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2003 年江苏高考数学真题及答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1．如果函数 的图象与x轴有两上交点，则点（a，b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为
a a a a
阿 阿 阿 阿
O O O O
a a a a
2．抛物线 阿的准线方 程是y=2阿，则a的值 为 阿 阿（ ）
阿 阿 阿 阿
A． (A) B．－ (B) C．8 (C) D．－8 (D)
3．已知 （ ）
A． B．－ C． D．－
4．设函数 则x的取值范围是 （ ）
0
A．（－1，1） B．（－1，+∞）
C．（－∞，－2）∪ （0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
5 ． O 是 平 面 上 一 定 点 ， A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 ， 动 点 P 满 足
则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．函数 的反函数为 （ ）
A． B．
C． D．
7．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
8．设 曲线 在点 处切线的倾斜角的取值范围为 ，则P到
曲线 对称轴距离的取值范围为 （ ）
A．[ ] B． C． D．
9．已知方程 的四个根组成一个首项为 的等差数列，则 |m－n|=
（ ）
第1页 | 共7页A．1 B． C． D．
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（ ，0）直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为
，则此双曲线的方程是 （ ）
A． B． C． D．
11．已知长方形四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P 沿与AB夹角
0
为θ的方向射到BC上的点P 后，依次反射到CD、DA和AB上的点P 、P 和P （入射角等于反射角）.设P
1 2 3 4 4
的坐标为（x，0）.若1< x<2，则tanθ的取值范围是 （ ）
4 4
A． B． C． D．
12．一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）
A．3π B．4π C． π D．6π
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上.
13． 展开式中x9的系数是
14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分
层抽样的方法抽取 46 辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ，
辆
15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜
色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法
有 种.（以数字作答）
16．对于四面体ABCD，给出下列四个命题
①若AB=AC，BD=CD，则BC⊥AD. ②若AB=CD，AC=BD，则BC⊥AD.
③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD. ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD.
其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验.
（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）
18．（本小题满分12分）
已知函数 上R上的偶函数，其图象关于点 对称，且在区
间 上是单调函数，求 和ω的值.
C
1
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC—ABC 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA=2，D、E分别是CC 与AB
1 1 1 1 1B 1
1
的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. A D
1
（Ⅰ）求AB与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
1
（Ⅱ）求点A 到平面AED的距离.
1 E
GC
第2页 | 共7页
K
B
F
A20．（本小题满分12分）
已知常数 ，向量 经过原点O以 为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以
为方向向量的直线相交于点P，其中 试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.
若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）已知 为正整数.
（Ⅰ）设 ；
（Ⅱ）设
22．（本小题满分14分）
设 如图，已知直线 及曲线C： ，C上的点Q 的横坐标为
1
（ ）.从C上的点Q （n≥1）作直线平行于x轴，交直线l于点 ，再从点 作直线平行于y
n
轴，交曲线C于点Q .Q（n=1，2，3，…）的横坐标构成数列
n+1 n
（Ⅰ）试求 的关系，并求 的通项公式；
c
y l
（Ⅱ）当 时，证明 ；
r
2 Q
3
r
1 Q
2
Q
1
（Ⅲ）当a=1时，证明 a a a
O 1 2 3 x
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.
1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分.
13． 14．6,30,10 15．120 16．①④
三、解答题
17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.
解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.
（Ⅰ） ，
因为事件A，B，C相互独立，恰有一件不合格的概率为
第3页 | 共7页答：恰有一件不合格的概率为0.176.
解法一：至少有两件不合格的概率为
解法二：三件产品都合格的概率为
由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为
答：至少有两件不合的概率为0.012.
（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12
分分
解：由
19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空
间想象能力和推理运算能力. 满分12分.
解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是AB与平面ABD所成的角.
1
设F为AB中点，连结EF、FC，
第4页 | 共7页（Ⅱ）连结AD，有
1
, 设A 到平面AED的距离为h，
1
则
解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠ABG是AB与平ABD所成的角.
1 1
如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a，
则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)
（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)
1
（Ⅰ）当 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（Ⅱ）当 时，方程①表示椭圆，焦点
第5页 | 共7页（Ⅲ）当 方程①也表示椭圆，焦点 为合乎题意的两
个定点.
（21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.
证明：（Ⅰ）因为 ，
所以
（Ⅱ）对函数 求导数:
∴
即对任意
22．本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满
分14分.
（Ⅰ）解：∵
∴ ∴
， ∴
（Ⅱ）证明：由a=1知 ∵ ∴
∵当
∴
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=1时，
第6页 | 共7页因此
=
第7页 | 共7页
