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江苏扬州市邗江区2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知向量 ，满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
2．已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，空间四边形OABC中， ， ， ，且 ， ，则 等于
（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．在正方体 中， 是 的中点， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的
余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．有3名男生和3名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有（ ）
A．72种 B．144种 C．108种 D．288种8．设函数 是定义在 上的奇函数， 为其导函数.当 时， ， ，则
不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知A，B，C，D是空间直角坐标系 中的四点，P是空间中任意一点，则（ ）
A．若 与 关于平面 对称，则
B．若 ，则A，B，C，D共面
C．若 ，则A，B，C，D共面
D．若 三点共线，则
10．在 件产品中，有 件合格品， 件不合格品，从这 件产品中任意抽出 件，则（ ）
A．抽出的 件中恰好有 件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的 件中恰好有 件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的 件中至少有 件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的 件中至少有 件是不合格品的抽法有 种
11．设函数 ，则（ ）
A．当 时， 有两个零点
B．当 时， 是 的极大值点C．当 时，点 为曲线 的对称中心
D．当 时， 在区间 上单调递增
三、填空题
12．若 ，则 的值为 ．
13．函数 的极值是 .
14．在平行六面体 中，已知底面四边形 为矩形， ， ，
，则 ．
四、解答题
15．已知函数 ，且 ．
(1)求 的值；
(2)求函数 的图象在点 处的切线方程．
16．用 五个数字，问：
(1)可以组成多少个无重复数字的四位密码？
(2)可以组成多少个无重复数字的四位数？
(3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数？
17．如图，长方体 中， ， . 是棱 上一点，且 ，交 于点 .
(1)求证： 平面 ；(2)求点 到平面 的距离.18．如图，在空间几何体ABCDPE中，正方形PDCE所在平面垂直于梯形ABCD所在平面 ，
， ，点F在线段AP上，
(1)求二面角 的正弦值;
(2) 为线段 上一点，若直线BQ与平面BCP所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
19．已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若 是函数 的极值点，求证： ．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A D A B C BD ACD
题号 11
答案 ACD
1．D
根据空间向量数量积的坐标运算即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，所以 .
故选：D.
2．C
求出 ，可得出 的值，利用导数的概念可求得所求极限的值.
【详解】因为 ，则 ，所以， ，所以， .
故选：C.
3．C
利用空间向量的线性运算求解.
【详解】 ，
.
故选：C
4．A
对函数求导并令 解不等式可得单调递减区间.
【详解】易知函数定义域为 ，
可得 ，显然 ，
令 ，可得 ，
因此函数 的单调递减区间是 .
故选：A
5．D
建立空间直角坐标系，求出 ， ，利用线线角的向量法，即可求解.
【详解】如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为 ，
则 ，所以 ， ，
设异面直线 与 所成的角为 ，
则 ，故选：D.
6．A
构造函数 ，利用导数研究 的单调性，得到 最大，再变形 ，利用 的单调性比较
的大小即可.
【详解】因为 ，设 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减.
所以 在 时取到最大值，
所以 ，即 .
因为 ， ，
又因为 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 .
故选：A
7．B
利用插空法求解即可.
【详解】先排男生共有 种方法，再排女生共有 种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的排法数为 ，
故选：B.
8．C
当 时，构造函数 ，求导结合已知得其单调性，进而可得当 时， ，当
时， ，结合奇函数的性质即可进一步得解.
【详解】当 时，令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以不等式 的解集为 .
故选：C.
9．BD
【详解】对于A，A与B关于平面 对称，则 ，故A错误；
对于B，由共面向量定理易知得B正确；
对于C，因为 ，故C错误；
对于D， ，因为A，B，C共线，所以 共线，
所以 ，所以 ，故D正确．
故选：BD．
10．ACD【详解】对于A、B，抽出的 件中恰好有 件是不合格品，则包括一件不合格品和两件合格品，共有
种抽取方法，故A正确B错误；
对于C、D，抽出的 件中至少有 件是不合格品，可以分为“有 件是不合格品”和“有2件是不合格
品”两种情况，“有 件是不合格品”有 种抽取方法，“有2件是不合格品”有 种抽取方法，
所以共有 种抽取方法. 故C正确.
另外，“至少有 件是不合格品”的对立事件是“3件都是合格品”，其抽取方法有 种，所以，抽出的
件中至少有 件是不合格品的抽取方法有 种.故D正确.
故选：ACD.
