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绵阳南山中学实验学校高 2021 级高三（上）一诊模拟考试
文科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需
改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3.考试结束后，本试卷收回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 若集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合A，再根据交集的定义可求得结果.
【详解】 ， ，
，又 ，
.
故选：B.
2. 已知向量 ， ，若 ，则实数m等于（ ）
.
A B. 0 C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标表示，列式计算即得.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】向量 ， ，则 ，解得 ，
所以实数m等于 .
故选：D
3. 下列函数中，既是奇函数，又在 上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦函数、幂函数、对勾函数性质判断各函数的奇偶性、区间单调性即可.
【详解】由 定义域为R且 ，易知 为奇函数，
又 ，故 在 上递减，A符合.
由 在 上递增，B不符合；
由 定义域为 ，显然区间 不满足定义域，C不符合；
由 定义域为R且 ，即 为偶函数，D不符合；
故选：A
4. 设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求出 ，再根据等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】由题意得 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 .
故选：C.
5. “ ”是“ ” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要性定义，结合不等式的推出关系判断题设条件间的关系.
【详解】由 ，则 成立，充分性成立；
由 ，若 ，显然 不成立，必要性不成立；
所以 “ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
6. 已知 是第三象限角，则点 位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.
【详解】因为 是第三象限角，故 ，
则 ，
故 在第二象限，
故选：B
7. 执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为17，则输入的最小整数 的值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 9 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的 值恰好满足题意，然后停止
循环求出 的值.
【详解】第一次循环， ， 不成立；
第二次循环， ， 不成立；
第三次循环， ． 不成立；
第四次循环， ， ，成立，
所以 ，输入的最小整数t的值为9．
故选：A
8. 已知命题p：在 中，若 ，则 ；q：若 ，则 ，则下列命
题为真命题的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件分别判断命题 ，命题 的真假，然后结合复合命题的真假关系进行判断即可.
【详解】命题p：在 中，若 ，由正弦定理得 ，所以 ，为真命题，
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学科网（北京）股份有限公司当 ，对于 ，当且仅当 时等号成立，
所以命题q：若 ，则 ，为真命题，
所以 为真命题， 假命题， 假命题， 假命题，
故选：A.
9. 函数y＝ (其中e为自然对数的底数)的大致图像是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：排除法，根据函数值的特点，排除即可；
方法二：根据导数和函数的单调性即可判断.
【详解】方法一：排除法：当 时， ，排除C，
当 时， 恒成立，排除A、D，
故选B.
方法二： ，
由 ，可得 ，令 ，可得 或 ，
所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，
所以只有B符合条件，
.
故选B
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，注意在识别函数图象的过程中，可以从函数的定义域，
函数的单调性，函数图象的对称性，函数图象所过的特殊点以及函数值的符号等方面来确定.
10. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它
使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现
电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之
间关系的经验公式： ，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变
的条件下，当放电电流为 时，放电时间为 ；当放电电流为 时，放电时间为 ，则该蓄电
池的Peukert常数 约为（ ）（参考数据： ， ）
A. 0.82 B. 1.15 C. 3.87 D. 5.5
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得 ，再结合对数式与指数式的互化及对数运算即可求解.
【详解】根据题意可得 ，两式相除可得 ，
所以 ，可得 .
故选：B.
11. 已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得, ，
，
， ．故A正确．
考点：三角函数单调性．
12. 设函数 ，直线 是曲线 的切线，则 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先设切点写出切线方程，再求 的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.
【详解】令 的切点为 ，因为 ，
所以过切点的切线方程为 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以当 时 恒成立，此时 单调递减，
当 时 恒成立，此时 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，
故选：C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知 ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】对已知式子利用三角函数恒等变换公式化简变形可得答案.
【详解】由 ，得
，
，
所以 ，
所以 ，
故答案为：
14. 等比数列 中， ， ，则 ___________．
【答案】108
【解析】
【分析】根据等比数列的性质可得 ，求得 ，继而根据 求得答案.
【详解】由题意等比数列 中， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司设等比数列 的公比为q，则 ，
故 ，
故答案为：108
15. 如图，在 中， ，P为CD上一点，且满足 ，则m的值
为___________．
【答案】
【解析】
【分析】 改为向量的终点在同一直线上，再利用共线定理的推论即可得到参数 的方
程，解之即可.
【详解】因为 ， 即，
,
所以
又
所以 ，解得 .
故答案为： .
16. 已知函数 是R上的奇函数，对任意 ，都有 成立，当 ，且
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学科网（北京）股份有限公司时，都有 ，有下列命题：
① ； ②函数 图象关于直线 对称；
③函数 在 上有5个零点；④函数 在 上为减函数．
则以上结论正确的是___________．
【答案】①②
【解析】
【分析】由题意分析 的对称性 、单调性、周期性，对结论逐一判断.
