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200 2 年河南高考数学真题及答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
2．（5分）圆 的圆心到直线 的距离是
A． B． C．1 D．
3．（5分）不等式 的解集是
A． B． 且 C． D． 且
4．（5分）在 内，使 成立的 的取值范围是
A． ， ， B． ，
C． ， D． ， ，
5．（5分）已知集合 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
6．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则
圆锥轴截面顶角的余弦值是
A． B． C． D．
7．（5分）函数 是奇函数的充要条件是
A． B． C． D．
8．（5分）已知 ，则有
A． B． C． D．
9．（5分）函数
第1页 | 共15页A．在 内单调递增 B．在 内单调递减
C．在 内单调递增 D．在 内单调递减
10．（5分）极坐标方程 与 的图形是
A． B．
C． D．
11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
12．（5分）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产
总值达到95933亿元，比上年增长 ”，如果“十 五”期间 年 年）每
年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十 五”末我国国内年生产总值约为
A．115000亿元 B．120000亿元 C．127000亿元 D．135000亿元
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）椭圆 的一个焦点是 ，那么 ．
14．（4分）在 的展开式中 的系数是 ．
15．（4分）已知 ， ，则 ．
16．（4分）已知函数 ，那么
．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知复数 ，求实数 ， 使 ．
18．（12分）设 为等差数列， 为等比数列， ， ， ，
第2页 | 共15页分别求出 及 的前10项的和 及 ．
19．（12分）四棱锥 的底面是边长为 的正方形， 平面 ．
（1）若面 与面 所成的二面角为 ，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面与面所成的二面角恒大于 ．
20．（12分）设 、 是双曲线 上的两点，点 是线段 的中点．
求直线 的方程
如果线段 的垂直平分线与双曲线相交于 、 两点，那么 、 、 、 四点是
否共圆？为什么？
21．（12分）（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图 ，要求用其中一块剪拼
成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的
面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；
（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 ，要求剪拼成一个直三棱柱，使它的
全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作
简要说明．
22．（14分）已知 ，函数 ．
（1）当 时，若对任意 都有 ，证明 ；
（2）当 时，证明：对任意 ， ， 的充要条件是 ；
（3）当 时，讨论：对任意 ， ， 的充要条件．
第3页 | 共15页参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数 的最小正周期是
A． B． C． D．
【解答】解：函数 ，所以函数的最小正周期为：
故选： ．
2．（5分）圆 的圆心到直线 的距离是
A． B． C．1 D．
【解答】解：由 得：圆心 ，
所以根据点到直线的距离公式得：
．
故选： ．
3．（5分）不等式 的解集是
A． B． 且 C． D． 且
【解答】解：求不等式 的解集
则分两种情况讨论：
情况 即：
则： ．
情况 即：
则：
两种情况取并集得 且 ．
第4页 | 共15页故选： ．
4．（5分）在 内，使 成立的 的取值范围是
A． ， ， B． ，
C． ， D． ， ，
【解答】解： ，
，
，
在 内，
，
故选： ．
5．（5分）已知集合 ， ， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：对于 的元素，有 ，其分子为 的奇数倍；
对于 的元素，有 ，其分子为 的整数倍；
分析易得， ；
故选： ．
6．（5分）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则
圆锥轴截面顶角的余弦值是
A． B． C． D．
【解答】解：设圆锥的半径为 ，高为 ，母线与轴所成角为 ，则圆锥的高
圆锥的体积
半球的体积
第5页 | 共15页即：
故选： ．
7．（5分）函数 是奇函数的充要条件是
A． B． C． D．
【解答】解：根据奇函数的定义可知
对任意 恒成立
， ，故选
8．（5分）已知 ，则有
A． B． C． D．
【解答】解： ，
故选： ．
9．（5分）函数
A．在 内单调递增 B．在 内单调递减
C．在 内单调递增 D．在 内单调递减
【解答】解： 是 向右平移1个单位而得到，
故 在 上为增函数，
在 上为增函数．
故选： ．
10．（5分）极坐标方程 与 的图形是
A． B．
第6页 | 共15页C． D．
【解答】解： 两边同乘以 得
利用 ， ， ，进行化简得
与
表示 ， 为圆心， 为半径的圆，
表示直线
故选： ．
11．（5分）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有
A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
【解答】解：使用间接法，首先分析从6个面中选取3个面，共 种不同的取法，
而其中有2个面相邻，即8个角上3个相邻平面，选法有8种，
则选法共有 种；
故选： ．
12．（5分）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产
总值达到95933亿元，比上年增长 ”，如果“十 五”期间 年 年）每
