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作业 01 三角函数的图象与性质
图象
定义域
值域
当 时， 当 时，
最值 ；当 既无最大值也无最小值
；当
时， ．
时， ．
周期性 最小正周期 最小正周期 最小正周期
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
在 在 上是增函
上是增函数； 数；
单调性 在
在 上是减函 上是增函数．
在
数．
上是减函数．
对称中心
对称性 对称中心 对称中心
对称轴 对称轴 无对称轴
学科网（北京）股份有限公司一、单选题
1．函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【分析】利用诱导公式及正切函数的周期公式计算即可.
【详解】易知 ，则其最小正周期为 .
故选：C
2．函数 的对称中心为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用代入验证法求出对称中心即可.
【详解】函数 ， ，
因此点 是函数 图象的对称中心，点 不是；
，则点 及 都不是函数 图象的对称中心.
故选：B
3．已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】根据函数图象，由 ，求得周期，进而得到 ，再根据点 在图象上即可求解．
【详解】由图象知， ，即 ，则 ，
所以 ，
因为点 在 图象上，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
故选：C．
4．不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用正切函数的单调性解不等式即得.
【详解】依题意，得 ，解得 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：A
5．设函数 在区间 上是单调函数， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 在区间 上是单调函数得出 ，由 分析出 的值，即可计
算出 ．
【详解】因为 在区间 上是单调函数，且 ，
所以 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司又因为 ，
所以 是 的一条对称轴， 是 的一个对称中心，
若 和 是同一周期中相邻的对称轴和对称中心，
则 ，即 ，符合题意
若 和 是同一周期不相邻的对称轴和对称中心，
则 ，即 ，不合题意，
又 ，所以 ，
故选：A．
二、多选题
6．已知函数 （其中 ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A．函数 的周期为
B．函数 的图象关于 对称
C．函数 在区间 上的最大值为2
D．直线 与 的图象所有交点的横坐标之和为
【答案】ACD
【分析】根据给定函数的图象，结合五点法作图求出解析式，再逐项分析求解即可.
【详解】观察函数图象， ，函数 的周期为 ， ，
由 ，得 ，而 ，则 ， ，
学科网（北京）股份有限公司对于A，函数 的周期为 ，A正确；
对于B， ，函数 的图象关于 不对称，B错误；
对于C，当 时， ，当 ，即 时， 取得最大值2，C正确；
对于D，当 时， ，由 ，即 ，
得 或 ，解得 或 ，显然 ，D正确.
故选：ACD
7．若函数 在 上单调，则 的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据余弦函数只能在半个周期内单调可得 ，再通过整体法确定 的取值范围，最后
求解 取值范围即可.
【详解】由题意函数 的最小正周期为 ，
因为函数 在区间 上单调，
可得 ，
则 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
因为 在 上单调，
所以 或
学科网（北京）股份有限公司解得 或 ．
故选：AB.
8．已知函数 ，则（ ）
A． 的对称轴为
B． 的最小正周期为
C． 的最大值为1，最小值为
D． 在 上单调递减，在 上单调递增
【答案】AD
【分析】作出函数 的图象，对于A，验算 是否成立即可；对于B，由
即可判断；对于CD，借助函数单调性，只需求出函数 在 上的最大值和
最小值验算即可判断CD.
【详解】作出函数 的图象如图中实线所示．
对于 ，由图可知，函数 的图象关于直线 对称，
对任意的 ，
，
所以函数 的对称轴为 ，A正确；
对于 ，对任意的
，
学科网（北京）股份有限公司结合图象可知，函数 为周期函数，且最小正周期为 ，故B错误；
对于C，由 选项可知，函数 的对称轴为 ，且该函数的最小正周期为 ，
要求函数 的最大值和最小值，只需求出函数 在 上的最大值和最小值，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
因为 ，
所以 ，因此 的最大值为 ，最小值为-1，故C错误；
对于 ，由C选项可知，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 正确，
故选：AD．
【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是求出函数 在 上的最大值和最小值即可，由此即可
顺利得解.
三、填空题
9．已知函数 ，且 在区间 上的最大值为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用整体法，求解 ，即可结合正弦函数的性质求解.
【详解】由于 ，则 ，
由于 在区间 上的最大值为 ，则 在区间 上的最大值为1，
故 ，解得 ，故 的最小值为
故答案为：
10．函数 的值域为 .
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】由已知可知， ，利用同角平方关系对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质
可求函数的最大与最小值，则值域可得.
