数学答案_2024-2025高二（7-7月题库）_2025年6月试卷_0606浙江省北斗星盟2024-2025学年高二下学期阶段性联考_浙江省北斗星盟2024-2025学年高二下学期阶段性联考数学试卷（PDF版，含答案）

2024 学年第二学期浙江北斗星盟阶段性联考 高二年级数学学科参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A B B D D B C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得满分，部分选对的得部分分. 9. BD 10. ABD 11. ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 高二数学学科 答案 第1页(共5页) − 1 3 13．120 14. 1 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1)由表知 = 5 y = 8 0 ， x n (x −x)(y −y) i i ，bˆ= i=1 =8.5， n (x −x)2 i i=1 ˆa = 3 7 . 5 ……4分 所以线性回归方程为 ˆy = 8 .5 x + 3 7 .5 ，……6分 运动时间为7小时的居民健康指数的残差 y ( 7 ) − ˆy ( 7 ) = 9 0 − 9 7 = − 7 ……7分 (2)零假设 H 0 : 居民性别与是否患有慢性病无关联， 根据列联表数据，计算得 2 = 2 0 0 5  0 ( 3  1 0 5  8 0 0  1 − 0 7 0 0  1  0 2 0 0 ) 2 = 8 3  3 .8 4 1  ，……11分 所以根据小概率值 = 0 .0 5  的独立性检验，没有充分证据推断性别与是否患有慢性病有关联， 故可以认为性别与是否患有慢性病无关联.……13分 16.解：（1）因为底面𝛥𝐵𝐶𝐷面积不变，所以当面𝐴 𝐶𝐷 ⊥面𝐵𝐶𝐷时体积最大， ……2分 1 过𝐴 作𝐴 𝐻 ⊥𝐶𝐷 =𝐻，则𝐴 𝐻 ⊥面𝐵𝐶𝐷，故h =𝐴 𝐻 = 3√3 ……3分 1 1 1 max 1 2 1 2 15 又𝑆 = ⋅3⋅5⋅𝑠𝑖𝑛 π= √3 ……5分 𝛥𝐵𝐶𝐷 2 3 4 1 45 所以V = S h = ……7分 max 3 BCD max 8 （2）法一：由（1）知，可过H作𝐻𝐼 ⊥𝐵𝐷交𝐵𝐷延长线于点𝐼，连结𝐴 𝐼，则𝐴 𝐼 ⊥𝐵𝐷 1 1 所以∠𝐴 𝐼𝐻为二面角𝐴 −𝐷𝐵−𝐶的平面角 ……10分 1 1又因为𝐴 𝐻= 3√3 ，𝐻𝐼 = 1 ⋅ 3√3 = 3√3 ，所以𝑡𝑎𝑛∠𝐴 𝐼𝐻 =2 ……14分 1 1 2 2 2 4 即面𝐴 𝐵𝐷与面𝐵𝐶𝐷夹角的余弦值为√5 ……15分 1 5 3 法二：由（1）知，𝐴 𝐻 =𝐴𝐻 = √3，且𝐴 𝐻⊥𝐶𝐷 1 2 1 ∵面𝐴 𝐶𝐷 ⊥面𝐵𝐶𝐷，面𝐴 𝐶𝐷∩面𝐵𝐶𝐷 =𝐶𝐷，𝐴 𝐻⊂面𝐴 𝐶𝐷 1 1 1 1 ∴𝐴 𝐻⊥面𝐵𝐶𝐷， 1 ∴以H为坐标原点，𝐻𝐴,𝐻𝐷,𝐻𝐴 所在直线方向分别为𝑥轴、𝑦轴、𝑧轴建立空间直角坐标系……9分 1 3 5 3 3 3 则𝐴( √3,0,0)，𝐵(− √3,4,0)，𝐶(0,− ,0)，𝐷(0, ,0)，𝐴 (0,0, √3)， 1 2 2 2 2 2 ∴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗ =(0,− 3 , 3 √3)，𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =(− 5 √3, 5 ,0)，𝐻⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗ =(0,0, 3 √3) 1 1 2 2 2 2 2 则面𝐵𝐶𝐷的法向量为𝐻⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗ =(0,0, 3 √3) ……10分 1 2 3 3 𝑛⃗ ⋅𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗ =0 − 𝑦+ √3𝑧=0 设面𝐴 𝐷𝐵的一个法向量𝑛⃗ =(𝑥,𝑦,𝑧)，则{ 1 ，即{ 2 2 1 𝑛⃗ ⋅𝐷⃗⃗⃗⃗⃗𝐵⃗ =0 − 5 √3𝑥+ 5 𝑦 =0 2 2 令y=√3，则𝑛⃗ =(1,√3,1) ……12分 3 3 ∴cos<𝑛⃗ ,𝐻⃗⃗⃗⃗⃗𝐴⃗⃗⃗ 1 >= √02+02+( 3 √3 2 √ ) 2 3 × × √ 1 12+(√3) 2 +12 = 3 2 √ 2 3 √ × 3 √5 = √ 5 5 …… 14分 2 ∴面𝐴 𝐵𝐷与面𝐵𝐶𝐷夹角的余弦值为√5 ……15分 1 5 17.