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惠州中学2023级高二年级上学期期中考试
数学科试卷参考答案
说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。答案须做在答卷上；选择题填
涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答卷。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1.已知集合 ， ，则下列结论正确的是( )
A={x|−1≤x≤1} B={x|x2−5x+6≥0}
A. A⊆B B. A∪B=A C. A∩B=B D. ∁ A=B
R
1.解： ， ，
∵A={x|−1⩽x⩽1} B={x|x2−5x+6≥0}={x|x≥3或x≤2}
∴A⊆B，故A选项正确；∴A∪B={x|x≥3或x≤2}=B，故B选项错误；∴A∩B=A，故C选
项错误；
，故D选项错误．故选A．
∴∁ A={x|x<−1或x>1}≠B
R
2.复数z=−2i2−i+1，则z的虚部是( )
A. −i B. i C. −1 D. 1
2.解：复数z=−2i2−i+1=2−i+1=3−i，故z的虚部为−1．故选C．
{ x2+1,x≥2
3.已知函数f(x)= 则f(1)−f(3)= ( )
f(x+3),x<2,
A. −2 B. −7 C. 27
D. 7
{ x2+1,x≥2
3.解：f(x)= ,∴f(1)=f(1+3)=f(4)=17，f(3)=10，
f(x+3),x<2
则f(1)−f(3)=7，故选D．
4.已知 ( π) √3，则 ( π)的值是( )
cos x− =− cosx+cos x−
6 3 3
2√3 2√3
A. −1 B. ± C. − D. ±1
3 34.解：
π 1 √3 3 √3 √3 1 π
cosx+cos(x− )=cosx+ cosx+ sinx= cosx+ ⋅sinx=√3( cosx+ sinx)=√3cos(x− )=−1
3 2 2 2 2 2 2 6
故选A
5.已知空间向量 |⃗a|=3 ， |⃗b|=2 ，且⃗
a⋅
⃗
b=2
，则 ⃗b 在⃗
a
上的投影向量为( )
2⃗ 9⃗ √6⃗
⃗
A. B. a C. a D. a
a
9 2 9
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
a·b a 2 a 2⃗
5.解：由题意可知 ⃗b在 ⃗a上的投影向量为 = × = a，
|⃗| |⃗| 3 3 9
a a
2⃗
∴向量⃗b在向量⃗a上的投影向量为 a．故选B．
9
6.点A(4,−3),B(−2,−2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(
)
4 4
A. k≥1或k≤−4 B. k≥1或k≤− C. −4≤k≤1 D. − ≤k≤1
3 3
6.解：如图，点A(4,−3)，B(−2,−2)，点P(1,1)，
1+3 4 1+2
则k = =− ，k = =1，
PA 1−4 3 PB 1+2
直线l过点P(1,1)，且与线段AB相交，
4
由图可知，k≥1或k≤− ．故选B．
3
7.方程 所表示的图形是( )
|x|−1=√1−(y−1) 2
A. .一个半圆 B. 一个圆 C. 两个半圆 D. 两个圆
7.解：由题意，首先 ，平方整理得 ，
|x|>1 (|x|−1) 2+(y−1) 2=1
若x>1，则是以(1,1)为圆心，以1为半径的右半圆
若x<−1，则是以(−1,1)为圆心，以1为半径的左半圆
总之，方程表示的曲线是以(1,1)为圆心，以1为半径的右半圆与以(−1,1)为圆心，以1为半径的左半圆合
起来的图形 故选C．8.已知实数 满足 ，则|√3x+ y|的最大值为( )
