文档内容
江苏省苏州市2025-2026学年高二上学期期中阳光调研
数学试卷
一、单选题
1．在等差数列 中，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．直线 过点 ， ，则 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数
为（ ）
A．10 B．19 C．21 D．29
4．直线 与直线 及直线 相交于同一点，且 为 的一个方向向量，则 在 轴
上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知数列 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
6．已知点 ， ，点 在 轴上， 是直角三角形，这样的三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知等比数列 的首项为64，公比为 ，记 为数列 的前 项积，则当 时正整数 的最大
值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．已知点 是圆 上的动点，点 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．二、多选题
9．正实数 ， ， 不全相等（ ）
A．若 ， ， 是等差数列，则 ， ， 也是等差数列
B．若 ， ， 是等比数列，则 ， ， 也是等比数列
C．若 ， ， 是等差数列，则 ， ， 也是等差数列
D．若 ， ， 是等比数列，则 ， ， 也是等比数列
10．已知直线 ，圆 （ ）
A．对任意实数 ，直线 恒过定点
B．对任意实数 ，直线 与圆 相交，且 被圆 截得弦的长度最小值是4
C．存在实数 ，使得直线 分圆 所得弧长之比为
D．存在实数 ，使得圆上有3个点到直线 的距离为1
11．已知数列 满足 ， ，其前 项和为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 .请写出满足要求的一条直线
的方程： .
13．已知数列 满足 ， ，则 的值为 .
14．如图，在一个大圆中放入两个半径之比为1：2的小圆，使得两小圆外切，且它们均内切于大圆，且三
个切点共线，记为一次操作.之后的每次操作，都在前一次放入的较大的圆中进行上述操作，现有一个半径
为1的大圆，则4次操作后图中最小的圆的半径为 ， 次操作后图中所有圆的面积总和为.
四、解答题
15．已知 的三个顶点分别是 ， ， .
(1)求 边上的中线所在直线的方程；
(2)求 的外接圆的方程.
16．已知圆 ，圆 .
(1)判断并证明圆 ，圆 的位置关系；
(2)若两圆 与 相交于 ， 两点，满足 ，则称圆 与圆 正交.现有动圆 与圆 ，圆
均正交，自 引动圆 的切线.求证：切线长是定值.
17．记数列 的前 项和为 ，满足 .记数列 的前 项和为 ，满足 ， ，
.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
18．已知数列 的第 项是由 个1构成的 位数，如： ， ， ，…数列 的第 项
是由1或2构成的所有 位数的和，如： ， ，，…
(1)求数列 的通项公式及其前 项和 ；
(2)试求出 ，并直接写出数列 的一个通项公式（无需说明理由）；
(3)求满足不等式 的正整数 的最小值.（参考数据： ， ）
19．已知圆 ，点 是圆 上一动点，点 是平面直角坐标系中一点，动点 满足 .
(1)若 ，点 的坐标为 ，求动点 的轨迹方程；
(2)若 ，点 为圆 上的动点.试问：是否存在定点 恒在动点 的轨迹上？若存
在，求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若 ， ，记 为动点 在 时轨迹的面积，求满足 对任意 恒成
立的最小正整数 .参考答案
1．C
【详解】在等差数列中， ．
故选：C．
2．D
【详解】因为直线 过点 ， ，所以直线 的斜率 ，
设直线 的倾斜角 ，则 ，又 ，所以 ，
所以直线 的倾斜角为 .
故选：D.
3．B
【详解】设项数为 ，
则 ，
.
此数列共有19项.
故选：B
4．A
【详解】联立方程 ，直线 过点 ，
又 为直线的一个方向向量，则直线斜率为1，
直线 ，当 ， ，即 在 轴上的截距为 ．
故选：A
5．B
【详解】因为数列 满足 ，可得 ， ， ，…，
可得数列 是周期为3的周期数列，所以 .
故选：B.
6．C
【详解】设 .显然直线 斜率都存在.
若 为直角，则 ，所以 ，解得 ；
若 为直角，则 ，所以 ，解得 ；
若 为直角，则 ，所以 ，解得 .
故有三个满足要求的直角三角形.
故选：C
方法二：若 为直角，则 ，解得 ；
若 为直角，则 ，解得 ；
若 为直角，则 ，解得 .
故有三个满足要求的直角三角形.
故选：C
方法三：当 为直角顶点时，显然有两个这样的直角三角形；
若 为直角顶点， 中点 ， ，则 ，而点 到 距离
为5， 此时有唯一点 ，符合要求.
故有三个满足要求的直角三角形.
故选：C
7．A【详解】由题意 ， ， ，
， ， ，
当 时正整数 的最大值为12.
故选A.