解：(1)当a=1时， 高二数学学科 答案 第2页(共5页) f ( x ) = 2 l n x + 1 x ，所以 f(1)=1……1分 依题有 f ' ( x ) = 2 x − 1 x 2 = 2 x x − 2 1 ，所以 f'(1)=1……3分 y= x 所以所求切线方程为l： .……5分 (2)由(1)知： f ' ( x ) = 2 x − a x 2 = 2 x x − 2 a ，所以切线l：y=(2−a)x+2a−2，……6分 设 G ( x ) = f ( x ) − ( 2 − a ) x + 2 − 2 a = 2 l n x + a x + ( a − 2 ) x + 2 − 2 a ， G ( 1 ) = 0 A1 C H A I D B ，则 2 a [(a−2)x+a](x−1) G'(x)= − +a−2= ,x0，……7分 x x2 x2 1°当a2时，当0 x1时，G'(x)0；当x1时，G'(x)0；即G(x)在(0,1)递减，(1,+)递 增，所以G(x)有唯一零点x =1，符合题意；……9分 02°当 高二数学学科 答案 第3页(共5页) a = 1 时， G ' ( x ) = − ( x x − 2 1 ) 2  0 ，即 G ( x ) 在(0,+)递减，所以 G ( x ) 有唯一零点x =1，符合题 0 意；……10分 3°当0a1时，令 G ' ( x ) = 0 a a a ，解得0 x =  x =1；即G(x)在(0, )递减，( ,1) 1 2−a 2 2−a 2−a 递增，(1,+  )递减；又 G ( 1 ) = 0 ， G ( 2 a − a )  0 ，当 x → 0 + 时， G ( x ) → +  ；当 x → +  时， → −  G ( x ) ；所以 G ( x ) 有两个零点，不符合题意；……12分 4°当 1  a  2 时，同理可知(令G'(x)=0，解得 0  x 1 = 1  x 2 = 2 a − a ；即 G ( x ) 在(0,1)递减，(1, 2 a − a ) 递增，( 2 a − a ,+  )递减；又G(1)=0， G ( 2 a − a )  0 ，当 x → 0 + 时， G ( x ) → +  ；当 x → +  时， G(x) → −  )G(x)有两个零点，不符合题意；……14分 综上所述： a  2 或 a = 1 . ……15分 18.解：（1）设 P ( x , y ) ，则 x   2 y y ，所以k = ,k = ， AP x+2 BP x−2 所以 k A P k B P = x y + 2 x y − 2 = x y 2 2 − 4 = − 3 4 ，即 4 y 2 + 3 ( x 2 − 4 ) = 0 , x   2 ， 所以 E 的方程 x 4 2 + y 3 2 = 1 , ( x   2 ) ……4分 （2）（ⅰ）设 C ( x 1 , y 1 ) , D ( x 2 , y 2 ) ，依题意知，直线 l 的斜率不为0，设直线 l 的方程为 x = n y + 1 ，  x x 4 = 2 n + y y 3 + 2 1 = 1  ( 3 n 2 + 4 ) y 2 + 6 n y − 9 = 0 ，所以 y 1 + y 2 = − 3 n 6 2 n + 4 , y 1  y 2 = − 3 n 9 2 + 4 ，……6分 3 1 所以d = ,d = ，……8分 1 2 1+n2 1+n2 所以 9 d 1 + 1 d 2  4 1 + n 2  4 ，当且仅当 n = 0 