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作业 08 余弦定理及其解三角形
1. 余弦定理
（1）边的余弦定理
， ，
（2）角的余弦定理
， ，
2. 三角形的面积公式
一、单选题
1．在 中，角 所对的边分别为 .若 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．16 D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用余弦定理，即可求解.
【详解】因为在 中， ，
由余弦定理得 ，解得 .
故选：B.
2． 的内角 所对边分别为 ，若 ，则角 的大小（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由余弦定理及 ，即可求得角 ．
【详解】由余弦定理得， ，
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
由 ，所以 ，
故选：D．
3．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 ，则此人（ ）
A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形
【答案】D
【分析】由已知结合三角形的面积公式可表示出三边长，然后结合余弦定理即可判断．
【详解】设三条高的长度分别为 所对的三边分别为 ， ， ，
则由三角形面积公式可知， ，
故可设 ， ， ，则 ，故 ，
则最大角为 ，由余弦定理得：
则 为钝角，故此三角形为钝角三角形．
故选：D．
4．在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，则 一定是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】利用余弦定理得到 ，即可得到 ，从而得解.
【详解】因为 ，又由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 ，
所以 为等腰三角形.
故选：C
5． 中 所对的边分别为 ，若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【分析】 余弦定理求得 ，则 ，由 ，代
入求值即可.
【详解】由 ，得 ，
由余弦定理得 ，
，则有 ，所以 ，
.
故选：A
二、多选题
6．若某锐角三角形的三边长分别为1，2， ，则 的值可能为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】ABC
【分析】首先由三角形三边关系得 ，进一步分析可知只需 ，解不等式组对比选项
即可求解.
【详解】若某锐角三角形的三边长分别为1，2， ，首先 ，
由题可知只需满足最大角是锐角即可，
由大边对大角结合余弦定理可知，只需 ，解得 ，
对比选项可知， 的值可能为2， ， .
故选：ABC.
7．已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据余弦定理求解即可.
【详解】由余弦定理 ，即 ，即 ，
故 ，即 或 .
故选：AB
8．已知 分别是 的内角 的对边，且 ， ，则（ ）
A． B． C． 面积的最大值为 D． 面积的最大值为
【答案】AC
【分析】对于AB，将已知等化简后，利用余弦定理可求得角 ，对于CD，由 ， ，结
合基本不等式可求得 ，然后利用三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】对于AB，由 ，得 ，化简得 ，
所以由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，所以A正确，B错误，
对于CD，由 ， ，得 ，当且仅当 取等号，
所以 ，当且仅当 取等号，
所以 ，当且仅当 取等号，
所以 面积的最大值为 ，所以C正确，D错误，
故选：AC
三、填空题
9．在 中， ，则最大角的余弦值为 .
【答案】
【分析】利用正弦定理边角的转化，将正弦值之比转化为边长之比，然后利用余弦定理即可求解.
【详解】∵ ，
∴由正弦定理化简得 ：
分别设 ，则最大角为C，
∴ ．
学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
10．在凸四边形 中，若 ， ， ， ， ，则 .
【答案】
【分析】在 中，利用余弦定理求出 ，确定 为直角，由余弦定理求得 ，由同角关
系得 ，最后由诱导公式得结论．
【详解】在凸四边形 中，若 ， ， ， ， ，
如图所示：
在 中，利用余弦定理 ，
所以 ；
由于 ， ，
满足 ，所以 ，即 为直角三角形；
由于 ，
则 ，
所以 ．
故答案为： ．
四、解答题
11．在 中，内角 的对边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司【分析】
（1）由已知条件利用余弦定理进行边角转化，求出角度即可.
（2）由已知利用余弦定理结合辅助角公式，求出 的最大值即可.
【详解】（1）在 中，由余弦定理得 ，
即 ，即 ，
因此 ，即 ，即 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 ，因此 .
（2）由（1）得 ，即 ，
整理得 ，设 ，解得 ，
故 ，
因此 的最大值为 .
12． 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)若点 在 上，满足 ，求 面积的最大值．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】（1）根据题意，由正弦定理将角化边，结合余弦定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由向量的模长公式代入计算，结合基本不等式，即可得到结果.
【详解】（1）
由正弦定理得， ，即 ，
，又 .