年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十 五”末我国国内年生产总值约为
A．115000亿元 B．120000亿元 C．127000亿元 D．135000亿元
【解答】解：根据题意，有 ，
故选： ．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）椭圆 的一个焦点是 ，那么 1 ．
第7页 | 共15页【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得： ，
因为焦点坐标为 ，所以长半轴在 轴上，
则 ，解得 ．
故答案为：1．
14．（4分）在 的展开式中 的系数是 100 8 ．
【解答】解： 的展开式中 的系数等于 展开式的 的系数加上
展开式的 的系数
展开式的通项为
令 ，得 故 展开式的 的系数为
令 得 故 展开式的 的系数为
故展开式中 的系数是
故答案为：1008．
15．（4分）已知 ， ，则 ．
【解答】解： ， ，
， ，或 （舍去），
， ，
故答案为： ．
16．（4分）已知函数 ，那么
．
第8页 | 共15页【解答】解： ，
（2） ， （3） ， （4） ， （1）
故答案为：
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）已知复数 ，求实数 ， 使 ．
【解答】解： ，
因为 ， 都是实数，
所以由
得
两式相加，整理得
解得 ，
对应得 ，
所求实数为 ， 或 ，
18．（12分）设 为等差数列， 为等比数列， ， ， ，
第9页 | 共15页分别求出 及 的前10项的和 及 ．
【解答】解： 为等差数列， 为等比数列，
，
已知 ， ，
，
得
由 ， 知 的公差为 ，
，
由 ， 知 的公比为 或 ．
当 时， ，
当 时， ．
19．（12分）四棱锥 的底面是边长为 的正方形， 平面 ．
（1）若面 与面 所成的二面角为 ，求这个四棱锥的体积；
（2）证明无论四棱锥的高怎样变化．面与面所成的二面角恒大于 ．
【解答】解（1） 平面 ， 是 在面 上的射影，
是面 与面 所成二面角的平面角，
第10页 | 共15页而 是四棱锥 的高，
证明：（2）不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面 与 恒为全等三角形．
作 ，垂足为 ，连接 ，则 ．
， ，故 是面 与面 所成的二面角的平面角．
设 与 相交于点 ，连接 ，则 ．
在 中，
所以，面 与面 所成的二面角恒大于
20．（12分）设 、 是双曲线 上的两点，点 是线段 的中点．
求直线 的方程
如果线段 的垂直平分线与双曲线相交于 、 两点，那么 、 、 、 四点是
否共圆？为什么？
【解答】解： 依题意，记 ， ， ， ，
可设直线 的方程为 ，
代入 ，整理得 ①
， 则是方程①的两个不同的根，
所以 ，且 ，
由 是 的中点得 ，
，
第11页 | 共15页解得 ，
所以直线 的方程为
将 代入方程①得
解出 ，
由 得 ， ．
即 、 的坐标分别为 和 ．
由 垂直平分 ，
得直线 的方程为 ，
即 ．
代入双曲线方程，整理得 ．②
记 ， ， ， ，以及 的中点为 ， ，
则 ， 是方程②的两个根．所以 ， ．
从而 ， ；
又
即 、 、 、 四点到点 的距离相等，所以 、 、 、 四点共圆．
21．（12分）（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图 ，要求用其中一块剪拼
成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的
面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；
（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图 ，要求剪拼成一个直三棱柱，使它的
全面积与给出的三角形的面积相等．请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作
第12页 | 共15页简要说明．
【解答】解：（1）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥．
如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长
的 ，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出
的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底．
（2）依上面剪拼方法，有 ．
推理如下：
设给出正三角形纸片的边长为2，
那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为 ．
现 在 计 算 它 们 的 高 ： ， ．
所以 ．
（3）如图，分别连接三角形的内心与各顶点，得三条线段，再以这三条线段的中点为顶点
作三角形．以新作的三角形为直棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作
第13页 | 共15页垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，
成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．
22．（14分）已知 ，函数 ．
（1）当 时，若对任意 都有 ，证明 ；
（2）当 时，证明：对任意 ， ， 的充要条件是 ；
（3）当 时，讨论：对任意 ， ， 的充要条件．
【解答】（1）证明：根据题设，对任意 ，都有 ．
又 ． ，
， ，
．
（2）证明：必要性：对任意 ， ， ．
据此可推出 （1） ，即 ，
．
对任意 ， ， ，
因为 ，可得 ，可推出 ，即 ，
，
．
充分性：因为 ， ，对任意 ， ，
可以推出 ，即 ，
因为 ， 对任意 ， ，
可以推出： ，即 ，
第14页 | 共15页．
综上，当 时，对任意 ， ， 的充要条件是 ．
（3）解：因为 ， 时，对任意 ， 有 ，即
；
（1） ，即 ，
又 ，即 ．
所以，当 ， 时，对任意 ， ， 的充要条件是 ．
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日期：2019/5/27 22:57:29；用户：15217760367；邮箱：15217760367；学号：10888156
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