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江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷
高 二 数 学 2024.11
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．圆 的圆心和半径分别是（ ）
A． ，1 B． ，3 C． ，❑√2 D． ，❑√2
2．经过两点 ， 的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
x2 y2
3．椭圆 + =1的焦点为 为椭圆上一点，若 ，则 （ ）
25 16
A． B． C． D．
4．已知双曲线 的离心率大于实轴长，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．两平行直线 与 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆 关于直线 对称，则实数 （ ）
A．1或 B．1 C．3 D． 或3
7．已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为 ，若抛物线上一点 满足|MF|=2，∠OFM=60°，则
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
8．如图，双曲线 的左右焦点分别为 、 ，过 的直线 与该双曲
线的两支分别交于 、 两点（ 在线段 上），⊙ 与⊙ 分别为与 的内切圆，其半径分别为 、 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．(0，+∞)
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．下列说法正确的是（ ）
A．若 ，且直线 不经过第二象限，则 ， .
B．方程 （ ）表示的直线都经过点 .
C． ，直线 不可能与 轴垂直.
D．直线 的横、纵截距相等.
10．已知曲线 ．点 ， ，则以下说法正确的是（ ）
A．曲线C关于原点对称 B．曲线C存在点P，使得
C．直线 与曲线C没有交点
D．点Q是曲线C上在第三象限内的一点，过点Q向 作垂线，垂足分别为A，B，则
.
11．已知集合 .由集合 中所有
的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给
出下列结论，正确的有（ ）
A．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为 .
B．在阴影部分任取一点 ，则 到坐标轴的距离小于等于3.
C．阴影部分的面积为 .
D．阴影部分的内外边界曲线长为 .三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若双曲线 的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .
13．已知椭圆 的左、右焦点分别为F 、F ，过点 的直线交椭圆于A、B两点，
1 2
若 ，则该椭圆的离心率为 .
14．已知 为曲线y=1+❑√4-x2上的动点，则 的最大值为 .
四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知△ABC的顶点坐标是 为 的中点.
(1)求中线 的方程；(2)求经过点 且与直线 平行的直线方程.
x2 y2
16．已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率为 为双曲线的右焦点，且点 到直线
a2 b2
的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若点 ，点 为双曲线 左支上一点，求 的最小值.
17．已知 ， 是抛物线 ： 上的两点．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若斜率为 的直线 经过 的焦点，且与 交于 ， 两点，求 的最小值．18．椭圆 与椭圆 ： 有相同的焦点，且经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 的右焦点为 ，设动直线 与坐标轴不垂直， 与椭圆 交于不同的 ， 两点，且直线 和
的斜率互为相反数.
①证明：动直线 恒过 轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.
②求△OMN面积的最大值.
19．定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记 的最大值为m， 的最小值为n，若 ，
则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“ ”的“钻石
点”.已知圆A： ，P为圆A的“黄金点”
(1)求点P所在曲线的方程.
(2)已知圆B： ，P，Q均为圆“ ”的“钻石点”.
①求直线 的方程.
②若圆H是以线段 为直径的圆，直线l： 与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴
上是否存在一点W，使得y轴平分 ？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷
高二数学（参考答案） 2024.11
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A D A C C A C BD CD
题号 11
答案 ABD
8．【详解】设 ，
1 1
∴S = r (8+2m)=(4+m)r ，S = r (2m+2p)=(m+p)r ，
△AF 1 F 2 2 1 1 △ABF 2 2 2 2
.在△ 与△ 中： ，
即 ， ，
当 双曲线的斜率为正的渐近线时， 取最大，此时 ， ，
当 与 轴重合时， 取最小，此时 ，经上述分析得： ， .故选：C.
10．【详解】当 时，曲线 ，即 ；
当 时，曲线 ，即 ；不存在；
时，曲线 ，即 ；
时，曲线 ，即 ；
画出图形如右：对于A，由图可得A错误，故A错误；
对于B，方程 是以 为上下焦点的双曲线，
当 时，曲线C存在点P，使得 ，故B错误；对于C，一三象限曲线的渐近线方程为 ，所以直线 与曲线C没有交点，故C正确；
对于D，设 ，设点 在直线 上，点 在直线 ，
则由点到直线的距离公式可得 ， ，
所以 ，
又点Q是曲线C上在第三象限内的一点，
代入曲线方程可得 ，故D正确；故选：CD.