x,y x2+(y−2) 2=1
2√x2+ y2
1 2√7 √3
A. B. C. 1 D.
2 7 2
|√3x+ y|
8解：设P(x,y)表示圆x2+(y−2) 2=1上一动点，则 表示点P到直线√3x+ y=0的距离d ，
2 1
|2|
√x2+ y2
表示点
P
到原点
O
的距离
d
，又圆心
(0,2)
到直线
√3x+ y=0
的距离为 =1，
2 √(√3) 2+12
所以直线 与圆 相切，记切点为 ( √3 3)，
√3x+ y=0 x2+(y−2) 2=1 Q − ,
2 2
则|√3x+ y| = d 1=sin∠POQ⩽sin π = √3，当 P 点为(√3 , 3)取最大值． ∴ |√3x+ y| 的最大值为
2√x2+ y2 d 3 2 2 2 2√x2+ y2
2
√3
．故选D
2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知向量 ⃗a=(2,−1,2) ，⃗
b=(2,2,1)
，⃗
c=(4,1,3)
，则( )
A. ⃗ ⃗ B. ⃗ ⃗
|a|=|b| c−b=(2,−1,2)
C. D. 向量 ， ， 共面
⃗a⊥⃗b ⃗a ⃗b ⃗c
9.解：因为 ⃗a=(2,−1,2) ，⃗
b=(2,2,1)
，
所以 ⃗ ， ⃗ ，所以A正确；
|a|=√22+(−1) 2+22=3 |b|=√22+22+12=3
⃗ ⃗ ，故B正确；
c−b=(4,1,3)−(2,2,1)=(2,−1,2)⃗ ⃗ ，故C不正确；
a⋅b=2×2+(−1)×2+2×1=4≠0
由⃗
a+
⃗
b=(2,−1,2)+(2,2,1)=(4,1,3)
，所以
⃗c=⃗a+⃗b
，故选项D正确．故选：
ABD
．
10.已知直线l：y=kx+k+1，下列说法正确的是( )
A. 直线l过定点(1,−1)
B. 当k=1时，l关于x轴的对称直线为x+ y+2=0
C. 点P(3,−1)到直线l的最大距离为2√5
D. 直线l一定经过第四象限
10.BC解：对于A，由直线l：y=kx+k+1可化简为y−1=k(x+1)，
所以直线l表示经过定点(−1,1)、斜率为k的直线，故A项错误；
对于B，当k=1时，直线l的方程为y=x+2，
用−y代换y得−y=x+2，整理得x+ y+2=0，即为直线l关于x轴对称的直线，故B项正确；
对于C，因为直线l经过定点M(−1,1)，所以当直线MP⊥l时，点P(3,−1)到直线l的距离最大，
最大距离为 ，故C项正确；
|MP|=√(−1−3) 2+(1+1) 2=2√5
对于D，当k=1时，直线l：y=x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限，故D项错误．
故选：BC．
11.已知圆 ，点 为 轴上一个动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，直
M:x2+(y−2) 2=1 P x P M A B
线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是( )
A. 四边形PAMB周长的最小值为2+2√3 B. |AB|的最大值为2
8 √15 9
C. 若P(1,0)，则三角形PAB的面积为 D. 若Q( ,0)，则|CQ|的最大值为
5 4 4
11.解：
PA,PB均与圆M相切，|MA|=|MB|=1，PA⊥AM,PB⊥BM，则 ．
|PA|=|PB|=√|PM| 2 −1
对于 ，四边形 周长为 ，
A PAMB l=|PA|+|PB|+|AM|+|BM|=2√|PM| 2 −1+2
因为点P为x轴上一个动点，所以|PM|的最小值即为点M到x轴的距离d=|2−0|=2，则|PM|⩾2，
所以 ，
l=2√|PM| 2 −1+2⩾2√4−1+2=2√3+2
即四边形PAMB周长的最小值为2+2√3，故A正确；
对于B，可知△PAM≌△PBM，则∠AMP=∠BMP，
所以PM⊥AB，所以|AB|=2|AC|，
由 S = 1 |PA|·|AM|= 1 |PM|·|AC| 可得 |AC|= |PA|·|AM| = √|PM| 2 −1 = √ 1− 1 ，
△PAM 2 2 |PM| |PM| |PM| 2
因为
|PM|⩾2
，所以0< 1
⩽
1 ，所以√3
⩽
√
1−
1
<1
，
|PM| 2 4 2 |PM| 2
√3
即 ⩽|AC|<1，所以√3⩽|AB|<2，故B错误；
2
对于 ，若 ，则 ，
C P(1,0) |PM|=√(1−0) 2+(0−2) 2=√5
由选项AB可得
|PA|=√|PM| 2 −1=2
，
|AC|=
√
1−
1
=
2√5，
|AB|=2|AC|=
4√5，
|PM| 2 5 5
所以|PC|=√|PA| 2 −|AC| 2= √ 4− 4 = 4√5 ，
5 5
1 8
所以S = |AB|·|PC|= ，故C正确；
△PAB 2 5
