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2024-2025 学年江苏省南京市第一中学高二下学期 3 月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
1.如图，在三棱锥O−ABC中，设⃗OA=⃗a，⃗OB=⃗b， OC=c ，若 AN=NB ， BM=2MC ，则 MN=( )
1⃗ 1⃗ 2⃗ 1⃗ 1⃗ 2⃗
A. a+ b− c B. − a− b+ c
2 6 3 2 6 3
1⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗ 1⃗
C. a− b− c D. − a+ b+ c
2 6 3 2 6 3
2.若函数y=f(x)的导函数y=f ′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是( )
A. B.
C. D.
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1 13.三名学生分别从4门选修课中选修一门课程，不同的选法有( )
A. 24种 B. 81种 C. 64种 D. 32种
4.若⃗ ，⃗ ，则 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( )
a=(−1,2,1) b=(1,2,−3) (a+b)⋅(2a−b)=
A. −2 B. 4 C. −21 D. 26
1 1 1
5.已知等比数列{a }满足 + + =2，a =2，记S 为其前n项和，则S =( )
n a a a 2 n 3
1 2 3
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
6.已知圆O:x2+ y2=1，直线x−y+a=0上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得
∠APB=60∘，则a的取值范围( )
A. [−2,2] B. [−∞,2] C. [−2√2,2√2] D. [−2√2,+∞]
7.若函数
f(x)=
x3
−
a
x2+x+1
在区间(1
,3
)上有极值点，则实数
a
的取值范围是( )
3 2 2
A. ( 5) B. [ 5) C. ( 10) D. [ 10)
2, 2, 2, 2,
2 2 3 3
8.用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中6个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到
哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为( )
A. 15 B. 16 C. 18 D. 20
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给出下列命题，其中正确的是( )
A. 若 ⃗ ⃗ ⃗ 是空间的一个基底，则 ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 也是空间的一个基底
{a,b,c} {a,b,b+c}
B. 在空间直角坐标系中，点P(−2,4,3)关于坐标平面yOz的对称点是(−2,−4,−3)
⃗ 1 ⃗ 3 ⃗
C. 若空间四个点P，A，B，C满足PC= PA+ PB，则A，B，C三点共线
4 4
D. 平面 α 的一个法向量为 m ⃗ =(1,3,−4) ，平面 β 的一个法向量为⃗ n=(−2,−6,k). 若 α//β ，则 k=8
10.某种产品的加工需要经过5道工序，则以下说法正确的是( )
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2 1A. 如果其中某道工序不能放在最后，那么有96种加工顺序
B. 如果其中某2道工序不能放在最前，也不能放在最后，那么有36种加工顺序
C. 如果其中某2道工序必须相邻，那么有24种加工顺序
D. 如果其中某2道工序不能相邻，那么有72种加工顺序
11.在长方体ABCD−A B C D 中，AB=AD=1，A A =2，E为A D 的中点，动点P在长方体
1 1 1 1 1 1 1
ABCD−A 1 B 1 C 1 D 1 内(含表面)，且满足 A ⃗ P=λA ⃗ C+μA ⃗ E ，记动点P的轨迹为Ω，则( )
3√33
A. Ω的面积为
8
B. 平面A BC 与Ω所在平面平行
1 1
1
C. 当λ= 时，存在点P，使得A P⊥BD
2 1 1
D. 当μ=1时，三棱锥P−ABC的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，A(1,1,1)、B(2,3,4)，平面BCD的一个法向量是(−1,2,1)，则点A到平面
BCD的距离为 ．
13.圆x2+ y2−4=0与圆x2+ y2−4x+4 y−12=0的公共弦长为 ．
14.已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且满足 若对任意的 ，
{a } a =a n S S +S =3n2(n≥2). n∈N∗
n 1 n n n−1
a b>0) F C C C F
1 a2 b2 2 1 2
4
