2003年山西高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_山西

2003 年山西高考理科数学真题及答案 注意事项： 1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡 上． 2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回． 参考公式： 三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 sincos 1 [sin()sin()] S  1 (cc)l 其中c、c分别表示 2 台侧 2 1 cossin [sin()sin()] 上、下底面周长，l表示斜高或母线长. 2 coscos 1 [cos()cos()] 球体的体积公式： V  4 R3 ，其中R 2 球 3 1 表示球的半径. sinsin [cos()cos()] 2 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的  4 1．已知x( ，0），cosx ，则tg2x （ ） 2 5 7 7 24 24 （A） （B） （C） （D） 24 24 7 7 8sin 2．圆锥曲线 的准线方程是 （ ） cos2 （A）cos2 （B）cos2 （C）sin2 （D）sin2  2x 1 x0 3．设函数 f(x)    x 1 2 x0 ，若 f(x 0 )1，则x 0 的取值范围是 （ ） （A）（1，1） （B）（1，） （C）（，2）（0，） （D）（，1）（1，） 第1页 | 共9页4．函数y 2sinx(sinxcosx)的最大值为 （ ） （A）1 2 （B） 21 （C） 2 （D）2 5．已知圆C：(xa)2 (y2)2 4（a 0）及直线l：x y30，当直线l被C截得 的弦长为2 3时，则a （ ） （A） 2 （B）2 2 （C） 21 （D） 21 6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A）2R2 （B） 9 R2 （C） 8 R2 （D） 3 R2 4 3 2 7．已知方程(x2 2xm)(x2 2xn)0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，则 4 |mn| （ ） （A）1 （B）3 （C） 1 （D） 3 4 2 8 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ 7，0），直线y  x1与其相交于M、N两点， 2 MN中点的横坐标为 ，则此双曲线的方程是 （ ） 3 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 （A）  1 （B）  1 （C）  1 （D）  1 3 4 4 3 5 2 2 5  3 9．函数 f(x)sinx，x[ , ]的反函数 f 1(x)  （ ） 2 2 （A）arcsinx x[1，1] （B）arcsinx x[1，1] （C）arcsinx x[1，1] （D）arcsinx x[1，1] 10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的 中点P 沿与AB的夹角的方向射到BC上的点P 后，依次反射到CD、DA和AB上的点 0 1 P 、P 和P （入射角等于反射角），设P 的坐标为（x ，0），若1 x  2，则tg 2 3 4 4 4 4 的取值范围是 （ ） （A）（1，1） （B）（ 1 ， 2 ） （C）（ 2 ， 1 ） （D）（2， 2 ） 3 3 3 5 2 5 3 第2页 | 共9页C2 C2 C2  C2 11．lim 2 3 4  n  （ ） nn(C 2 1 C 3 1 C 4 1   C n 1) 1 1 （A）3 （B） （C） （D）6 3 6 12．一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ） （A）3 （B）4 （C）3 3 （D）6 2003年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上 13．(x2  1 )9的展开式中x9系数是 2x 14．使log (x) x1成立的x的取值范围是 2 15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图 着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有 2 4 种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 5 1 3 种（以数字作答） 4 16．下列5个正方体图形中，l是正方体的一条对 角线，点 M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 l 面 MNP 的图形的序号是 （写出所有符合要求的图形序号） P P M P N l l l l N l N N M M M P M N P ① ② ③ ④ ⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z的辐角为60，且| z1|是| z|和| z2|的等比中项，求| z| 第3页 | 共9页18．（本小题满分12分） C 如图，在直三棱柱ABCABC 中，底面是等腰直角三 1 1 1 1 B 角形，ACB 90，侧棱 AA  2，D、E 分别是CC 与 A D 1 1 1 1 AB的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G E GC 1 K （I）求AB与平面ABD所成角的大小（结果用反三角 1 B F A 函数值表示） （II）求点A 到平面AED的距离 1 19．（本小题满分12分） 已知c 0，设 P：函数y cx在R上单调递减 Q：不等式x|x2c|1的解集为R 如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围 20．（本小题满分12分） y 北 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台 东 O 2 风中心位于城市O（如图）的东偏南(arccos ） 海  x O 10 岸 方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北 线 O 45方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市 开始受到台风的侵袭？ P r 45 ( O P t ) 21．（本小题满分14分） y 已知常数 a 0，在矩形 ABCD 中， AB  4， D F C 第4页 | 共9页 E P G A O B xBE CF DG BC  4a，O 为AB 的中点，点E、F、G 分别在BC、CD、DA 上移动，且   ，P BC CD DA 为GE 与OF 的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存 在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 22．