学科网（北京）股份有限公司（2） ， ，
则 ，即 ．
所以 ，
，当且仅当 时等号成立，
．
面积的最大值为 ．
1．在锐角 中，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理可得 ，当 时，不妨设 ，可得 ，由 及锐角三角形
中 可得 ，从而可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
当且仅当 时取等号， .
当 时，不妨设 ，则 ，
所以 ，即 ，所以 ，
因为锐角三角形中， ，则 ，故 ，
而 ，则 ，所以 ，
综上所述， .
故选：B.
2． 的三边为 满足 ，则 是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数和幂函数性质由条件证明 ，由条件结合指数函数性质可得 ，
根据余弦定理和大边对大角即可判断三角形形状.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以
所以 ,
由
，
故 为锐角三角形，
故选：C.
3．已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由余弦定理的边角互化可得 ， ，即可得到 的关系式，代
入计算即可得到 ，再由同角的平方关系即可得到结果.
【详解】因为 ，所以 ，
整理可得 ①，
又 ，可得 ，
所以 ，解得 ②，
由①②可得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
则 .
故选：D
4．已知在 中，角 所对的边分别为a，b，c，若 ， ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理结合已知，化简 ，再利用正弦函数单调性求解即得.
【详解】在 中，由 ，得 ，则 ， ，
由余弦定理得 ，
因此 ，依题意， ，则 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B
5．（多选）若 的内角 所对的边分别为 ，且满足 ，则（ ）
A．角 可以为锐角 B．
C． D．角 的最大值为
【答案】CD
【分析】将原条件用半角公式化简可得 ，从而得到 是钝角，选项A错误；然后根据 是锐
角得出 ，从而直接推出选项B错误；再用余弦定理处理 ，即得 ，
选项C正确；最后将 和余弦定理结合计算 ，可得 ，从而 ，之后再给出
的一个例子，即可得到角 的最大值是 ，选项D正确.
【详解】由 知 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，从而 是钝角，选项A错误；
由于 是钝角，故 是锐角，从而 ，选项B错误.
由 ，结合余弦定理有 ，即 ，故 ，选项C
正确；
由 ，结合余弦定理有
，所以 .
当 ， 时，有 ， ，此时 ，故条
件满足，同时 取得 .
这表明角 的最大值是 ，选项D正确.
故选：CD.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于使用余弦定理处理 和 ，将其转化为三边的表示，从而
能够更好地用代数方法进行处理.
1．在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为 的面积， ，且 ，则
的周长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式求出 ，利用正弦定理表示 ，求出周长最大值，进而
利用三角形的性质求解即可.
【详解】若 ，则由余弦定理得 ，
而由面积公式得 ，故 ，
则 ，则 ，则 ，
则有 ，而在 中，可得 ，
由二倍角公式得 ，故 ， ，
学科网（北京）股份有限公司由正弦定理得 ，则 ，
可得 ，
，而 ，则 ，
显然当 时， 最大，且此时 ，故 ，
而易知 ，综上 ，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查求解三角形，解题关键是求出 ，然后表示出 ，由三角函数和三
角形性质得到所要求的取值范围即可．
2．（多选）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 ， ， 分别是 的重心，
垂心，外心.若 ，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】设 由 ，可求 ，进而可求得 ，
，进而由正弦定理可判断A；不妨取 ，由三角形外心的性质可得
可判断C；设外心O到边BC的距离为 ，由欧拉线定理可得
HA=2 ，进而可得 ，进而可求 ，判断B；由题意可得设BC边上的中线长为
，由平行四边形的性质可得 ，可求得 ，可判断D.
