "
567. # # #
槡%!!4895."
0%4
567.
.
槡%<#895#
#
0%4
. .
#567 895
# #
!高三数学"参考答案!第!!!!(页#共"页$%
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0%4 #…………………………………………………………………………………3分
.
@A7
#
" " " . " " . "
当 ’.’ 时# ’ ’ #则@A7 ’@A7 ’@A7 #……………………………!$分
. # !# # & !# # &
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又@A7 0@A7! / "0 0 0#/槡%#…………………………!!分
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. 槡% 槡%
所以#/槡%’@A7 ’!#槡%’ ’%4#槡%#%4槡%’%4 ’.4#槡%#
# . .
@A7 @A7
# #
即%4槡%’)4*48’.4#槡%#
所以*-.0周长的取值范围是!%4槡%#.4#槡%"!………………………………………!#分
# !/#
##!解$!!"当)0$时#"!#"0 !#"""#"%!#"0 !……………………………………!分
1# 1#
当#&!时#"%!#"’$#当#’!时#"%!#"&$#
所以"!#"在!/2#!"上单调递增#在!!#42"上单调递减#……………………………#分
!
所以"!#"的最大值为"!!"0 !…………………………………………………………%分
1
!/# !#/!"!#)1#/!"
!#""%!#"0 4#)!#/!"0 !………………………………………&分
1# 1#
#当)%$时##)1#/!’$#
当#&!时#"%!#"’$#当#’!时#"%!#"&$#
所以"!#"在!/2#!"上单调递增#在!!#42"上单调递减#
! !
所以"!#"的极大值为"!!"0 ’ #符合题意!…………………………………………(分
1 #
! !#/!"!1#/!/!"
$当)0 时#"%!#"0 #
#1 1#
当#&!时#"%!#"&$#当#’!时#"%!#"&$#
所以"!#"在"上单调递增#
此时"!#"无极值点! ……………………………………………………………………….分
! !#/!"!#)1#/!"
%当)& 时#令"%!#"0 #
#1 1#
解得#0!##0/?7!#)"#且/?7!#)"’!!
! #
当#&!时#"%!#"&$&当/?7!#)"’#’!时#"%!#"’$&当#’/?7!#)"时#"%!#"&$!
所以"!#"在!/2#/?7!#)""上单调递增#在!/?7!#)"#!"上单调递减#在!!#42"上单调
/?7!#)"
递增#所以"!#"的极大值为"!/?7!#)""0 4)*/?7!#)"/!%#0)4)*?7!#)"%#!
1/?7!#)"
……………………………………………………………………………………………"分
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令’0?7#)&/!#则"!/?7!#)""0 1’!!4’#"!
#
!
设&!’"0 1’!!4’#"#
#
!
则&%!’"0 1’!!4’"#&$#所以&!’"在!/!#42"上单调递增#
#
! ! !
由题意知"!#"
极大值
0"!/?7!#)""0
#
1’!!4’#"%
#
#即&!’"%
#
0&!$"#
! ! !
所以’%$#即)% #故 ’)% ! ………………………………………………………3分
# #1 #
! !#/!"!#)1#/!"
&当$’)’ 时#"%!#"0 0$#
#1 1#
解得#0!##0/?7!#)"#且满足/?7!#)"&!!
! #
当#&/?7!#)"时#"%!#"&$&当!’#’/?7!#)"时#"%!#"’$&当#’!时#"%!#"&$!
所以"!#"在!/2#!"上单调递增#在!!#/?7!#)""上单调递减#在!/?7!#)"#42"上单调
! !
递增#所以"!#"的极大值为"!!"0 ’ #符合题意!…………………………………!!分
1 #
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综上#)"!/2# "6! # %!…………………………………………………………!#分
#1 #1#
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