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2023-2024 学年度第一学期高三第三次模拟考试
数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合的运算求解即可.
【详解】由 解得： ，得集合 ，
又 ，
，
从而 .
故选:B．
2. 复数z满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出等式右侧复数的模，然后表示出复数z，再化简变形求得结果.
【详解】由已知 ，可得 ，∴ .
故选：C．
3. 内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若 ，则 一定是（ ）A. 等腰三角形 B. 等边三角形
C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用余弦定理角化边整理可得.
【详解】由余弦定理有 ，整理得 ，故 一定是直角三角形.
故选：C
4. 函数 在区间 内的图象大致为（ ）
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，结合特殊值的求解进行判断即可.
【详解】 ， ，则
故 为偶函数，排除C、D；又 时， ，排除A
故选：B
5. 已知 ，则 的最小值是（ ）
A. 1 B. C. D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【详解】解：
，即 且 ，
，当且仅当 时取等号，
故选：
【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．
6. 若 ，则 等于（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 ，利用诱导公式得到 ，再由 ，利用
二倍角公式求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A
7. 点A是曲线 上任意一点，则点A到直线 的最小距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A【解析】
【分析】动点 在曲线 ，则找出曲线上某点的斜率与直线 的斜率相等的点为距
离最小的点，利用导数的几何意义即可
【详解】不妨设 ，定义域为：
对 求导可得：
令
解得： （其中 舍去）
当 时， ，则此时该点 到直线 的距离为最小
根据点到直线的距离公式可得：
解得：
故选：A
8. 定义在R上的偶函数 满足：对任意的 ，都有 ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】为
【分析】由函数 偶函数可得原不等式等价于 ，再根据单调性解不等式.
【详解】因为 是偶函数，且 在 上单调递减，
所以不等式 等价于 ，
即 ，
解得 或 ，
所以满足 的x的取值范围是 ．
故选：B．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. 方程 的实根有三个
【答案】CD
【解析】
【分析】利用命题的定义，结合函数图象的性质求解即可.
【详解】对于A，当 时， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故A错误；
对于B，由反函数的性质可知，
由于 与 的图象关于 对称，
且 的图象恒在 图象的下方，所以 恒成立，故B错误；
对于C， ， ，即 恒成立，
故C正确；
对于D， 与 有且仅有三个交点，故D正确.
故选:CD.
10. 下列等式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，逆用正弦倍角公式进行求解；B选项，逆用余弦二倍角公式计算；C选项，逆用正切差
角公式进行求解；D选项，逆用正弦和角公式计算.
【详解】A选项， ，A正确；
B选项， ，B正确；
C选项， ，C正确；
D选项， ，D错误.
故选：ABC
11. 若函数 恰有两个零点，则实数a的取值可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】BCD
【解析】【分析】分离参数，函数 有2个零点等价于在 时，
有两个解，判断函数 的图像即可.
【详解】函数 有2个零点等价于在 时，
直线 与 有2个交点，
，显然当 时， ，当 时， ，
即在x=1处， 取得最小值=1，
图像如下：
若 与 有2个交点，则 ；
故选：BCD.
12. 若函数 的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）A. 是函数 图象的一个对称中心
B. 函数 的图象关于直线 对称
C. 函数 在区间 上单调递增
D. 函数 的图像可由 的图象向左平移 个单位得到
【答案】AD
【解析】
【分析】由题意利用函数 的图象求出函数解析式，结合正弦函数的性质，即可得出结论．
【详解】解：根据函数 ， 的部分图像，
可得 ，结合五点法作图可得 ， ，
故函数 ．
令 ，求得 ，可得 ， 是函数 图象的一个对称中心，故A正确；
令 ，求得 ，不是最值，可得 不是函数 图象的一条对称轴，故B错误；在区间 ， 上， ， ，函数 没有单调性，故C错误；
由 的图象向左平移 个单位，可得 的图象，故D正确，
故选：AD．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线 与曲线 相切，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】设切点为 ，根据导数的几何意义可推导得到 ，根据切点坐标同时满足
直线与曲线方程可构造方程求得 ，代入可得结果.
详解】设直线 与曲线 相切于点 ，
【
由 得： ， ， ，
又 ， ，解得： ，
.
故答案为： .
14. 若 ，则 ______．
【答案】
【解析】【分析】利用二倍角的正余弦公式展开后，根据弦化切的思想求解.
【详解】因为 ，
所以 ．
故答案为：
15. ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若 ABC的面积为 ，则 ______．
△ △
【答案】 ##
【解析】
【分析】因本题求角 ，则 ABC的面积 ，整理 得
△
，代入计算．
【详解】由题意可得 ，则可得
∴
故答案为： ．
16. 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，若 ，则不等式
的解集为________.
【答案】
【解析】
【分析】
令 ，对其求导，由 时， ，可知 ，从而 在 上单调的
递减，由 奇偶性，可得 是定义域上的偶函数，从而可得出 在 上的单调性，
再结合 ，可求出 的解集.
