文档内容
惠州中学 2023 级高二年级上学期期中考试
数学科试卷
说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。答案须做在答卷上；选择题填
涂须用2B铅笔，主观题须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。考试结束后只需交答卷。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则下列结论正确的是( )
A={x|−1≤x≤1} B={x|x2−5x+6≥0}
A. A⊆B B. A∪B=A C. A∩B=B D. ∁ A=B
R
2.复数z=−2i2−i+1，则z的虚部是( )
A. −i B. i C. −1 D. 1
{ x2+1,x≥2
3.已知函数f(x)= 则f(1)−f(3)= ( )
f(x+3),x<2,
A. −2 B. −7 C. 27
D. 7
4.已知 ( π) √3，则 ( π) 的值是( )
cos x− =− cosx+cos x−
6 3 3
2√3 2√3
A. −1 B. ± C. −
3 3
D. ±1
5.已知空间向量 |⃗a|=3 ， |⃗b|=2 ，且⃗
a⋅
⃗
b=2
，则 ⃗b 在⃗
a
上的投影向量为( )
2⃗ 9⃗ √6⃗
⃗
A. B. a C. a D. a
a
9 2 9
6.点A(4,−3),B(−2,−2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是
( )
4
A. k≥1或k≤−4 B. k≥1或k≤−
3
4
C. −4≤k≤1 D. − ≤k≤1
37.方程 所表示的图形是( )
|x|−1=√1−(y−1) 2
A. .一个半圆 B. 一个圆 C. 两个半圆
D. 两个圆
8.已知实数 满足 ，则|√3x+ y|的最大值为( )
x,y x2+(y−2) 2=1
2√x2+ y2
1 2√7 √3
A. B. C. 1 D.
2 7 2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知向量 ⃗a=(2,−1,2) ，⃗
b=(2,2,1)
，⃗
c=(4,1,3)
，则( )
A. ⃗ ⃗ B. ⃗ ⃗
|a|=|b| c−b=(2,−1,2)
C. D. 向量 ， ， 共面
⃗a⊥⃗b ⃗a ⃗b ⃗c
10.已知直线l：y=kx+k+1，下列说法正确的是( )
A. 直线l过定点(1,−1)
B. 当k=1时，l关于x轴的对称直线为x+ y+2=0
C. 点P(3,−1)到直线l的最大距离为2√5
D. 直线l一定经过第四象限
11.已知圆 ，点 为 轴上一个动点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，
M:x2+(y−2) 2=1 P x P M A
B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是( )
A. 四边形PAMB周长的最小值为2+2√3
B. |AB|的最大值为2
8
C. 若P(1,0)，则三角形PAB的面积为
5
√15 9
D. 若Q( ,0)，则|CQ|的最大值为
4 4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分,14题第一空2分,第二空3分．
12.已知圆M经过点A(−2,0)，B(0,4)，C(0,0)，则圆M的标准方程为 _____ _
．
13.已知直线 经过点 ，且⃗ 是 的方向向量，则点 到 的距离为
l A(2,3,1) n=(√2,0,√2) l P(4,3,2) l
_______．
14.在平面直角坐标系中， ， ，定义 为两点之间的
P(x ,y ) Q(x ,y ) d(P,Q)=|x −x |+|y −y |
1 1 2 2 1 2 1 2
“折线距离”。坐标原点O与直线2x+ y−2√5=0上一点的“折线距离”的最小值
是 _______ ；圆x2+ y2=1上一点与直线2x+ y−2√5=0上一点的“折线距离”的最小值
是 _______ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题13分)
为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、爱国的热情，我校举办了“学党史、育
文化”暨“喜迎党的生日”党史知识竞赛，并将2000名师生的竞赛成绩(满分100分)整理成如图
所示的频率直方图．
(1)求频率直方图中a的值以及师生竞赛成绩的中位数;(2)从竞赛成绩在[80,90)，[90,100]的师生中，采用分层抽样的方法抽取6人，再从抽取的6
人中随机抽取2人，求2人的成绩来自同一区间的概率．
16.(本小题15分)
已知在平行六面体ABCD−A B C D 中，AD=A A =AB=1，∠A AB=∠DAB=∠DA A =60∘，
1 1 1 1 1 1 1
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
A C =3NC ，D B=2MB，设⃗AB=⃗a，⃗AD=⃗b，A A =c;
1 1 1 1 1
⃗
(1)试用
a
、⃗b、⃗c表示⃗MN;
(2)求线段MN的长度;
(3)求直线MN与BD所成角的余弦值．
17.(本小题15分)
1
已知函数f(x)=√3sinxcosx− cos2x．
2
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f(A)=1，c=2a⋅cosB, b=6，
求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
已知点A(−1,2)和直线l:x−y+1=0. 点B是点A关于直线l的对称点．
(1)求点B的坐标；
(2)O为坐标原点，且点P满足|PO|=√3|PB|，求点P的轨迹方程；(3)若点P的轨迹与直线x+my+1=0有公共点，求m的取值范围．
19.(本小题17分)
在RtΔABC中，∠C=90∘，BC=3，AC=6，D,E分别是AC,AB上的点，满足DE//BC且DE经
过ΔABC的重心，将ΔADE沿DE折起到ΔA DE的位置，使A C⊥CD，M是A D的中点，如
1 1 1
图所示．
(1)求证：A C⊥平面BCDE；
1
√3
(2)在线段A C上是否存在点N，使平面CBM与平面BMN的夹角的余弦值为 ？若存在，求
1 4
出CN的长度；若不存在，请说明理由．