11．【详解】对于A，由于 ，令 时，整理得
，解得 ，“水滴”图形与 轴相交，
最高点记为A，则点A的坐标为 ，点 ，
白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为 ，故A正确；
对于B，由于 ，整理得： ，
所以 ，所以 到坐标轴的距离为 或 ，
因为 ，
所以 ， ，
所以 到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；
对于C，由于 ，令 时，整理得 ，
解得 ，因为 表示以 为圆心，半径为 的圆，则 ，且 ，则 在x轴上以及x轴上方，
故白色“水滴”的下半部分的边界为以 为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以 为
圆心，半径为3的半圆，
根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以 为圆心，半径为2的圆弧，
⏜ ⏜
设 ，则 ，即 所对的圆心角为 ，同理 所在圆的半径为2，所对的圆
AN AM
心角为 ，阴影部分在第四象限的外边界为以 为圆心，半径为2的圆弧，
⏜
设 ，可得 ， 所对的圆心角为 ，
DG
⏜
同理 所在圆的半径为2，所对的圆心角为 ，
DH
故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，
所以它的面积是 .
轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为 ，
第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，
且等于 ，
所以阴影部分的面积为 ，故C错误；
对于D， 轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为 ，
轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为 ，
所以阴影部分的内外边界曲线长为 ，故D正确.故选：ABD.12． 13．
【详解】如图，设 ，因为 ，所以 ．
由椭圆定义可知， ，
由 ，可得 ，所以 ．
在Rt△F BF 中，由 ，可得 ，
1 2
即得 ，故得 ．故答案为： .
14．
【详解】曲线 即 ，
由于 在曲线上，令 ，
则
，
（其中 ， ，不妨设 ）， ，又 ，
， 当 时 取得最大值
15．【详解】（1）因为 ，所以 ，
故 的方程是 ，即 ；
（2）因为直线 的斜率 ，所以经过点 且与直线 平行的直线方程为 ，即 .
16．【详解】（1）由题意知 ，解得 ，则 ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）记双曲线 的左焦点为 ，则 ，
可得 ，
当 三点共线时， 最小，且最小值为 .故 的最小值为 .
17．【详解】（1）∵ ， 是抛物线C： 上的两点，
∴ ，则 ，整理得 ，解得 ，
当 时， ，解得 ，不合题意；
当 时， ，解得 ．故抛物线C方程为y2=6x．
（2）由（1）知C的焦点为 ，故直线l的方程为 ，
联立 ，得 ，必有 ，
设 ， ，则 ，∴ ，
∴ ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 ．
18．【详解】（1）椭圆 ： 的焦点坐标为 ，所以椭圆 的焦点坐标也为 ，即得焦距为 ，
∵椭圆 过点 ，∴ ，
∴ ， ，∴椭圆的标准方程为 .
（2）①设直线 ： （ ），
由 ，得 ，
设M(x ,y )，N(x ,y )，所以 ， ，
1 1 2 2
所以 ，
因为直线 和 的斜率互为相反数，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 .
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以动直线 恒过 轴上的定点
②由①知， ， 且 ，即 ，
1 1
又S = ⋅|OT|⋅|y - y |= ⋅4⋅❑√(y + y ) 2-4 y y
△OMN 2 1 2 2 1 2 1 2
令 ，则 ，
√ n √ n √ n
∴S =24⋅❑ ≤24⋅❑ =24⋅❑ =❑√3（当且仅当 时取
△OMN (3n+16) 2 (2⋅❑√3n⋅16) 2 4⋅3n⋅16
“＝”）(S ) =❑√3.
△OMN max
∴
19．【详解】（1）因为点P为圆A的“黄金点”，所以 ，即 ，
所以点P的轨迹是以A为圆心， 为半径的圆，故点P所在曲线的方程为
（2）①因为P为圆B的“黄金点”，则
所以 ，即点P在圆 上，
则P是圆 和 的交点.
因为P，Q均为圆“ ”的“钻石点”，
所以直线 即为圆 和 的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得 ，故直线 的方程为 .
②设 的圆心为 ，半径为 ，
的圆心为 ，半径为 .
直线 的方程为 ，得 的中点坐标为 ，点S到直线 的距离为 ，
则 ，所以圆H的方程为 .
假设 轴上存在点 满足题意，设 ， .
若 轴平分 ，则 ，即 ，
整理得
又 ，所以代入上式可得 ，整理得 ①，
由 可得 ，
2 8
k -
所以 3 9 ，代入①并整理得 ，此式对任意的 都成立，所以 .
x +x =- ,x x =
1 2 k2+1 1 2 k2+1
故 轴上存在点 ，使得 轴平分 .