【详解】由题意，令 ，则 ，
因为 时， ，则 ，
故 在 上单调递减，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，即 是 上的偶函数，
根据偶函数的对称性，可知 在 上单调递增，且 ，
所以 时， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查不等式的解集，解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数
，求导并结合当 时， ，可求出函数 在 上的单调性，再结
合函数的奇偶性，可求出 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中
档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调递增区间和最小正周期；（Ⅱ）若当 时，关于 的不等式 ______，求实数 的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立．
【答案】（Ⅰ）单调递增区间为： ， ； ；（Ⅱ）答案见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先将函数整理，得到 ，利用正弦函数的周期性与单调性，即可求出其单调递
增区间与最小正周期；
（Ⅱ）若选①，可得 ，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最大值，即可得出结果；
若选②，可得 ，根据正弦函数的性质，求出函数在给定区间的最小值，即可得出结果.
【详解】（Ⅰ）解：因为
．
所以函数 的最小正周期 ；
因为函数 的单调增区间为 ， ，
所以 ， ，
解得 ， ，
所以函数 的单调增区间为 ， ；
（Ⅱ）解：若选择①
由题意可知，不等式 有解，即 ；因为 ，所以 ，
故当 ，即 时， 取得最大值，且最大值为 ，
所以 ；
若选择②
由题意可知，不等式 恒成立，即 ．
因为 ，所以 ．
故当 ，即 时， 取得最小值，且最小值为 ．
所以 ．
【点睛】思路点睛：
求解三角函数最值问题时，一般需要根据三角恒等变换将函数化简整理，化为正弦型函数或余弦型函数的
形式，结合正弦函数或余弦函数的性质，即可求解.
18. 如图，在△ABC中，∠A=30°，D是边AB上的点，CD=5，CB=7，DB=3
（1）求△CBD的面积；
（2）求边AC的长.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求得 ，即可得出 ，再由面积公式即可求解；
（2）由正弦定理即可求解.【详解】（1）在 中，由余弦定理可得 ，
则 ，
；
（2）在 中，由正弦定理得 ，
即 ，解得 .
19. 已知公差不为零的等差数列 的前n项和为 ，若 ,且 成等比数列
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 ，若数列 前n项和 ，证明 .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的前 项和求出首项和公差,进而求出数列
的通项公式;
(2)利用裂项相消法求和,求得
（Ⅰ）由题意知：
解 ，故数列 ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，
则
点睛：本题考查了数列求和，一般数列求和方法（1）分组转化法，一般适用于等差数列加等比数列，
（2）裂项相消法求和，一般如 等的形式，（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列乘以等
比数列，（4）倒序相加法求和，一般距首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和和倒着写和，两式
相加除以2得到数列求和,(5)或是具有某些规律求和.
20. 已知等比数列 中， ，且 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）当数列 为正项数列时，若数列 满足 ，记数列 的前 项和为 ，
试比较 与 的大小．
【答案】（1） 或 ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据等比数列 ， ，且 成等差数列，利用“ ”求解；
（2）由（1）题得 ，则 ，利用分组求和得到 = ，再利用作差法比
较 与 的大小．
【小问1详解】解：记 的公比为 ，
由 可得 ，解得 或 ，
又由 ，可得 ，即 ，
当 时，可解得 ，此时有
当 时，可解得 ，此时有
综上，数列 的通项公式为 或 .
【小问2详解】
由（1）知： ，则 ，
从而 ，
，
由 ，
故 ．
21. 若函数 ，当 时，函数 有极值 ．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的极值点并求出函数的极值.
【答案】（1）
（2）当 时， 有极大值 ，当 时， 有极小值 。
【解析】【分析】
(1)先对函数进行求导,然后根据 ,可求出 的值,进而确定函数的解析式.
(2)根据(1)中解析式然后求导,然后令导函数等于0，求出 的值,然后根据函数的单调性与其导函数的正负之
间的关系,确定出函数的单调性,进而得到函数的极值;
【详解】(1)因为 ，由题意知 ，解得 ，
所以所求的解析式为 ;
(2)由(1)可得 ，
令 ,得 或 ,
则当 或 时, ， 在 和 单调递增；当 时, ，
在 单调递减,
因此,当 时, 有极大值 ,
当 时, 有极小值 ;
所以当 时， 有极大值 ，当 时， 有极小值 。
【点睛】本题考查运用函数的导函数，研究函数的极值和函数的单调性等相关的性质，在求函数的极值，
一定需得出在极值点两旁的单调性是不一致的，属于基础题.22. 已知函数 ，其中 ．
的
（1）讨论 单调性；
（2）若 ， ，求 的最大值．
【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）
【解析】
【分析】（1） ，讨论 或 判断 的单调性；（2）由题意可得：
对任意 恒成立，即 ，通过导数求
的最小值．
【小问1详解】
，
当 时， 当 恒成立， 在 上单调递增；
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
【小问2详解】
依题意得 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 在 上单调递增，
，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
，故 的最大值为 ．