【详解】由正弦函数的性质可知，当 ，
当 时， ；当 或 时， ，故值域为 .
故答案为：
四、解答题
11．已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期和对称中心；
(2)求函数 的单调递减区间；
(3)当 时，求函数 的最值及此时x的值．
【答案】(1)最小正周期为 ，对称中心为
(2)单调递减区间为
(3)当 时 有最小值为 ，当 时 最大值为 .
【分析】（1）利用周期公式求周期，根据整体代入法结合正弦函数的对称性求解可得对称中心；
（2）根据整体代入法，利用正弦函数的单调递减区间可解；
（3）根据 的范围求出 的范围，利用正弦函数性质求解可得.
【详解】（1） ，
函数 的最小正周期为 ．
令 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司函数 的对称中心为 ．
（2）令 ，
则 ，
函数 的单调递减区间为 ．
（3） ， ．
， ．
当 ，即 时， 取得最小值 ；
当 ，即 时， 取得最大值 .
12．函数 的部分图像如图所示.
(1)求 的解析式；
(2)若 ，求 的值；
(3)若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据图象中特殊点的坐标，结合余弦型函数的周期公式进行求解即可；
（2）根据诱导公式可求解；
学科网（北京）股份有限公司（3）根据函数零点的定义，结合余弦型函数的有界性分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）由图可得 ，
函数 过点 ，
所以 ，则 ，
解得 ，
又 ，则 ，所以 ；
（2）若 ，即 ，
而 ；
（3）因为 ，所以 ，
则 ，令 ，
设 ，则 恒成立，
由二次函数的图象性质可知，只需 ，
解得 ，故 的取值范围为 .
1．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由正弦函数和对数函数的单调性求出即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
故选：A.
2．已知函数 ．若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用三角函数性质，再进行分情况讨论，最后对得出的不同取值范围取并集即可.
【详解】若函数在区间内无零点，则
此时需要分情况讨论: 当 时，解得 ，
又因为 ，所以当 时，可得 .
当 时，解得 .
又因为 所以当 时，可得 ，
综上可知， 的取值范围为
故选：D.
3．（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 是奇函数 B． 是周期函数
学科网（北京）股份有限公司C． D． 在区间 内单调递增
【答案】ABD
【分析】根据函数奇偶性、周期性的定义可判断A、B；由 ，可判定C；由 与
在 上的单调性和值域，再结合奇函数的性质，可判断 的单调性.
【详解】易知 的定义域为 ，
又 ，
所以 是奇函数，A正确；
由 ，
所以 是周期函数，B正确；
由 ，C错误；
当 时， ，且单调递增，
此时， 时， ，且单调递减，
所以函数 在 上单调递增，
又由 是奇函数，所以函数 在 上单调递增，
所以 在区间 内单调递增，D正确.
故选：ABD.
4．已知三角函数 ，又已知函数 满足如下条件 为 的一
个零点， 为 的一条对称轴，且 在区间 上单调.则 的最大值为
【答案】
【分析】由零点和对称轴可构造方程组求得 和 ，由此可得 为奇数，利用 在 上单调，可
学科网（北京）股份有限公司得 ，对范围内的 逐个验证可得 的最大值.
【详解】因为 是 的一个零点，所以 ；
因为 是 的一条对称轴，所以 ；
由 得： ，所以 ，
因为 在区间 上单调，设函数 的周期为 ，
则 ，所以 ，
所以 ，所以 的可能取值为 ，
当 时， ， ，
因为 ，
为 的一个零点， 为 的一条对称轴，
由 ，可得 ，
函数 在 不单调，
所以函数 在 上不单调，不满足要求，
当 时， ， ，
因为 ，
为 的一个零点， 为 的一条对称轴，
由 ，可得 ，
函数 在 不单调，
所以函数 在 上不单调，不满足要求，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ，
因为 ，
为 的一个零点， 为 的一条对称轴，
由 ，可得 ，
函数 在 单调递减，
所以函数 在 上单调，满足要求，
所以 的最大值为 .
故答案为： .