11．ACD
根据因式分解可得函数的零点，结合导函数的图像去研究函数的极大值、对称中心与单调性.
【详解】已知 ，所以 ,
当 时， ，方程有两个根，所以 正确，
当 时， 的解集为 ， 的解集为 ，
所以 在 上单调减，在 上单调增，所以 在 处取极小值，所以 错误,
当 时， ，
所以 关于 中心对称，所以 正确，
当 时， 的解集为 ，而 ,所以 在 上
单调递增，所以 正确.
故选：
12． 或
由组合数的性质，代入计算，即可得到结果.【详解】由 可得 或 ，
解得 或 ，
又 ，解得 ，且 ，
所以 的值为 或 .
故答案为： 或
13．
利用导数判断单调性，即可求出极值点，进而求出函数的极值.
【详解】由 的定义域为 ， ，
当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
故 在 取得极小值为 ，无极大值；
故答案为： .
14．
取定空间的一个基底 ，表示出 ，再利用数量积的运算律求得答案.
【详解】在平行六面体 中， ， ，
则 ，而 ，则 ，
而 ，则
，
所以 .
故答案为：15．(1) ；
(2) .
（1）求导即可代入求解，
（2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解.
【详解】（1）由 ，得 ，
又 ，
所以 ，解得 .
（2）由（1）知 ， ，
∴ ，即切点为 ，
又 ， ，
∴切线的斜率为 ，
故函数 的图象在点 处的切线方程为： ，
即 .
16．(1)120
(2)96
(3)32
（1）直接全排列即可得答案；
（2）注意首位不能为0，从不为0的四个数选一个放在首位，再从剩下的四个数选三个数全排列即可得答
案；
（3）分0在个位、 在个位、4在个位三种情况进行讨论，再由分类加法计数原理求解可得答案.【详解】（1）从5个数字任取4个进行全排列，故有 个；
（2）首位不能为0，则有 个；
（3）由题意，是偶数个位数必须是 .
分3种情况讨论：
①0在个位，十位必须比0大，千位数字不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位数字在剩下的数字选
一个，所以共有 ；
② 在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0且不能与个位和十位数字重复，百位剩下2个里面选
一个.有 种选法；
③4在个位，里面没有比4大的数字，不存在这种可能.则共有 种情况.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）设平面 的一个法向量为 ，求出法向量，利用向量法求解解．
【详解】（1）如图，分别以 ， ， 为 轴、 轴、 轴，建立空间直角坐标系，
， ，
因为 在 上，故可设 ，又 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，，
，即
， 平面 ．
所以 平面 ．
（2）设平面 的一个法向量为 ，
，
则 ，
，
令 ，得 ，所以得 ，
，
所以所求的距离为 ；
18．(1)答案见解析
(2)
（1）建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，进而得到正弦值；
（2）根据 为线段 上一点，设 ，，利用空间向量法求直线和平面所成角的正弦值
列式即可求解.【详解】（1）由四边形PDCE为正方形得 ，因为平面 平面ABCD，平面 平面
，
平面PDCE， ，所以 平面ABCD，
又DA，DC在平面ABCD内，所以 ， ，
由 得 ，
以 为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面PBC的一个法向量为 ，
则 即
取 ，则 ，
设平面ABP的一个法向量为 ，
则 即
取 ，则 ，
所以 ，所以二面角 的正弦值为 .
（2）设 ， ，
则 ，
因为BQ与平面BCP所成角的正弦值为 ，
所以 ，
解得 或 ，因为 ，所以 ，
故
19．(1)
(2)
(3)证明见解析
（1）求得 ，得出函数 的单调区间，进而求得函数 最小值；
（2）根据题意，转化为 在 恒成立，令 ，求得 ，
得出函数 的单调性，求得 的最小值，即可得到答案.
令 ，解得 ，
（3）由函数 ，求得 ，令 ，求得 在上恒成立，得到函数 在 上单调递增，根据 是 的极值点，得到 ，结合
，即可证得 .
【详解】（1）解：由函数 ，可得其定义域为 ，且 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 单调递增，
所以 .
（2）解：由 ，其中
可得 ，即 ，
由 对任意 恒成立，即 在 恒成立，
令 ，可得 ，
令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，即实数 的取值范围为 .
（3）解：由 ，可得 ，
令 ，可得 在 上恒成立，
所以函数 在 上单调递增，即函数 在 上单调递增，
因为 是 的极值点，所以存在 使得 ，即 ，又由 ，所以 ，
则 ，
所以 .
