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作业 07 正弦定理及其解三角形
1. 正弦定理
（1）基本公式：
（其中 为 外接圆的半径）
（2）变形
2. 三角形中三个内角的关系
＝－
，
， ，
一、单选题
1．在 中， ， ， ，则角 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】在 中， ， ， ，
由正弦定理 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 .
故选：D
2．在 中，其内角 的对边分别是 ， ， 根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司【分析】对于ABD：根据题意利用正弦定理分析求解，结合内角和性质分析取舍，即可判断解的个数；对
于C：结合等边三角形的性质分析判断.
【详解】对于选项A：若 ， ， ，由正弦定理可得 ，
则 ，此时 不存在，三角形无解；故A错误；
对于选项B：若 ， ， ，由正弦定理可得 ，
则 ，
可知 或 ，而 时， ，应舍去，
所以 ，即三角形有且仅有一解；故B错误；
对于选项C：若 ， ， ，可知 为等边三角形，
所以三角形仅有一解； 故C错误；
对于选项D：若 ， ， ，由正弦定理可得： ，
则 ，所以 或 ，
两种情况下，三角形都存在，即三角形有两解，故D错误.
故选：D.
3．设 的内角 的对边分别为 若 的周长为 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 及正弦定理得 化简结合余弦定理即可求解.
【详解】由题意可知 ,
由正弦定理得
即 整理得
由余弦定理得
学科网（北京）股份有限公司又 所以
故选：A．
4．在 中，若 ，则这个三角形是（ ）
A．等腰三角形或直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】根据题意，由正弦定理的边角互化，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 ，
由正弦定理可得 ，
化简可得 ，
即 ，
即 ，所以 或 ，
即 或者 ，所以三角形是等腰三角形或直角三角形.
故选：A
5．在 中，角 的对边分别为 ，已知 的平分线交 于点 ，且
，则 的最小值是（ ）
A．4 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．
【详解】 由正弦定理得
因为 ，所以 ，故 ，
如图所示，
则 的面积为 ，
即 ，
．
．
当且仅当 时取等号．
所以， 的最小值为 ．
学科网（北京）股份有限公司故选：D．
二、多选题
6．在 中，角 所对的边分别为 ，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 是等腰三角形
B．若 ，则符合条件的 有两个
C．若 ，则 为等腰三角形
D．若 ，则 为直角三角形
【答案】ABD
【分析】对于A，使用正弦定理即可证明 ；对于B，使用余弦定理解出全部的 即可证明
有两解；对于C，给出一组反例即可否定；对于D，使用和差化积以及积化和差公式即可证明
或 .
【详解】对于A，由已知有 ，故 ，所以
，故A正确；
对于B，我们只需要确定满足条件的 的个数，由余弦定理知 满足的方程是 ，即
，而该方程有两个解 ，故B正确；
对于C，若 ， ， ，则 ，但 不是等腰三角形，故C错
误；
对于D，若 ，则有
.
故 ，从而 .
这表明 或 ，即 或 ，故D正确.
故选：ABD
7． 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
学科网（北京）股份有限公司B．若 ， ， ，则 有两解
C．若 为钝角三角形，则
D．若 ，则 是钝角三角形
【答案】AB
【分析】利用正弦定理判断A、B，利用余弦定理判断C、D.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，由正弦定理得 ，故A正确；
对于B，因为 ， ， ，所以 ，
即 ，又 ，所以 有两解，
所以 有两解，故B正确；
对于C，因为 为钝角三角形，当 为钝角时， ，则 ，故C错误；
对于D，因为 ，设 ，则 ， ，显然 ，
由余弦定理 ，
又 ，所以 为锐角，则 是锐角三角形，故D错误.
故选：AB
8．记 的内角 的对边分别为 ，已知 ，下列结论正确的是
（ ）
A．
B．
C． 一定是钝角三角形
D．若 ，则 的面积是
【答案】AC
【分析】由 ，可表示出三边，根据正弦定理以及余弦定理，结合三角形的面
积公式，可得答案.
【详解】由已知可设 ，
则 ，
， ，故A正确；
学科网（北京）股份有限公司又 ，
又 ，
为钝角三角形， ，故B不正确，C正确；
若 ，则 ，
又 ， ，故D不正确．
故选：AC.
