2003年江苏高考数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_江苏

2003 年江苏高考数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1．如果函数y  ax2 bxa的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为 b b b b a a a a 阿 阿 阿 阿 O a O a O a O a a a a a 阿 阿 阿 阿 阿 阿 阿 阿 2．抛物线y  ax(A2 )的准线 方程是y= 2(，B)则a的值 为 (C) (D（) ） 1 1 A． B．－ C．8 D．－8 8 8  4 3．已知x( ,0),cosx  ,则tan2x  （ ） 2 5 7 7 24 24 A． B．－ C． D．－ 24 24 7 7 2x 1,x0, 4．设函数  则x的取值范围是 （ ） f(x) 1 若f(x 0 )1, 0  x2, x0. A．（－1，1） B．（－1，+∞） C．（－∞，－2）∪ （0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞） AB AC 5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 OPOA(  ),[0,), | AB| | AC| 则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 x1 6．函数y ln ,x(1,)的反函数为 （ ） x1 ex 1 ex 1 A．y  ,x(0,) B．y  ,x(0,) ex 1 ex 1 ex 1 ex 1 C．y  ,x(,0) D．y  ,x(,0) ex 1 ex 1 7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ） a3 a3 a3 a3 A． B． C． D． 3 4 6 12  8．设a 0, f(x)  ax2 bxc,曲线 y  f(x)在点P(x , f(x ))处切线的倾斜角的取值范围为[0, ]，则P 0 0 4 到曲线y  f(x)对称轴距离的取值范围为 （ ） 第1页 | 共7页1 1 b b1 A．[0, ] B．[0, ] C．[0,| |] D．[0,| |] a 2a 2a 2a 1 9．已知方程(x2 2xm)(x2 2xn) 0的四个根组成一个首项为 的等差数列，则 |m－n|= 4 （ ） 3 1 3 A．1 B． C． D． 4 2 8 2 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ 7 ，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为 ， 3 则此双曲线的方程是 （ ） x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 C．  1 D．  1 3 4 4 3 5 2 2 5 11．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P 沿与AB夹角为θ 0 的方向射到BC上的点P 后，依次反射到CD、DA和AB上的点P、P 和P（入射角等于反射角）.设P 的坐 1 2 3 4 4 标为（x，0）.若1< x<2，则tanθ的取值范围是 （ ） 4 4 1 1 2 2 1 2 2 A．( ,1) B．( , ) C．( , ) D．( , ) 3 3 3 5 2 5 3 12．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A．3π B．4π C． 3 3π D．6π 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 1 13．(x2  )9展开式中x9的系数是 2x 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分 层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜 色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答） 16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题 ①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD. ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD. ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001） 18．（本小题满分12分） 3  已知函数 f(x)sin(x)(0,0)上R上的偶函数，其图象关于点M( ,0)对称，且在区间[0, ] 4 2 第2页 | 共7页上是单调函数，求和ω的值. 19．（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC—ABC 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA=2，D、E分别是CC 与AB 1 1 1 1 1 1 C 的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. 1 （Ⅰ）求AB与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； 1 （Ⅱ）求点A 到平面AED的距离. 1 B 1 A D 1 E GC K B 20．（本小题满分12分） A F 已知常数a 0，向量c (0,a),i (1,0).经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以 i2c为方向向量的直线相交于点P，其中R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值. 若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分12分）已知a 0,n为正整数. （Ⅰ）设y (xa)n,证明yn(xa)n1；   （Ⅱ）设 f (x) xn (xa)n,对任意na,证明f (n1)(n1)f (n). n n1 n 22．（本小题满分14分） 设a 0,如图，已知直线l: y  ax及曲线C：y  x2，C上的点Q 的横坐标为a 1 1 （0 a  a）.从C上的点Q（n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点P ，再从点P 作直线平行于y 1 n n1 n1   轴，交曲线C于点Q .Q（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列 a . n+1 n n （Ⅰ）试求a 与a 的关系，并求  a  的通项公式； n1 n n c y l 1 n 1 （Ⅱ）当a 1,a  时，证明(a a )a  ； 1 2 k k1 k2 32 r 2 Q k1 3 r 1 Q 2 n 1 Q 1 （Ⅲ）当a=1时，证明(a k a k1 )a k2  3 . O a 1 a 2 a 3 x k1 a a a 1 2 3 一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分. 1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 第3页 | 共7页二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13． 