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西安中学高2024届高三模拟考试(一)
数学学科（文科）答案
一、 单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 D C A B B D C C B C A B
二、填空题
13. ； 14. ；
15. 196； 16. ．
三、解答题
解：（ ）由 得
17. 1
由正弦定理得：
又 即
又
且
(2)
由余弦定理 得
即
解得
西安中学 高三年级 数学（文科）答案 第1页 共7页
学科网（北京）股份有限公司所以周长为
1
18.解：(1)根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为40× =10人，
4
可得得2×2列联表如下：
男 女 合计
喜爱看足球比赛 50 10 60
不喜爱看足球比赛10 30 40
合计 60 40 100
根据列联表中的数据计算得
100×(50×30−10×10) 2 1225
χ2= = ≈34.028>10.828
60×40×60×40 36
所以有99.999%的把握认为喜爱观看足球比赛与性别有关联．
(2)按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，
记男生为 女生为 ，从 人中抽 人，所以可能结果如下：
（ ）（a,b,）（ 1）,2,（3,4,5,）6 （ 8）（ 2）（ ）
a,b （, a,1）（, a,2）（, a,3）（, a,4）,（a,5）,（a,6）,
b ,1 , （b,2 ）, （b,3 ）, （b,4 ）, （b,5 ）, （b,6 ）,
1 ,2 （, 1,3）（, 1,4）（, 1,5）（, 1,6） ,
2 ,3 , （2,4 ）, （2,5 ）, （2,6 ）,
3 ,4 ,（3,5）, （3,6 ）,
4 ,5 , （4,6）共, 种结果，
5,6 28
设事件 表示“抽到男生人数为 人”，共 种结果，故
A 1 12
西安中学 高三年级 数学（文科）答案 第2页 共7页
学科网（北京）股份有限公司（ ）
19. 1
又 所以
因为 ， 为 中点，所以 ，
所以 平面 ，
所以平面 平面
.
（ ）因为 平面 ，平面 平面 ，
2
所以
.
因为 为 的中点，所以 ，
.
由（ ）知， 平面 ，所以 平面
来源
[ :Z,xx,k.Com]
1 .
所以三棱锥 的体积
.
解：（ ） ，得 ，
20. 1
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值；
西安中学 高三年级 数学（文科）答案 第3页 共7页
学科网（北京）股份有限公司（ ）对任意 即 ，
2
设 ， ，
①当 时， 单调递增， 单调递增， ，成立；
②当 时，令 单调递增， 单
调递增， ，成立；
③当 时，当 时， 单调递减， 单
调递减， ，不成立
.
综上，
.
c
{ =2, {a=1,
解：由题意，得 a 解得 ，
(1) b=√ 3
2b=2√ 3,
c=2,
21. c2=a2+b2,
y2
所以双曲线C的方程为x2− =1．
3
(2)证明：设直线PQ的方程为x=my+2．
{
y2
将其与双曲线的方程联立 x2− =1,
3
x=my+2,
y2
消去x得(my+2) 2− =1，整理得(3m2−1)y2+12my+9=0(∗)，
3
设P(x ,y )，Q(x ,y )，则y ，y 是方程(∗)的两根，
1 1 2 2 1 2
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学科网（北京）股份有限公司−12m 9
则y + y = ，y y = ．
1 2 3m2−1 1 2 3m2−1
因为直线 的方程为 y ，直线 的方程为 y ，
AP y= 1 (x+1) BQ y= 2 (x−1)
x +1 x −1
1 2
y
{ y= 1 (x+1),
x +1
联立方程组 1
y
y= 2 (x−1),
x −1
2
得x +1 y (x +1) y (my +3) my y +3 y
T = 2 1 = 2 1 = 1 2 2
x −1 y (x −1) y (my +1) my y + y
T 1 2 1 2 1 2 1
m y y +3(y + y )−3 y
= 1 2 1 2 1
m y y + y
1 2 1
9 −12m
m⋅ +3⋅ −3 y
3m2−1 3m2−1 1
= =−3，
9
m⋅ + y
3m2−1 1
1 1
由此解得x = ，故点T在定直线x= 上.
T 2 2
（ ）由曲线 的参数方程可知曲线 是以 为圆心，半径为 的圆，
22. 1 1
可得曲线 的普通方程 ；
由曲线 的极坐标方程可知曲线 是以 为圆心，半径为 的圆，
1
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学科网（北京）股份有限公司可得曲线 的普通方程 ．
（ ）当 最小时，A，B在两圆圆心的连线上，
2
此时 的值为两圆圆心距减去两圆半径，即 ．
由（ ）可知：直线AB的直角坐标方程为 ，即 ，
1
因为点P的直角坐标为 ，
点P到直线AB的距离为 ，
所以 的面积 ．
（ ）因为 是正实数， ，
23. 1
，当且仅当 时取等号，
由 ，得 ，
所以当 时， 取得最小值
18.
（ ）因为 是正实数， ，
2
则 ，即 ，
当且仅当 时取等号，又 ，因此当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 成立
.
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