文档内容
2024 学年第一学期高二年级 10 月四校联考
数学 学科 试题卷
命题人：浦江中学
考生须知：
1．本卷满分 150分，考试时间 120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求．
3x−3y−1=0
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
2. 若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（ ）
8 3
A. B. 4 3π C. π D. 8 3π
3
4√3
3 π
3. 设a∈R，则“a＝1”是“直线l ：ax＋2y－1＝0与直线l ：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（ ）
1 2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在四面体OABC中，记OA=a，OB=b，OC =c，若点 M、N 分别为棱 OA、BC 的中点，则 MN =
（ ）
1 1 1 1 1 1
A. a+ b + c B. − a+ b + c
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
C. a− b + c D. a+ b − c
2 2 2 2 2 2
5. 直线x+ y+2=0分别与x轴， y轴交于A,B两点，点P在圆( x−2 )2 + y2 =2上，则ABP面积的取
第1页/共5页
学科网（北京）股份有限公司值范围是（ ）
A. [ 2,6 ] B. [ 4,8 ] C. 2,3 2 D. 2 2,3 2
6. 已知圆C:x2 + y2 −2x=0，直线l:x+ y+1=0，P为l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA、
PB，切点分别A、B，当 PC·AB 最小时，直线AB的方程为（ ）
A. x+ y =0 B. x− y =0
C. 2x−2y+1=0 D. 2x+2y+1=0
7. 设函数 f ( x )= ( x2 +ax+b ) lnx，若 f(x)≥0，则a的最小值为（ ）
A. −2 B. −1 C. 2 D. 1
8. 已知三棱锥A−BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD ⊥平面ABC，∠BAC =90°，AD=2，
若球O的表面积为29π，则三棱锥A−BCD的侧面积的最大值为
25 5 41 27 25
A. 5 2+ B. 5 2+ C. 6 3+ D. 10 2+
4 4 2 2
二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求的，全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分．
9. 已知圆C: ( x+2 )2 + y2 =4，直线l: ( m+1 ) x+2y−1+m=0 ( m∈R ) ，则（ ）
A. 直线l恒过定点
(−1,1 )
B. 直线l与圆C有两个交点
C. 当m=1时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1
D. 圆C与圆x2 + y2 −2x+8y+8=0恰有三条公切线
10. 定义在R上的偶函数 f ( x ) ，满足 f (x+2)− f (x)= f (1)，则（ ）
A. f ( 1 )=0 B. f (1−x)+ f (1+x)=0
20
C. f ( 1+2x )= f ( 1−2x ) D. ∑ f(i)=10
i=1
11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上
三点，劣弧BC的弧长记为a，设O 表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆O ,O 的劣弧AC,AB
a b c
的弧长分别记为b,c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，a=b=c，则称其为曲面等边三角形，
线段OA，OB，OC与曲面ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O− ABC．设
第2页/共5页
学科网（北京）股份有限公司∠BOC =α,∠AOC =β,∠AOB=γ ，则下列结论正确的是（ ）
3
A. 若平面ABC是面积为 R2的等边三角形，则a=b=c= R
4
B. 若a2 +b2 =c2，则α2 +β2 =γ2
π 2
C. 若a=b=c= R，则球面O− ABC的体积V > R3
3 12
π
D. 若平面ABC为直角三角形，且∠ACB = ，则a2 +b2 =c2
2
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 若圆C：( x−2 )2 + y2 =1与圆C :x2 + y2 +4x+6y+m=0有且仅有一条公切线，m= ______ .
1 2
π ( )
13. 已知函数y =2sin (ωx+ϕ) ω>0,0≤ϕ≤ 的图象经过点 0, 2 ，且在 y轴右侧的第一个零点为
2
π
，当x∈[ 0,2π ] 时，曲线y =sinx与y =2sin (ωx+ϕ) 的交点有__________个，
4
14. 如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC =2，E为DC 的中点，F 为线段EC（端点除外）上一动点.
现将△AFD沿AF 折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK ⊥ AB，K为垂足．设
AK t，则t的取值范围是_______.
四．解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，
[ ] [ ) [ )
发现得分均在区间 30,90 内.现将100个样本数据按 30,40 ， ， ， ， 70,80 ，
[40,50) [50,60) [60,70)
[ ]
80,90 分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.
第3页/共5页
学科网（北京）股份有限公司（1）请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）；
（2）学校决定表彰成绩排名前30％的学生，学生甲的成绩是76，请估计该学生能否得到表彰，并说明理
由.
16. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 ( 1,1 ) ，动点P满足 PA = 2 PO
（1）求动点P的轨迹C的方程
( )
（2）若直线l过点Q 1,2 且与轨迹C相切，求直线l的方程.
b−a2x 5
17. 已知函数 f ( x )= −x（a>0且a≠1b∈R）是定义在R 上的奇函数，且 f ( 1 )=− ；
ax 2
（1）求a，b的值；
（2）解不等式 f ( 1−x2 ) + f ( 5x−7 )<0．
18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，
活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 BD 和 BF 上移动，且 BM 和 BN 的长度保持相等，记
( )
BM = BN =a 01⇒lnx>0，
要使 f ( x )≥0，则二次函数y = x2 +ax+b，在0< x<1上 y<0，在x>1上y >0，
所以x=1为该二次函数的一个零点，易得b=−a−1，
则y = x2 +ax−(a+1)=(x−1)[x+(a+1)]，且开口向上，
所以，只需−(a+1)≤0⇒a+1≥0⇒a≥−1，故a的最小值为−1.
故选：B
8. 已知三棱锥A−BCD的所有顶点都在球O的球面上，AD ⊥平面ABC，∠BAC =90°，AD=2，
若球O的表面积为29π，则三棱锥A−BCD的侧面积的最大值为
25 5 41 27 25
A. 5 2+ B. 5 2+ C. 6 3+ D. 10 2+
4 4 2 2
【答案】A
【解析】
第4页/共18页
学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意画出图形，设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由球O的表面积为29π，可得x2+y2=25，写出
侧面积，再由基本不等式求最值．
【详解】设球O得半径为R，AB=x，AC=y，
由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25．三棱锥A-BCD的侧面积：
1 1 1 25 5 2
S=S +S +S = ⋅2x+ ⋅2y+ xy由x2+y2≥2xy，得 当且仅当x=y= 时取等号，由
ABD ACD ABC
2 2 2 2 2
△ △ △
xy≤
5 2 1 25
（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得 2 当且仅当x=y= 时取等号，∴ 2 ×
2 2 2
x+y≤5 , S≤5 + =
25 5 2 25
5 2+ 当且仅当x=y= 时取等号. ∴三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为5 2+ .故选A.
4 2 4
【点睛】本题考查三棱锥的外接球、三棱锥的侧面积、基本不等式等基础知识，考查空间想象能力、逻辑
思维能力、运算求解能力，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．
二．多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求的，全部选对的得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分．
9. 已知圆C: ( x+2 )2 + y2 =4，直线l: ( m+1 ) x+2y−1+m=0 ( m∈R ) ，则（ ）
A. 直线l恒过定点
(−1,1 )
B. 直线l与圆C有两个交点
C. 当m=1时，圆C上恰有四个点到直线l的距离等于1
D. 圆C与圆x2 + y2 −2x+8y+8=0恰有三条公切线
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出直线l过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；求出圆心到直线距离判断C；判断
圆与圆的位置关系判断D.
x+1=0 x=−1
【详解】对于A，直线l的方程为(x+1)m+ x+2y−1=0，由 ，得 ，直线l过定
x+2y−1=0 y =1
第5页/共18页
学科网（北京）股份有限公司点(−1,1)，A正确；
对于B，(−1+2 )2 +12 =2<4，即定点(−1,1) 在圆C内，则直线l与圆C相交且有两个交点，B正确；
−2+0
对于C，当m=1时，直线l:x+ y =0，圆心C(−2,0)到直线l的距离为d = = 2，
2
而圆C半径为2，因此只有2个点到直线l的距离等于1，C错误；
对于D，圆x2 + y2 −2x+8y+8=0的方程化为(x−1)2 +(y+4)2 =9，
其圆心为 (1,−4)，半径为3，两圆圆心距为d′= (1+2)2 +(−4−0)2 =5=3+2，
两圆外切，因此它们有三条公切线，D正确.
故选：ABD.
10. 定义在R上的偶函数 f ( x ) ，满足 f (x+2)− f (x)= f (1)，则（ ）
A. f ( 1 )=0 B. f (1−x)+ f (1+x)=0
20
C. f ( 1+2x )= f ( 1−2x ) D. ∑ f(i)=10
i=1
【答案】AC
【解析】
【分析】利用特殊值及偶函数性质判断A；根据已知条件得 f(x+2)− f(−x)=0、f(x+1)− f(1−x)=0判
断B、C；根据函数的性质，举反例 f(x)=0判断D.