且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|．
1 2 3
(1)求C 的离心率；
1
(2)若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
17.(本小题12分)
如图，在正三棱柱ABC−A B C 中，AB=A A =2，点P，Q分别为A B ，BC的中点．
1 1 1 1 1 1
(1)求异面直线BP与AC 所成角的余弦值;
1
(2)求直线CC 与平面AQC 所成角的正弦值．
1 1
18.(本小题12分)
已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，f ′(x)的导函数为f ′′(x)，对于区间A，若f(x)与f ′(x)在区间A上都
单调递增或都单调递减，则称 为区间 上的自律函数 若 是 上的自律函数．
f(x) A . f(x)=(x2+x+a)e2x R
(1)求a的取值范围;
(2)若a取得最小值时，f ′′(x)=t只有一个实根，求实数t的取值范围．
19.(本小题12分)
如图，在平行六面体ABCD−A B C D 中，DD ⊥平面ABCD，DC=2DA=4，DD =2√3，
1 1 1 1 1 1
DC ⊥D B
1 1
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4 1(1)求证：DA⊥DB；
(2)求三棱锥C−A C D的体积；
1 1
π
(3)线段C D 上是否存在点E，使得平面EBD与平面ABB A 的夹角为 ？若存在，求D E的长；若不
1 1 1 1 4 1
存在，请说明理由．
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5 1参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.D
6.C
7.C
8.D
9.ACD
10.ABD
11.ACD
12.√6
13.2√2
14.(9 15)
,
4 4
15.解：(1)无重复数字的四位密码相当于从6个数字中任取4个的排列，
所以无重复数字的密码箱的四位密码个数为 ．
A4=6×5×4×3=360
6
最高位上的数字为 的无重复数字的四位偶数，其个位是 之一，共有 个；
(2) 2 0,4 C1A2
2 4
最高位上的数字为 之一的无重复数字的四位偶数，其个位是 之一，共有 个，
3,5 0,2,4 C1C1A2
2 3 4
最高位上的数字为 的无重复数字的四位偶数，其个位是 之一，共有 个，
4 0,2 C1A2
2 4
所以比 大的无重复数字的四位偶数个数为 ．
2000 2C1A2+C1C1A2=120
2 4 2 3 4
16.解：(1)由题意设抛物线C 的方程为：y2=4cx，焦点坐标F为(c,0)，
2
因为AB⊥x轴，将x=c代入抛物线的方程可得y2=4c2，所以|y|=2c，
所以弦长|CD|=4c，
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6 1将 代入椭圆 的方程可得 c2 b4 ，所以 b2，
x=c C y2=b2 (1− )= |y|=
1 a2 a2 a
所以弦长 2b2，
|AB|=
a
4 4 2b2
再由|CD|= |AB|，可得4c= ⋅ ，即3ac=2b2=2(a2−c2 )，
3 3 a
1
整理可得2c2+3ac−2a2=0，即2e2+3e−2=0，e∈(0,1)，所以解得e= ，
2
1
所以C 的离心率为 ；
1 2
(2)由椭圆的方程可得4个顶点的坐标分别为：(±a,0)，(0,±b)，
而抛物线的准线方程为：x=−c，
c 1
所以由题意可得2c+a+c+a−c=12，即a+c=6，而由(1)可得 = ，所以解得：a=4，c=2，所以
a 2
b2=a2−c2=16−4=12，
x2 y2
所以C 的标准方程为： + =1，C 的标准方程为：y2=8x．
1 16 12 2
17.解：如图，在正三棱柱ABC−A B C 中，设AC，A C 的中点分别为O，O ，连接OB，OO ，
1 1 1 1 1 1 1
⃗ ⃗ ⃗
则OB⊥OC，OO
1
⊥OC，OO
1
⊥OB，以
{OB,OC,OO }
为基底，建立空间直角坐标系O−xyz．
1
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7 1因为AB=A A =2，所以A(0,−1,0)，B(√3,0,0)，C(0,1,0)，A (0,−1,2)，B (√3,0,2)，
1 1 1
C (0,1,2)．
1
√3 1
(1)因为P为A B 的中点，所以P( ,− ,2)，
1 1 2 2
⃗ √3 1 ⃗
从而BP=(− ,− ,2)，AC =(0,2,2) ，
2 2 1
⃗ ⃗
⃗ |BP⋅AC | |−1+4| 3√10
故|cos|=
⃗
1
⃗
=
√5×2√2
=
20
．
|BP|⋅|AC |
1
3√10
因此，异面直线BP与AC 所成角的余弦值为 ．
1 20
√3 1
(2)因为Q为BC的中点，所以Q( , ,0)，
2 2
⃗ √3 3 ⃗ ⃗
因此AQ=( , ,0)，AC =(0,2,2) ，CC =(0,0,2) ．
2 2 1 1
设⃗n=(x,y,z)为平面AQC 的法向量，
1
{ ⃗ ⃗ {√3 3
AQ⋅n=0, x+ y=0,
则 即 2 2
⃗ ⃗
AC ⋅n=0, 2y+2z=0.