时取等号 ……10分 8 4 ( 1−3n2) （ⅰⅰ）由（ⅰ）知：x +x =n(y +y )+2= ,x x =(ny +1)(ny +1)= ， 1 2 1 2 3n2+4 1 2 1 2 3n2+4 y y 设k =k = 1 ,k =k = 2 ，由题意知，k 0,k 0， 1 AC x +2 2 AD x +2 1 2 1 2 y y −9 −9 1 kk = 1 2 = = =− 1 2 x x +2(x +x )+4 4 ( 1−3n2) +16+4 ( 3n2+4 ) 36 4 ，……12分 1 2 1 2由题意知 高二数学学科 答案 第4页(共5页) k B C  k A C = k B C  k 1 = − 3 4 , k B C  k 1 = 3 k 1  k A D , k 1  0 ， k Bk C 1  k k 2 1 = − − 3 41 4 = 3 = k B C k 2  k B C = 3 k 2 = 3 k A D ， 即 k B N = 3 k A N , 所以 x y N N− 2 = x 3 N y N+ 2 , y N  0 , 3 ( x N − 2 ) = x N + 2 ，所以 x N = 4 ，即N在直线 x N = 4 上，……14分 （其他解法酌情给分） 同理可证：M在直线x =4上，故 M A B ⊥ M N ……14分 因为直线AC的方程为y=k (x+2)，直线AD的方程为 1 y = k 2 ( x + 2 ) ， 由 x = 4 ，得 y M = 6 k 1 , y N = 6 k 2 ，所以 M N = y M − y N = 6 ( k 1 − k 2 )  6 k 1  ( − k 2 ) = 6 ， 1 1 当且仅当k = ,k =− 时取等号，所以 1 2 2 2 M N 的最小值为6；……16分 1 所以AMN 的面积最小值为S = 6|MN | =18……17分 min 2 min 19.解：(1)对于数表B，有a =0，而 12 3 i=1 a i2 + 3 j=1 a 1 j = 2  3 ，不符合定义，故B不是典型表……2分； 对于数表C，当 a st = 0 时，总有 3 i= 1 a it + 3 j= 1 a sj = 4  4 ，所以数表C是典型表……4分. (2)假设存在典型表 A 使得S =17，则 6 A 中含有17个1，19个0，所以至少有一行中含有0的个数 不少于4. ①若第一行有4个0时，则该行0项所在列的和不小于4，此时 S 6  4  4 + 2 = 1 8  1 7 ；……6分. ②若第一行有5个0或6个0时，则该行0项所在列的和不小于4，此时 S 6  5  5 = 2 5  1 7 ；……8分. 以上均与S =17矛盾，故假设不成立，即不存在典型表A使得S =17……10分. 6 6 (3)不妨设典型表 A 的第 i 行含有1的个数是所有行与列中最少的，并设1的个数为 t (t = 0 ,1 ,2 , , n ) ，则 对于该行的 n − t 个0，每个0所在的列各数字之和不小于 n − t ；对于该行的 t 个1，每个1所在的列各 n n2 数字之和不小于t，所以S (n−t)2 +t2 =2(t− )2 + …………13分； n 2 2所以 高二数学学科 答案 第5页(共5页) S nm in =  n 2 n 2 2 ， + 2 1 n ， 为 n 偶 为 数 奇 数 …………15分； 2n n (2k)2 (2k −1)2 +1 n 故[(−1)iSi ]=( − )=(2k −1)=n2…………17分. min 2 2 i=1 k=1 k=1 所以当 n  2 时， S nm in =  n n 2 2 2 2 ， + 1 n ， 为 n 偶 为 数 奇 数 …………15分； 故 2 n i= 2 [ ( − 1 ) i S im in ] = S 2m in + 2 n i= 3 [ ( − 1 ) i S im in ] = 2 + k n = 2 ( ( 2 k 2 ) 2 − ( 2 k − 1 2 ) 2 + 1 ) = 2 + k n = 2 ( 2 k − 1 ) = n 2 + 1 ……17分.