【详解】设
由 解得
即
可求得
所以 ，故A正确；
不妨取 ，
学科网（北京）股份有限公司由外心性质可知，C中面积比等价于 故
C正确；
设外心O到边BC的距离为 ，
由三角形中的欧拉线定理知三角形的外心、垂心和重心在一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重
心的距离之半(根据重心为中线的三等分点可证),
又O在BC边的垂直平分线上，进而可得HA=2 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
结合C选项，可得 ，故B正确；
设BC边上的中线长为 ，设AC边上的中线长为 ，设AB边上的中线长为 ，
由重心的性质可得 ，
设三角形ABC中，D为BC边上的中点，A，B，C所对边为 ，延长BC边上的中线至M，使
DM=AD，连接MC，MB，可得四边形ABMC是平行四边形，
由平行四边形的性质可得 ，所以可得BC边上的中线长为 ，
结合中线长公式可得 ，
所以 ，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】方法点晴：三角形四心的应用，欧拉线定理是解决本题的关键，考查转化思想与运算求解能力，
综合性强，大量的知识是对课本知识的引申拓展，难度较大。
3．已知 的内角 所对的边分别为 且满足
学科网（北京）股份有限公司(1)求证： ；
(2)若 ，且 为锐角三角形，求 的面积 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用余弦定理进行角化边，结合二倍角公式证明即可.
（2）将三角形的面积表示为一元解析式，后分析其单调性，利用 为锐角三角形求出角度的范围，再
求面积范围即可.
【详解】（1）在 中，由正弦定理得 ，
故由余弦定理得 ，
，
而 ，
，
故 成立，
因为 ，则 ，故 ，则 ，
所以又 ，则 成立，故原命题得证.
（2）易知 ，由正弦定理得 ，
故 ，由正弦定理得 ，
而 ，则 ，由题意得 为锐角三角形，
故 ，由上问得 ，故有 ，解得 ，
由三角形内角和定理得 ，解得 ，
故 ，由 ， 可得，
将原式化为 ，
学科网（北京）股份有限公司，
令 ，故设 ，由 ， 在 上单调递减，
故 在 上单调递减，可得 ，
故 ，即 的面积 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形，解题关键是合理表示三角形面积，然后化简成为一元函数，求
出角度的范围，最后利用换元法得到所要求的取值范围即可．
1．（上海·高考真题）在 中，若 ， ， ，则 ．
【答案】3.
【分析】由余弦定理得 ，代入数值解出 即可.
【详解】解：设 ，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，
由于 ，解得 ，即 .
故答案为3
【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，属于基础题.
2．（2021·全国·高考真题）在 中，已知 ， ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设 ，
结合余弦定理： 可得： ，
即： ，解得： （ 舍去），
故 .
故选：D.
【点睛】利用余弦定理及其推论解三角形的类型：
(1)已知三角形的三条边求三个角；
(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角；
(3)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．
学科网（北京）股份有限公司3．（2022·全国·高考真题）已知 中，点D在边BC上， ．当 取
得最小值时， ．
【答案】 /
【分析】设 ，利用余弦定理表示出 后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设 ，
则在 中， ，
在 中， ，
所以
，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以当 取最小值时， .
故答案为： .
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1， ），B（-t,0）
学科网（北京）股份有限公司[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
， ，
， ，
令 ，则 ，
，
，
当且仅当 ，即 时等号成立.
[方法四]：判别式法
设 ，则
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，记 ，
则
由方程有解得：
即 ，解得：
所以 ，此时
所以当 取最小值时， ，即 .
4．（浙江·高考真题）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ．
(1)求 的值；
学科网（北京）股份有限公司(2)若 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式及三角形的内角和定理化简后，得到一个关于
的关系式，把 的值代入即可求出值；
（2）根据余弦定理表示出 ，然后把等式变为 ，利用基本不等式和 的值即可求出
的最大值．
【详解】（1）解：因为
；
（2）解：根据余弦定理可知： ，
，
又 ，即 ，
，当且仅当 时， ，故 的最大值是 ．
5．（2021·全国·高考真题）在 中，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ， ， .．
（1）若 ，求 的面积；
（2）是否存在正整数 ，使得 为钝角三角形?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，且 .
【分析】（1）由正弦定理可得出 ，结合已知条件求出 的值，进一步可求得 、 的值，利用余弦
定理以及同角三角函数的基本关系求出 ，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角 为钝角，由 结合三角形三边关系可求得整数 的值.
【详解】（1）因为 ，则 ，则 ，故 ， ，
学科网（北京）股份有限公司，所以， 为锐角，则 ，
因此， ；
（2）显然 ，若 为钝角三角形，则 为钝角，
由余弦定理可得 ，
解得 ，则 ，
由三角形三边关系可得 ，可得 ， ，故 .
学科网（北京）股份有限公司