1
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8 1⃗
不妨取n=(√3,−1,1) ．
设直线CC 与平面AQC 所成角为θ，
1 1
⃗ ⃗
则sinθ=|cos|= |CC 1 ⋅n| = 2 = √5 ，
1 ⃗ ⃗ 2×√5 5
|CC |·|n|
1
√5
所以直线CC 与平面AQC 所成角的正弦值为 ．
1 1 5
18.解： 由 ，
(1) f(x)=(x2+x+a)e2x
得 ，
f ′(x)=(2x+1)e2x+2(x2+x+a)e2x=(2x2+4x+2a+1)e2x
，
f ′′(x)=(4x+4)e2x+2(2x2+4x+2a+1)e2x=(4x2+12x+4a+6)e2x
因为 是 上的自律函数，且 在 上不可能恒小于零，
f(x)=(x2+x+a)e2x R f ′′(x) R
所以f(x)与f ′(x)在区间R上都单调递增，
所以{4x2+12x+4a+6≥0在
上恒成立，
R
2x2+4x+2a+1≥0
所以{144−16(4a+6)≤0，解得 3，
a≥
16−8(2a+1)≤0 4
所以 的取值范围为[3 )；
a ,+∞
4
3
(2)当a= 时，f ′′(x)=(4x2+12x+9)e2x=(2x+3) 2e2x，
4
令 ，
ℎ(x)=f ′′(x)=(4x2+12x+9)e2x
则 ，
ℎ′(x)=(8x+12)e2x+2(4x2+12x+9)e2x=(8x2+32x+30)e2x
由ℎ′(x)>0，得8x2+32x+30>0，得4x2+16x+15>0，
5 3
(2x+3)(2x+5)>0，解得x<− 或x>− ，
2 2
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9 1由ℎ′(x)<0，得8x2+32x+30<0，得4x2+16x+15<0，
5 3
(2x+3)(2x+5)<0，解得− ，
e5
即实数 的取值范围为 ( 4 )．
t {0}∪ ,+∞
e5
19.解：(1)证明：由题，在平面ABCD内过点D作AB的垂线，垂足为H，以D为原点，建立如图所示空
间直角坐标系D−xyz，
则D(0,0,0)，D (0,0,2√3)，C(0,4,0)，C (0,4,2√3)，
1 1
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10 1设B(a,b,0)(a>0)，则A(a,b−4,0)，
⃗ ⃗
所以D B=(a,b,−2√3) ，DC =(0,4,2√3) ，
1 1
⃗ ⃗
由DC
1
⊥D
1
B得D
B⋅DC
=4b−12=0，所以b=3，
1 1
又因为DA=2，所以√a2+(b−4) 2=2，解得a=√3，
所以A(√3,−1,0)，B(√3,3,0)，
⃗ ⃗
则DA=(√3,−1,0) ，DB=(√3,3,0) ，
⃗ ⃗
所以DA⋅DB=(√3) 2−3=0，
所以DA⊥DB；
(2)因为DC=2DA=4，由(1)知∠ADB=90°，所以∠ADC=120°，
如图，过点A作AH⊥CD于H，
则AH=AD⋅sin60°=√3，
因为DD ⊥平面ABCD，DD ⊂平面CC D D，
1 1 1 1
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11 1所以平面CC D D⊥平面ABCD，平面CC D D∩平面ABCD=DC，AH⊂平面ABCD，
1 1 1 1
所以AH⊥平面CC D D，
1 1
1 1 1
所以V =V = S ⋅AH= ⋅( ×DC×CC )⋅AH
C−A 1 C 1 D A 1 −CC 1 D 3 △CC 1 D 3 2 1
1 1
= × ×4×2√3×√3=4；
3 2
(3)由(1)得平面ABB A 的一个法向量为⃗n =(1,0,0)，
1 1 1
⃗ ⃗
假设存在E点满足条件，设D E=λD C ，(0≤λ≤1)，
1 1 1
⃗ ⃗ ⃗
则DE=DD +D E=(0,4λ,2√3) ，
1 1
设平面EBD的一个法向量为⃗n =(x ,y ,z )，
2 2 2 2
{⃗ ⃗
n ⋅DE=0 {4λ y +2√3z =0
2 2 2
由 ，得 ，
⃗ ⃗ √3x +3 y =0
n ⋅DB=0 2 2
2
令y
2
=√3，则x
2
=−3，z
2
=−2λ，所以n ⃗ =(−3,√3,−2λ) ，
2
⃗ ⃗
⃗ ⃗ n ⋅n −3
所以cos= 1 2 = ，
1 2 ⃗ ⃗ √12+4λ2
|n |⋅|n |
1 2
π
因为平面EBD与平面ABB A 的夹角为 ，
1 1 4
−3 √2 √6
所以 | |= ，解得λ=± ，
√12+4λ2 2 2
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12 1√6
又因为0≤λ≤1，所以λ=± 舍去，
2
π
所以线段C D 上不存在点E使得平面EBD与平面ABB A 的夹角为 ．
1 1 1 1 4
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13 1