5．已知函数 ，满足
(1)求 的值
(2)若存在 ，使得等式 成立，求实数 的取值范围；
(3)若对任意 都有 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）解三角方程即可，注意 的范围；
（2）求出 解析式，利用正弦函数的性质求出 的范围，再分离参数求解作答；
（3）代入化简得 ，对任意 恒成立，换元后利用基本不等式
求出最值得解．
【详解】（1）由题意可得 ，
即 ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司又 ；
（2）由（1）知 ，
令 ，则 ，
存在 ，使得等式 成立，
即存在 ，使 ，则存在 ，使 成立，
令 ，则 的值域是
所以实数 的取值范围为 ；
（3） 即 ，
化简整理得， ，对任意 恒成立，
令 ，则 恒成立，
即 ，对任意 恒成立，
又 ，
当且仅当 即 时等号成立，
，
所以实数 的取值范围为 ．
1．已知函数 ，现给出下列四个选项正确的是（ ）
A． 为奇函数
B． 的最小正周期为
C． 是 的一条对称轴
D． 在 上单调递增
学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】由函数奇偶性的验证可判断A，根据周期定义及诱导公式判断B，根据函数的对称性可判断C，
根据正弦型函数的单调判断D.
【详解】因为 的定义域为 ，所以 为偶函
数， 错误；
由 ，可得 的最小正周期为 ，B错误；
，
，
因为 ，所以 是 的一条对称轴，C正确；
当 时，函数 单调递增，值域为 ，
当 时，函数 单调递增，故 在 上单调递增.
当 时，函数 单调递增，值域为 ，
当 时，函数 单调递减，故 在 上单调递减，D错误.
故选：C.
2．已知函数 ， ， 为 的零点，且 恒成立， 在区间
上有最小值无最大值，则 的取值可以是（ ）
A．7 B．3 C．5 D．11
【答案】A
【分析】依题意可得 ，即可得到 ，再由 在区间 上有最
小值无最大值求出 ，从而确定 的可能取值，再代入检验即可.
【详解】因为 为 的零点，所以 ，
所以 ， ①；
又 恒成立，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ②；
① ②得 ， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，解得 ，
又 在区间 上有最小值无最大值，所以 ，所以 ，解得 ，
所以 的可能取值为 、 、 、 、 、 ，
当 时 ，由 ， 且 ，
所以 ，所以 ，
又 ，当 在 上单调递增，故不存在最值，不符合题意；
当 时 ，由 ， 且 ，
所以 ，所以 ，显然 ，不符合题意；
当 时 ，由 ， 且 ，
所以 ，所以 ，
又 ，当 ，则 ，
当 ，即 时 取值最小值 ，
所以 在区间 上有最小值无最大值，符合题意；
当 时 ，由 ， 且 ，
所以 ，所以 ，又 ，不符合题意；
当 时 ，由 ， 且 ，
所以 ，所以 ，
又 ，当 ，则 ，
当 ，即 时 取值最小值 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 在区间 上有最小值无最大值，符合题意；
当 时 ，由 ， 且 ，
所以 ，所以 ，又 ，不符合题意；
综上可得 或 .
故选：A
3．（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 是周期函数 B． 的图象必有对称轴
C． 的增区间为 D． 的值域为
【答案】AB
【分析】由 可判断A；由 可判断B；根据 和 的大小可判断C；
推导出 ，即可判断D.
【详解】对于A： ，
故 是 的周期，故A正确；
对于B： ，
故 关于 轴对称，故B正确；
对于C： ， ，
故 在 不单调递增，故C错误；
对于D：因为 ， ，
要使 ，当且仅当 且 ，
若 ，则 ，又 ，此时 ，
同理，若 ，此时 ，
即 与 不能同时取等号，
所以 ，故D错误.
学科网（北京）股份有限公司故选：AB.
1．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式 ，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 形式，再求
的单调区间，只需把 看作一个整体代入 的相应单调区间内即可，注意要先
把 化为正数．
2．（2020·全国·高考真题）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数
图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即
可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
3．（2021·全国·高考真题）已知函数 的部分图像如图所示，则
.
【答案】
【分析】首先确定函数的解析式，然后求解 的值即可.
学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得： ，
当 时， ，
令 可得： ，
据此有： .
故答案为： .
【点睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是
求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝ 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x，
0
则令ωx＋φ＝0(或ωx＋φ＝π)，即可求出φ.
0 0
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和
φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
4．（2022·全国·高考真题）记函数 的最小正周期为T，若 ，
为 的零点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先表示出 ，根据 求出 ，再根据 为函数的零点，即可求出 的取值，从而得
解；
【详解】解： 因为 ，（ ， ）
所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，
又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
5．（2023·全国·高考真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值
范围是 ．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】令 ，得 有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .
学科网（北京）股份有限公司