【详解】由 f (x+2)− f (x)= f (1)，令x=−1，则 f (1)− f (−1)= f (1)⇒ f(−1)=0，
又 f ( x ) 为偶函数，则 f(1)= f(−1)=0，A对；
由上，得 f (x+2)− f (x)=0⇒ f(x+2)− f(−x)=0①，
在①式，将x−1代换x，得 f(x+1)− f(1−x)=0②，B错；
第6页/共18页
学科网（北京）股份有限公司在②式，将2x代换x，得 f(2x+1)− f(1−2x)=0⇒ f(2x+1)= f(1−2x)，C对；
由 f ( x+2 )= f ( x ) 且 f(x+1)= f(1−x)，即 f ( x ) 周期为2且关于x=1对称，
20
显然 f(x)=0是满足题设的一个函数，此时 ∑ f(i)=0，D错.
i=1
故选：AC
11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O的半径为R，A，B，C为球面上
三点，劣弧BC的弧长记为a，设O 表示以O为圆心，且过B，C的圆，同理，圆O ,O 的劣弧AC,AB
a b c
的弧长分别记为b,c，曲面ABC（阴影部分）叫做曲面三角形，a=b=c，则称其为曲面等边三角形，
线段OA，OB，OC与曲面ABC围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O−ABC．设
∠BOC =α,∠AOC =β,∠AOB=γ ，则下列结论正确的是（ ）
3
A. 若平面ABC是面积为 R2的等边三角形，则a=b=c= R
4
B. 若a2 +b2 =c2，则α2 +β2 =γ2
π 2
C. 若a=b=c= R，则球面O−ABC的体积V > R3
3 12
π
D. 若平面ABC为直角三角形，且∠ACB = ，则a2 +b2 =c2
2
【答案】BC
【解析】
【分析】对于 B，利用a =αR,b=βR,c=γR 代入易得；对于 C，先求得三棱锥O−ABC的体积
2
V = R3，由球面O−ABC的体积V >V 即得；对于 A，由条件知ABC 三边为R，推得
O−ABC
12
O−ABC
π
a=b=c= R排除A，对于D，由余弦定理和题设可得cosα+cosβ−cosγ=1，取特殊值即可排除D.
3
3
【详解】对于A，因等边三角形ABC的面积为 R2，则AB= BC = AC = R，
4
第7页/共18页
学科网（北京）股份有限公司π π
又OA=OB=OC = R，故α=β=γ = ,则a=b=c= R，故A错误；
3 3
对于B，由a2 +b2 =c2可得(αR)2 +(βR)2 =(γR)2，故α2 +β2 =γ2，即B正确；
π π
对于C，由a=b=c= R可得，α=β=γ= ,故AB= BC = AC = R.
3 3
1 R 3R
=
由正弦定理，ABC的外接圆半径为 2 π 3 ，点O到平面ABC的距离
sin
3
2
3R 6
h= R2 − = R，
3 3
1 1 3 6 2
则三棱锥O−ABC的体积V = S ⋅h= × R2× R= R3,
O−ABC
3
ABC
3 4 3 12
2
而球面O−ABC的体积V >V = R3，故C正确；
O−ABC
12
BC2 =2R2 −2R2cosα,
π
对于D，由余弦定理可知AC2 =2R2 −2R2cosβ,由C = 可得，BC2 + AC2 = AB2，
2
AB2 =2R2 −2R2cosγ,
即4R2 −2R2cosα−2R2cosβ=2R2 −2R2cosγ，化简得，cosα+cosβ−cosγ=1．
π π π π 2π2 π2
取α=β= ,γ= ，则a =b= R,c= R，则a2 +b2 = R2 < R2 =c2，故D错误．
3 2 3 2 9 4
故选：BC
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 若圆C：( x−2 )2 + y2 =1与圆C :x2 + y2 +4x+6y+m=0有且仅有一条公切线，m= ______ .
1 2
【答案】−23
【解析】
【分析】根据两圆的位置关系先确定两圆内切，再由圆心距计算即可.
【详解】由C :x2 + y2 +4x+6y+m=0⇒( x+2 )2 +( y+3 )2 =13−m，
2
显然13>m,C ( 2,0 ) ,C (−2,−3 ) ，
1 2
又C ,C 只有一条公切线，所以C ,C 相内切，
1 2 1 2
将C 点坐标代入圆C 方程知(−2−2 )2 +(−3 )2 >1，即C 在圆C 外部，
2 1 2 1
第8页/共18页
学科网（北京）股份有限公司所以圆C 内切于圆C ，
1 2
则有 CC = (−2−2 )2 +(−3−0 )2 =5= 13−m−1，
1 2
解之得m=−23.
故答案为：−23
π ( )
13. 已知函数y =2sin (ωx+ϕ) ω>0,0≤ϕ≤ 的图象经过点 0, 2 ，且在 y轴右侧的第一个零点为
2
π
，当x∈[ 0,2π ] 时，曲线y =sinx与y =2sin (ωx+ϕ) 的交点有__________个，
4
【答案】6
【解析】
π π
【分析】根据题意，求得函数的解析式为 y =2sin3x+ ，画出 y =sinx与 y =2sin3x+ 在区间
4 4
[ ]
0,2π 上的图象，结合图象，即可求解.