（本小题满分12分，附加题4 分） （I）设{a }是集合{2s 2t | 0 s t 且s,tZ}中所有的数从小到大排列成的数列， n 即a 3，a 5，a 6，a 9，a 10，a 12，… 1 2 3 4 5 6 将数列{a }各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表： n 3 5 6 9 10 12 — — — — ………… ⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数； ⑵求a 100 （II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分） 设{b }是集合{2r 2s 2t |0r  st，且r,s,tZ}中所有的数从小到大排列成的数 n 列，已知b 1160，求k. k 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分60分. 1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. 21 13． 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 2 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 第5页 | 共9页r 17． 解：设z  rcos60 rsin60)，则复数z的实部为 . zz r,zz r2由题设 2 |z1|2|z||z2|即:(z1)(z1)|z| (z2)(z2),r2 r1r r2 2r4, 整理得r2 2r10.解得:r  21,r  21(舍去).即|z| 21. 18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是AB与平面ABD所成的角. 1 设F为AB中点，连结EF、FC， D,E分别是CC ,A B的中点,又DC平面ABC,CDEF为矩形  1 1 连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形EFD中 1 EF2 FGFD FD2, EF 1,FD 3. (4分)   3 1 2 6 于是ED 2,EG  . 3 3 FCCD 2,AB2 2,A B2 3,EB 3.  1 EG 6 1 2 sinEBG    . EB 3 3 3 2 A B与平面ABD所成的角是arcsin . 1 3 （Ⅱ）解： ED  AB,ED  EF,又EF  AB  F,  ED面A AB,又ED面AED.平面AED平面A AB,且面AED面A AB AE. 1 1 1 作A K  AE,垂足为K.A K 平面AED,即A K是A到平面AED的距离. 1 1 1 1 A AA B 22 2 2 6 2 6 在A AB中,A K  1 1 1   A到平面AED的距离为 . 1 1 1 AB 2 3 3 1 3 1 19．解：函数y cx在R上单调递减 0c 1. 不等式x| x2c|1的解集为R 函数y  x| x2c|在R上恒大于1. 第6页 | 共9页2x2c,x2c,  x|x2c| 2c, x2c, 函数y x|x2c|在R上的最小值为2c. 1 不等式|xx2c|1的解集为R2c1c . 2 1 如果P正确,且Q不正确,则0c . 2 1 如果P不正确,且Q正确,则c1.所以c的取值范围为(0, ][1,). 2 （以上方法在新疆考区无一人使用，大都是用解不等式的方法，个别使用的图象法） 20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.  2 2 在时刻：（1）台风中心P（x, y）的坐标为x300 20 t,  10 2   7 2 2 y300 20 t.  10 2 此时台风侵袭的区域是(xx)2 (yy)[r(t)]2, 其中r(t) 10t 60,若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有 2 2 7 2 2 (0x)2 (0 y)2 (10t60)2.即(300 20 t)2 (300 20 t)2 10 2 10 2 (10t 60)2,即t2 36t 2880,解得12t  24 答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否 存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值. 按题意有 A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设 BE CF DG   k(0k 1) BC CD DA 由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak） 直线OF的方程为：2ax(2k 1)y 0① 直线GE的方程为：a(2k 1)x y2a 0② 从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程2a2x2  y2 2ay 0 第7页 | 共9页x2 (ya)2 1 整理得  1 当a2  时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 1 a2 2 2 1 当a2  时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长 2 1 1 1 当a2  时，点P到椭圆两个焦点（ a2,a),( a2,a)的距离之和为定值 2 2 2 2 1 当a2  时，点P 到椭圆两个焦点（0，a a2  1 ),(0,a a2  1 ) 的距离之和为定值 2 2 2 2a. 22．（本小题满分12分，附加题4分） （Ⅰ）解：用(t,s)表示2t 2s，下表的规律为 3（(0,1)=20 21） 5(0,2) 6(1,2) 9(0,3) 10(1,3) 12(2,3) — — — — ………… （i）第四行17(0,4) 18(1,4) 20(2,4) 24(3,4) 第五行 33(0,5) 34(1,5) 36(2,5) 40(3,5) 48(4,5) （i i）解法一：因为100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以a (8,14)＝28 214＝16640 100 解法二：设a  2s 0 2t 0，只须确定正整数s ,t . 100 0 0 数列{a }中小于2t 0的项构成的子集为 {2t 2s |0stt }, n 0 其元素个数为 t (t 1) t (t 1) C2  0 0 ,依题意 0 0 100. t0 2 2 满足等式的最大整数t 为14，所以取t 14. 0 0 因为100－C2  s 1,由此解得s 8,a  214 28 16640. 14 0 0 100 （Ⅱ）解：b 1160210 27 23, k 令M {cB|C 1160} (其中,B{2r 2s 2t |0r  st} 第8页 | 共9页因M {cB|c210}{cB|210c21027}{cB|21027 c2102723}. 现在求M的元素个数：{cB|c  210}{2r 2s 2t |0 r  s t 10}, 其元素个数为C3 ： {cB|210c21027}{210 2s 2r|0rs7}. 10 某元素个数为C2 :{cB|210 27 c  210 27 23}{210 27 2r |0 r 3} 7 某元素个数为C7 :k C3 C2 C2 1145. 10 10 7 3 另法：规定2r 2t 2s （r,t,s），b 11602102723＝（3,7,10） k 则b 20 2122＝ （0,1,2） C2 1 2 依次为 （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3） C2 3 （0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4） C2 4 ………… （0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9 ）（7,8,9） C2 9 （0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）…… C2+4 7 k (C2C2 C2)C24145. 2 3  9 7 第9页 | 共9页