8．B
【详解】法一：如图，设过 ， ， 三点的圆的半径为 ，
则 ，又 ，
所以 ，则 是锐角，可得 ，
故 取最大， 最大，
则 时， 取得最小值 ，此时 ，
而 是锐角，此时 ，
法二：如图，结合圆的性质设 ，则由余弦定理得 ，
由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时取等，
故 ， 则 的最大值是 ；
法三：设 ，由正弦定理得 ，
即 ，则 ，
因为 ，所以 ，
故 为锐角，得到 的最大值为 ．
故选：B．
9．BD
【详解】对于A，取 ，则 ， ，
所以 ， ， 不成等差数列，故A错误；
对于B，若 ， ， 是等比数列，则 ，所以 ，
所以 ， ， 是等比数列，故B正确；
对于C，取 ，则 ，
又 ，故 ， ， 不是等差数列，故C错误；
对于D，若 ， ， 是等比数列，则 ，
又 ，所以 ， ， 是等比数列，故D正确.故选：BD.
10．ACD
【详解】直线 即 ，
令 ，解得 ，
所以直线 过定点 ，故A正确；
，故定点 在圆 内， 直线 与圆 相交，
设 ，由圆的几何性质，当直线 与 垂直时，弦长最小，
，则最小弦长为 ，故B错误
对于C，若直线 分圆 所得弧长之比为1:3，则劣弧所对圆心角为 ，
此时弦长为 ，而 ，故这样的直线是存在的，
存在实数 满足条件，故C正确
对于D，圆 半径为 ，若圆上有3个点到直线 的距离为1，
则圆心到直线 距离为 ， 圆心 到直线 的距离 ，
而 ， 存在实数 满足条件，故D正确
故选：ACD.
11．ABD
【详解】 ， ， ， ， ，故A正确；
对于B，由 ，
，故B正确
对于C，当 时， ，而 ， ，故C错误.因为 ， ，
即 ， ，…，
累加得
，故D正确.
故选：ABD.
12． 或 .（写出其中一个即可）
【详解】由题意知过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，
当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，代入 中，
可得 ，即 坐标为 ，此时 ，符合题意；
当直线 的斜率存在时，设方程为 ，即 ，
设圆心O到直线l的距离为d，则 ，
由 ，圆的半径 可得 ，即 ，解得 ，
故 ，解得 ，
故直线l的方程为 ，即 ，
故答案为： 或 .（写出其中一个即可）
13．29
【详解】由 ，可得 ，两式相减 ，
是首项为1，公差为4的等差数列，.
故答案为： .
14．
【详解】 次操作后，小圆的半径依次为 ，
大圆的半径依次为 ，
所以小圆半径是首项为 ，公比为 等比数列，
大圆半径是首项为 ，公比为 等比数列，
4次操作后图中最小的圆的半径为 ；
次操作后，小圆面积和为：
，
大圆面积和为：
所以大圆与小圆面积和为 ，
则所有圆的面积总和为 .
故答案为：
15．(1)(2)
【详解】（1）线段 中点为 ，则 边中线的斜率为 ，
所以 边上的中线所在直线方程为 化简得 ，
（2）设 外接圆一般方程为 ，代入三点坐标得，
解得 ，
即 的外接圆方程为 ，
即 .
16．(1)两圆内含，证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）两圆内含.
证明：因为圆 圆心 ，半径 ，圆 圆心 ，半径 ，
圆心距 ，所以两圆内含.
（2）证明：设动圆 圆心 ，半径为 ，动圆 与圆 交于 ， 两点，由题意有 ，
所以 ，即 ，
动圆 与圆 交于 ， 两点，同理可得 ，即 ，故 ，
则有 整理得 ，即圆心 ，所以半径 ，
自 引动圆 的切线，切线长 ，所以切线长是定值 .17．(1) ，
(2)
【详解】（1） ，当 时，
数列 是首项为2，公比为2的等比数列，
由 得 ，
整理得 ①， ②
②-①得 ，即
即数列 是等差数列， ， ， ，
（2）
，
，
两式相减 ，
即数列 的前 项和 .
18．(1) ， ；(2) ，
(3)7
【详解】（1）依题意 ，
所以 ，又 ，
所以数列 为常数列， ，
，
；
（2）依题意 是由 个 位数相加，其个位上的数字和为 ，
十位上的数字和为 ， ，第 位上的数字和为 ，
又 ， ， ，
所以 ，
，
所以 ，又 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，即 ；
（3）由 ，即 ， ，
即 ，所以 ，
又 在定义域上单调递增，且 ， ，
所以 的最小值为 .
19．(1)
(2)存在，
(3)2
【详解】（1） ，设 ，则
代入圆 得： ，即
即动点 的轨迹方程为： ；
（2） ，设 ， ，则
， 分别在圆 和圆 上，则
整理可得 的轨迹方程为 .
显然恒过定点 ，故 ；
（3） 时， ，设 ， ，则代入圆 得：
即 的轨迹方程为： ，则
，则 ，故
时， ，故