三、填空题
9．在△ 中， ，则△ 的外接圆的半径为 .
【答案】 /
【分析】利用余弦定理求解 ，再用正弦定理求△ 的外接圆的半径即可.
【详解】由余弦定理可知 ，
所以 ，
则△ 的外接圆的半径为 .
故答案为： .
10．在锐角 中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，则 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理角化边得 ，代入余弦定理转化为关于 的一元二次不等式求解即可.
【详解】由条件及正弦定理可得 ，
因为 ，满足C为锐角．
因为A为锐角，由余弦定理可得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ．
由B为锐角可得 ，即 ，
所以 ，又 ，解得 ．
综上，即 的取值范围为 ．
故答案为：
四、解答题
11．记 的内角 的对边分别为 ，面积为 ，且 ．
(1)求 的外接圆的半径；
(2)若 ，且 边上的高 ，求角 ．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）由三角形面积公式结合正弦定理即可得解；
（2）由三角形面积公式得 结合已知得 ，进一步由正弦定理以及三角形内角和即可求解.
【详解】（1）在 中， ，
解得 ，
由正弦定理得 的外接圆的半径 ．
（2）由（1）知 ，即
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司12．在 中，角 所对的边分别为 ，且 ．
(1)求 的大小；
(2)若 ， ，点 在边 上，且 ，求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算可得 ，即可求解；
（2）根据平面向量的线性运算可得 ，结合向量数量积的运算律和定义计算即可求解.
【详解】（1） ，由正弦定理得 ，
，
又 ，
所以 ，
得 ，又 ，
所以 ，即 ，
得 ，又 ，所以 ，
故 ；
（2）由 ，得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 .
1．在 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且 ，若 ，则 外接
圆半径为 .
【答案】
【分析】根据正弦定理结合两角和正弦公式化简求解 ，再由 得 ，最后由正弦定理求得
学科网（北京）股份有限公司外接圆半径即可.
【详解】由 及正弦定理得 ，
即 ，即 ，由 ，则 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以由正弦定理得， 的外接圆半径为 .
故答案为：
2．在 中，角 所对的边长分别为 ，若 ，则
.
【答案】 /
【分析】将条件 中的正切化为正弦和余弦，整理得到
，再使用正弦定理和余弦定理即可，
【详解】因为 ，
所以
，即 ，
结合正弦定理，知 ，
故 ，
从而 ，即 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，一开始将关于正切的条件转化为较为容易研究的正弦和余弦，
再使用正弦定理和余弦定理即可.
3．我国著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中，提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，
可以看出我国古代已经具有很高的数学水平．设 分别为 内角 的对边， 表示 的面
积，其公式为 ．若 ， ，则 的面积 为
．
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【分析】根据正弦定理，可得 ，再化简已知条件，结合面积公式求解.
【详解】因为 ，根据正弦定理，得 ，即 ，
又因为 ，即 ，
所以 .
故答案为：
4．已知 三个内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且 ， .则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 的取值范围为
D．若 ，则 为等边三角形
【答案】ABD
【分析】根据余弦定理化简判断A，根据正弦定理结合合比性质判断B，利用正弦定理及数量积定义得
，然后利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的性质求解范围判断C，根据向量
线性关系及数量积的几何意义易知 的角平分线与 垂直且 ，即可判断D.
【详解】对于A，在 中， ，由余弦定理得 ，
正确，
对于B，由正弦定理 ，可得 ，
，
所以 ，正确；
对于C，由选项B知， ，则
学科网（北京）股份有限公司，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，错误；
对于D， 表示 方向的单位向量； 表示 方向的单位向量，
根据平面向量加法的几何意义可知 与 的角平分线共线，
由 可知 的角平分线与 垂直，所以 是等腰三角形，
又 ，所以 为等边三角形，正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用数量积的定义及正弦定理、综合运用两角和差正弦公式及二
倍角公式化简，再利用正弦函数的性质求解范围即可.