21 14．6,30,10 15．120 16．①④  2 三、解答题 17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C. （Ⅰ）P(A) 0.90,P(B)  P(C) 0.95， P(A)0.10,P(B) P(C)0.50. 因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为 P(ABC)P(ABC)P(ABC)  P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C) 20.900.950.050.100.950.950.176 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为 P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(ABC) 0.900.052 20.100.050.950.100.052 0.012 解法二：三件产品都合格的概率为 P(ABC) P(A)P(B)P(C)0.900.952 0.812 由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为 1[P(ABC)0.176]1(0.8120.176)0.012. 答：至少有两件不合的概率为0.012. （18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分 分 解：由 f(x)是偶函数,得f(x) f(x), 即sin(x)sin(x), 所以cossinxcossinx 对任意x都成立,且0,所以得cos0. 第4页 | 共7页 依题设0,所以解得 . 2 3 3 由f(x)的图象关于点M对称,得f( x)f( x), 4 4 3 3  3 取x0,得f( )sin(  )cos , 4 4 2 4 3 3  3 f( )sin(  )cos , 4 4 2 4 3 3  cos 0,又0,得  k,k 1,2,3, ,  4 4 2 2  (2k1),k 0,1,2, .  3 2 2   当k 0时, ,f(x)sin( x )在[0, ]上是减函数; 3 3 2 2   当k 1时,2,f(x)sin(2x )在[0, ]上是减函数; 2 2 10   当k 0时, ,f(x)sin(x )在[0, ]上不是单调函数; 3 2 2 2 所以,综合得 或2. 3 19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是AB与平面ABD所成的角. 1 设F为AB中点，连结EF、FC， D,E分别是CC,AB的中点,又DC 平面ABC,CDEF为矩形  1 1 连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形EFD中 1 EF2 FGFD FD2, EF 1,FD 3.  3 1 2 6 于是ED 2,EG  . 3 3 FC CD 2,AB2 2,AB2 3,EB 3.  1 EG 6 1 2 sinEBG    . EB 3 3 3 2 AB与平面ABD所成的角是arcsin . 1 3 （Ⅱ）连结AD，有V V 1 AAED DAAE 1 1 ED  AB,ED  EF,又EF AB  F,  ED平面A AB, 设A 到平面AED的距离为h， 1 1 则S h  S ED AED AAB 1 1 1 1 6 又S  S  A AAB 2,S  AEED . A1AE 2 A1AB 4 1 AED 2 2 2 2 2 6 2 6 h  .即A到平面AED的距离为 . 6 3 1 3 2 解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠ABG是AB与平ABD所成的角. 1 1 第5页 | 共7页如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) 2a 2a 1 A (2a,0,2),E(a,a,1),G( , , ). 1 3 3 3 a a 2 2 2 CE( , , ),BD(0,2a,1). GEBD a2  0.解得a1. 3 3 3 3 3 2 4 1 BA (2,2,2),BG( , , ). 1 3 3 3 BA BG 14/3 7 cosABG 1   . 1 |BA ||BG| 1 3 1 2 3 21 3 7 AB与平面ABD所成角是arccos . 1 3 （Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1) 1 AEED(1,1,1)(1,1,0)0, AA ED(0,0,2)(1,1,0)0, 1 ED平面AAE,又ED平面AED. 1 （Ⅰ）当 2 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； a 2 2 1 1 a 1 1 a （Ⅱ）当0a 时，方程①表示椭圆，焦点E( a2, )和F( a2, ) 2 2 2 2 2 2 2 （Ⅲ）当a 2 时,方程①也表示椭圆，焦点 E(0, 1 (a a2 1 ))和F(0, 1 (a a2 1 )) 为合乎题意的两个定点. 2 2 2 2 2 （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分. n 证明：（Ⅰ）因为(xa)n Ck (a)nk xk， n k0 n n 所以ykCk(a)nkxk1n Ck1(a)nkxk1 n(xa)n1. n n1 k0 k0 （Ⅱ）对函数 f (x)  xn (xa)n求导数: n  f (x)nxn1 n(xa)n1, n  所以f (n)n[nn1 (na)n1]. n  当xa 0时, f (x)0. n 当xa时, f (x) xn (xa)n是关于x的增函数. n 因此,当na时,(n1)n(n1a)n nn (na)n  ∴ f (n1)(n1)[(n1)n (n1a)n](n1)(nn (na)n) n1  (n1)(nn n(na)n1)(n1)f (n). n   即对任意n a, f (n1) (n1)f (n). n1 n 第6页 | 共7页22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满 分14分. 1 1 1 （Ⅰ）解：∵Q (a ,a2),P ( a2,a2),Q ( a2, a4). n n1 n n1 a n n n1 a n a2 n 1 1 1 1 1 ∴a  a2, ∴a  a2  ( a2 )2 ( )12a22 n1 a n n a n1 a a n2 a n2 1 1 1 ( )12( a2 )22 ( )1222 a23  a a n3 a n2  1 1 a a ( )122n2 a2n1 ( )2n11a2n1  a( 1)2n1 ， ∴a  a( 1)2n1 . a 1 a 1 a n a 1 （Ⅱ）证明：由a=1知a  a2, ∵a  , ∴ 1 1 n1 n 1 2 a 2  4 ,a 3  16 . 1 ∵当k 1时,a a  . k2 3 16 n 1 n 1 1 ∴(a a )a  (a a ) (a a ) . k k1 k2 16 k k1 16 1 n1 32 k1 k1 （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，a  a2n1 , n 1 n n 2n1 因此(a a )a (a2k1 a2k)a2k1   (ai ai1)a2i2 k k1 k2 1 1 1 1 1 1 k1 k1 i1 (1a )a2 2  n1 a3i (1a )a2  a 1 3 = a 1 5  1 . 1 1 1 1 1 1a3 1a a2 3 i1 1 1 1 第7页 | 共7页