对于D，设P(a,0)，由PA⊥AM,PB⊥BM可得，点P，A，M，B四点都在以PM为直径的圆上，
则该圆的圆心为(a )，半径为|PM| √a2+4，
,1 =
2 2 2
所以该圆的方程为(
x−
a) 2
+(y−1) 2=
a2+4，
2 4
即 ，与圆 ： 作差可得直线 的方程为 ，
x2+ y2−ax−2y=0 M x2+(y−2) 2=1 AB ax−2y+3=0
易得直线 过定点 ( 3)；
AB N 0,
2
又因为直线PM为2x+ay=2a，易得直线PM过定点M(0,2)，
因为直线AB与MP交于点C且PM⊥AB，所以CM⊥CN，
即点C的轨迹为以MN为直径的圆(不包含点M)，所以点 C 的轨迹方程为 x2+ ( y− 7) 2 = 1 (y≠2) ，其中圆心为 E ( 0, 7)，半径为 r= 1，
4 16 4 4
若 (√15 )，则 √15 49 1 9，
Q ,0 |CQ|⩽|QE|+r= + + =
4 16 16 4 4
9
即|CQ|的最大值为 ，故D正确．故选ACD．
4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,14题第一空2分,第二空3分．
12.已知圆M经过点A(−2,0)，B(0,4)，C(0,0)，则圆M的标准方程为_________________．
12.解：设圆 的方程为 ，
M (x−a) 2+(y−b) 2=r2
(−2−a) 2+b2=r2 a=−1
则 所以所求圆的标准方程为 ．
{ a2+(4−b) 2=r2 ,解得{b=2, (x+1) 2+(y−2) 2=5
a2+b2=r2 r=√5
13.已知直线 经过点 ，且⃗ 是 的方向向量，则点 到 的距离为_______．
l A(2,3,1) n=(√2,0,√2) l P(4,3,2) l
→ →
13.解：
P
→
A=(−2,0,−1)
，故|
P
⃗
A|
=√5，cos⟨P → A, → n⟩=
→
PA·n
→
= −
√5
3
×
√2
2
=− 3
1
√
0
10 ，
|PA||n|
→ → 3√10 √10
设直线 PA与直线 l所成的角为 θ，则
cosθ=|cos|
= ，故 sinθ= ，
10 10
→ √10 √2 √2
∴点 P(4,3,2)到直线 l的距离为 |PA|sinθ=√5× = ．故答案为 ．
10 2 2
14.在平面直角坐标系中， ， ，定义 为两点之间的“折线
P(x ,y ) Q(x ,y ) d(P,Q)=|x −x |+|y −y |
1 1 2 2 1 2 1 2
距离”.坐标原点O与直线2x+ y−2√5=0上一点的“折线距离”的最小值是 _______ ；圆x2+ y2=1
上一点与直线2x+ y−2√5=0上一点的“折线距离”的最小值是 _______ ．14.解：如图，
该直线与两轴的交点分别为N(0,2√5),M(√5,0)，设P(x,y)为直线上任意一点，
作PQ⊥x轴于Q，于是有|PQ|=2|QM|，所以d=|OQ|+|QP|≥|OQ|+|QM|=|OM|，
即当P与M重合时，d =|OM|=√5，
min
如图所示：设F为圆上任意一点，过P、F分别作x、y轴的垂线交于点R，延长FR交直线于点R'，
将F看作定点，由问题1知P与F的最小“折线距离”为|FR'|，设F的纵坐标为m，
2√5−m m+2√1−m2
则d =|FR'| ,|FR'|= −√1−m2=√5− ，
min min 2 2
π √5sin(θ+φ)
显然只需要考虑m∈[0,1]，设m=sinθ(θ∈[0, ])，则|FR'|=√5− ，
2 2
1 2 1 2
其中cosφ= ，sinφ= ，所以当sinθ= ，cosθ= 时，
√5 √5 √5 √5
√5 √5
d =|FR'| = ．故答案为：√5; ．
min min 2 2
四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题13分)
为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育文化”暨“喜
迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩(满分100分)整理成如图所示的频率直方图．
(1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数;
(2)从竞赛成绩在[80,90)，[90,100]的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6人中随机抽
取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率．15.解：(1)因为10(0.01+0.01+a+0.04+a)=1......1分
所以a=0.02，......2分
因为共五组，前三组的频率和0.1+0.1+0.2＝0.4<0.5，......3分