【详解】因为函数y =2sin (ωx+ϕ) 的图象经过点 ( 0, 2 ) ，可得2sinϕ= 2，即sinϕ= 2 ，又因为
2
π π
0≤ϕ≤ ，所以ϕ= ，
2 4
π π π π
因为y =2sin ωx+ (ω>0)在 y轴右侧的第一个零点为 ,所以 ω+ =π，
4 4 4 4
π
解得ω=3，所以y =2sin3x+ ，
4
π
画出y =sinx与y =2sin3x+ 在区间 [ 0,2π ] 上的图象，如图所示，
4
π
由图可知曲线y =sinx与y =2sin3x+ 的交点有6个.
4
故答案为：6.
14. 如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC =2，E为DC 的中点，F 为线段EC（端点除外）上一动点.
第9页/共18页
学科网（北京）股份有限公司现将△AFD沿AF 折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK ⊥ AB，K为垂足．设
AK t，则t的取值范围是_______.
4
【答案】 ,2
3
【解析】
【分析】设DF = x，求得x关于t的表达式，根据x的取值范围结合AK AD求得t的取值范围.
【详解】如图，在平面ADF内过点D作DH ⊥ AF，垂足为H ，连接HK ．
过点F 作FP//BC，交AB于点P．
3 2 5 3 13 3
设∠FAB=θ，AE = +22 = ,AC = 13，所以cosθ∈ , ．
2 2 13 5
3
设DF = x，则 76，
0.30
所以估计学生甲不能得到表彰.
16. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 ( 1,1 ) ，动点P满足 PA = 2 PO
（1）求动点P的轨迹C的方程
( )
（2）若直线l过点Q 1,2 且与轨迹C相切，求直线l的方程.
【答案】（1）x2 + y2 +2x+2y−2=0；
（2）x=1或5x−12y+19=0.
【解析】
【分析】（1）设P ( x,y ) ，根据动点P满足 PA = 2 PO ，再用两点间距离公式列式化简作答.
（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.
【小问1详解】
设P ( x,y ) ，由|PA|= 2 |PO|，得 ( x−1 )2 +( y−1 )2 = 2⋅ x2 + y2 ，
化简得x2 + y2 +2x+2y−2=0，
所以P点的轨迹C的方程为x2 + y2 +2x+2y−2=0.
【小问2详解】
由（1）知，轨迹C：(x+1)2 +(y+1)2 =4表示圆心为C(−1,−1)，半径为2的圆，
当直线l的斜率不存在时，方程为x=1，圆心C(−1,−1)到直线l的距离为2，l与C相切；
当直线l的斜率存在时，设l: y2kx1，即kx− y+2−k =0，
第12页/共18页
学科网（北京）股份有限公司|−2k+3|
5 5 19
于是 =2，解得k = ，因此直线l的方程为 x− y+ =0，即5x−12y+19=0，
k2 +1 12 12 12
所以直线l的方程为x=1或5x−12y+19=0.
b−a2x 5
17. 已知函数 f ( x )= −x（a>0且a≠1b∈R）是定义在R 上的奇函数，且 f ( 1 )=− ；
ax 2
（1）求a，b的值；
（2）解不等式 f ( 1−x2 ) + f ( 5x−7 )<0．
【答案】（1）b=1, a=2，
{ }
（2） x 2< x<3
【解析】
5
【分析】（1）根据 f ( 0 ) =0和 f ( 1 )=− 即可联立求解，
2
（2）根据函数的单调性以及奇偶性即可求解.
【小问1详解】
5
由题意可知： f ( 0 ) =0和 f ( 1 )=− ，
2
b−1 b−a2 5
故 f ( 0 )= −0=0且 f ( 1 )= −1=− ，
a0 a 2
1
故b=1, a=2，a =− （舍去）
2
【小问2详解】
1−22x 1
f ( x )= −x= −2x −x，
2x 2x
1
由于函数y = ,y =−2x,y =−x均为单调递减函数，故 f ( x ) 为单调递减，
2x
故 f ( 1−x2 ) + f ( 5x−7 )<0⇒ f ( 1−x2 ) < f ( 7−5x ) ，
第13页/共18页
学科网（北京）股份有限公司即1−x2 >7−5x，解得2< x<3，
{ }
故不等式的解为 x 2< x<3
18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，
活动弹子 M，N 分别在正方形对角线 BD 和 BF 上移动，且 BM 和 BN 的长度保持相等，记
( )
BM = BN =a 0