5．在 中，内角 的对边分别为 ，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 为锐角三角形，则
C．若 ，则 一定为钝角三角形
D．若 的三角形有两解，则a的取值范围为
【答案】ABD
【分析】本题A选项根据三角形的边角关系结合正弦定理即可解决；B选项根据锐角三角形中任意两个角
的和大于 ，再由诱导公式即可解决；C选项根据三角形内角和定理、诱导公式化简并结合已知条件讨论
确定符号，从而确定角的情况；D选项已知两边和其中一边的对角，根据有两解画图分析列出不等式即可
得出a的取值范围.
【详解】A选项：根据大角对大边， ，根据正弦定理可得 ，其中R
为三角形外接圆半径，于是 ，A正确；
B选项：若 为钝角三角形，则 ，所以 ，则 ，B正
学科网（北京）股份有限公司确；
C选项：因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 中有0个或2个为负数，
又因为 中最多一个为钝角，所以 ，
即 都是锐角，所以 为锐角三角形，C错误．
D选项：因为三角形有两解，所以 ，即
所以a的取值范围为 ，D正确．
故选：ABD.
1．若 的角 所对边 ，且满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首项由诱导公式二倍角公式得 ，进一步结合正弦定理以及两角和正弦公式有
，在这里进一步有 ，注意到 ，假设 ，
结合基本不等式即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
，即 ，
从而 ，即 ，
所以 ，
显然 ，这意味着 不能都同时等于0，
否则 与三角形内角和矛盾，
从而有 ，
注意到 ，
要求 的最大值，我们不妨设 ，
从而 ，等号成立当且仅当 ，此时
学科网（北京）股份有限公司满足题意；
综上所述， 的最大值为 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键是得到 并假设 ，由此即可顺利得解.
2．在 中，角 所对的边分别为 ，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角恒等变换公式得到 ，从而 ，再由正弦定理
将边化角，转化为 的三角函数，由 的范围计算可得.
【详解】因为 ，则由正弦定理得 ，
又 ，
所以 ，
则 ，
又 ， ，则
所以 或 ，即 或 （舍去），
则 ，
所以 ，解得 ，则 ，
所以
，
所以 的取值范围是 ．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用正弦定理将边化角，得到 、 ，最后将
转化为关于 的三角函数.
3．在 中，角 所对的边分别是 ，且满足 ．
学科网（北京）股份有限公司(1)求角 ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合辅助角公式进行求解；
（2）对待求表达式使用正弦定理边角互化，得到 ，然后消去一个变量，使
得原式是关于 的三角函数表达式，结合二倍角公式，二次函数的知识点求解.
【详解】（1） ，由正弦定理得，
，
因为 ，
所以 ，
即 ，
因为 ，所以 ，故 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
故 ，解得 ；
（2）由（1）知 ，根据正弦定理，
则
学科网（北京）股份有限公司，
令 ，
因为 ，所以 ， ，
则 ，
故当 时， 取得最小值，最小值为 ，
当 时， 取得最大值，最大值为 ，
故 的取值范围是 .
1．（2023·全国·高考真题）在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，且 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得 的值，最后利用三角
形内角和定理可得 的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，由于 ，故 ，
据此可得 ，
则 .
学科网（北京）股份有限公司故选：C.
2．（全国·高考真题）在 中， ， ．
(1)求 的值．
(2)设 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数关系可求得 ，由 ，利用两角和差正弦公式可
求得结果；
（2）利用正弦定理可求得 ，由三角形面积公式可求得结果.
【详解】（1） ， ， ， ， ， ，
.
（2）由正弦定理得： ；
.
3．（2023·天津·高考真题）在 中，角 所对的边分别是 ．已知 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据正弦定理即可解出；
（2）根据余弦定理即可解出；
（3）由正弦定理求出 ，再由平方关系求出 ，即可由两角差的正弦公式求出．
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
（2）由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
．
4．（全国·高考真题）△ABC中D是BC上的点,AD平分 BAC,BD=2DC．
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）若 ,求 .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得： （Ⅱ）由诱导公式可得
由（Ⅰ）知 ,
所以
试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得 因为AD平分 BAC,BD=2DC,所
以 .
（Ⅱ）因为
所以 由（I）知 ,
所以
考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.
5．（2023·全国·高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；
（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求 ,再由正弦定理求出 ，根据等面积法
求解即可.
【详解】（1） ，
，即 ，
又 ，
，
，
，
即 ，所以 ，
.
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ，
，
.
学科网（北京）股份有限公司