前四组的频率和0.1+0.1+0.2+0.4=0.8>0.5，所以中位数位于第四组。......4分
设中位数为x，则x∈[80,90)，因为(x−80)×0.04=0.1，......5分
所以x=82.5；......6分
(2)因为第四组与第五组的频率之比为2:1，
故按照分层抽样第四组抽取人数为4人，记为a，b，c，d，......7分
第五组抽取人数为2人，记为e，f，......8分
从6人中选出2人， 共有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f )，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f )，
(c,d)，(c,e)，(c,f )，(d,e)，(d,f )，(e,f )，......9分
样本点个数共有N=15种，......10分
其中选出的2人来自同一组的是：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，(e,f )，样本点个数
有M=7种，......11分
M 7
p= =
N 15
......12分
7
答：选出的2人中来自同一组的概率为 ． ......13分
15
16.(本小题15分)
已知在平行六面体ABCD−A B C D 中，AD=A A =AB=1，∠A AB=∠DAB=∠DA A =60∘，
1 1 1 1 1 1 1
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
A C =3NC ，D B=2MB，设⃗AB=⃗a，⃗AD=⃗b，A A =c;
1 1 1 1 1⃗
(1)试用 、⃗b、⃗c表示⃗MN;
a
(2)求线段MN的长度;
(3)求直线MN与BD所成角的余弦值．
16.解： ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ......1分
(1)MN=M D +D A +A N
1 1 1 1
1 ⃗ ⃗ 2 ⃗
=− D B−AD+ A C ......2分
2 1 3 1 1
1 ⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗
=− (D D+DB)−AD+ (AB+AD) ......3分
2 1 3
1⃗ 1 ⃗ ⃗ ⃗ 2 ⃗ ⃗
= c− (a−b)−b+ (a+b) ......4分
2 2 3
1⃗ 1⃗ 1⃗
= a+ b+ c．......5分
6 6 2
⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗
(2)∵MN= a+ b+ c
6 6 2
， ，
AD=A A =AB=1 ∠A AB=∠DAB=∠DA A =60∘
1 1 1
⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗
∴MN2=( a+ b+ c) 2 ......6分
6 6 2
1 1 1 1 1 1
= ×12+ ×12+ ×12+ ×1×1×cos60°+ ×1×1×cos60°+ ×1×1×cos60° ......8分
36 36 4 18 6 6
1
= ，......9分
2√2
∴MN的长度为 ．......10分
2
→ → → → →，......11分
(3)BD=AD−AB=b−a
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗
则MN⋅BD=(b−a)⋅( a+ b+ c) ......12分
6 6 2
1⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗ ⃗ 1⃗ 1⃗ ⃗ 1⃗ ⃗
= b⋅a+ b2+ b⋅c− a2− a⋅b− a⋅c ......13分
6 6 2 6 6 2
=0 ......14分
∴直线MN与BD所成角的余弦值为0 ......15分
17.(本小题15分)
1
已知函数f(x)=√3sinxcosx− cos2x，
2
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1，c=2a⋅cosB、b=6，求
△ABC的面积．
1 √3 1
17.解：(1)∵函数f(x)=√3sinxcosx− cos2x= sin2x− cos2x ......1分
2 2 2
π
=sin(2x− )，......2分
6
2π
∴T= =π．......3分
2
∴f(x)的最小正周期π．......4分
(2)∵在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(A)=1，
π
∴f(A)=sin(2A− )=1，......5分
6
π π π
∴2A− = +2kπ，kϵZ，∴A= +2kπ，kϵZ，......6分
6 2 3
π
∵0