【详解】根据题意，函数 是 上的奇函数，则 ；
由 得 ，即
所以 是函数 的一条对称轴；
又由 为奇函数，则 ，
变形可得 ，则有 ，
故函数 是周期为4的周期函数，
当 ，且 时，都有 ，
则函数 在区间 上为增函数，又由 是 上的奇函数，
则 在区间 上单调递增；
据此分析选项：
对于①， ，则 ，
，故①正确；
对于②， 是函数 的一条对称轴，且函数 是周期为4的周期函数，则 是函数 的一条
对称轴，又由函数为奇函数，则直线 是函数 图象的一条对称轴，故②正确；
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学科网（北京）股份有限公司对于③，函数 在 上有7个零点：分别为 ， ， ，0，2，4，6，故③错误；
对于④， 在区间 上为增函数且其周期为4，函数 在 上为增函数，故④错误；
故答案为：①②．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 设 是公差不为0的等差数列， ， 成等比数列．
（1）求 的通项公式：
（2）设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设 的公差为 ，然后根据已知条件列方程可求出 ，从而可求出通项公式，
（2）由（1）得 ，再利用裂项相消法可求得结果.
【小问1详解】
设 的公差为 ，
因为 成等比数列，所以
又因为 ，所以 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，得 ，
故 ．
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以
．
18. 已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，求函数 在 上的单
调递减区间．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数图象求出 ， ，进而得出 .根据“五点法”，即可求出 的值；
（2）先求出 ，根据已知得出 .结合正弦函数的单调性，解
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学科网（北京）股份有限公司，即可得出答案.
【小问1详解】
由图易知 ， ，
所以 ， ．
易知 ，故函数 的图象经过点 ，
所以 ．
又 ，∴ ．
∴ ．
【小问2详解】
由题意，易知 ，
因为 时，所以 .
解 可得， ，
此时 单调递减，
故函数 的单调递减区间为 .
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学科网（北京）股份有限公司19. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
（2）已知 ， ，边BC上有一点D满足 ，求AD．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形内角和定理、诱导公式，结合正弦定理、正弦的二倍角公式进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.
【小问1详解】
∵ ，由正弦定理，有 ，
即 ，
又 ，即有 ， ，
， ，所以 ， ，故 ．
【小问2详解】
设 ， ，由（1）知 ，
在△ABC中，由余弦定理 ，可知
，∴
又 ，可知 ，
在△ABD中， ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，①
在△ACD中， ，
即 ，②
联立①②解得 .
20. 已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－ 与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对 ，不等式 恒成立，求c的取值范围.
【答案】（1） ，单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
（2） 或
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）求出函数导数，由题可得 即可求出 ；
（2）求出 在 的最大值即可建立关系求解.
【详解】（1） ， ，
在 与 时都取得极值，
，解得 ，
，
令 可解得 或 ；令 可解得 ，
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
（2） ，
由（1）可得当 时， 为极大值，而 ，
所以 ，
要使 对 恒成立，则 ，解得 或 .
21. 已知函数 ， ．
（1）若 在区间 上单调递减，求实数a的取值范围；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ， 存在两个极值点 ， ，证明： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得 在 上恒成立，转化为 在 上恒
成立，构造函数 ，利用导数可求出其最小值，
（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 ： ， 满 足 ， ， 不 妨 设 ， 则 ， 则
，所以只需证 成立，构造函数 ，
利用求出其出其最大值小于零即可.
【小问1详解】
∵ ，又 在区间 上单调递减，
∴ 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
∴ 在 上恒成立；
设 ，则 ，
当 时， ，∴ 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，即实数a的取值范围是 ．
【小问2详解】
由（1）知： ， 满足 ．
∴ ，不妨设 ，则 ．
∴ ，
则要证 ，即证 ，
即证 ，也即证 成立．
设函数 ，则 ，
∴ 在 单调递减，又 ．
∴当 时， ，
∴ ，即 .
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数证明不等
式，解（2）问解题的关键是根据题意将问题转化为证 成立，构造函数
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学科网（北京）股份有限公司，利用导数求出其最值即可，考查数学转化思想，属于较难题.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题记分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，以
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）写出 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）设点 在 上，点 在 上，求 的最小值以及此时 的直角坐标.
【答案】（1） ： ， ： ；（2） ，此时 .
【解析】
【详解】试题分析：（1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ；（2）由题
意 ， 可 设 点 的 直 角 坐 标 为 到 的 距 离
当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 .
试题解析： （1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 .
（2）由题意，可设点 的直角坐标为 ，因为 是直线，所以 的最小值即为 到
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学科网（北京）股份有限公司的距离 的最小值， .
当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 的直角坐标为 .
考点：坐标系与参数方程.
【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的
消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参
法等．把曲线 的普通方程 化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方
程的等价性．注意方程中的参数的变化范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23.
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若关于 的不等式 在 上无解，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ; （2） .
【解析】
【详解】试题分析：（1）将 的表达式以分段函数的形式写出，将原题转化为求不等式组的问题，最
后对各个解集求并集得出原不等式的解集；
（2） 在 上无解相当于 ，从而得到关于 的一元二次不等式，解得
的范围.
试题解析：
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学科网（北京）股份有限公司（1）由题意得 .
则原不等式转化为 或 或 .
原不等式的解集为 .
（2）由题得 ，
由（1）知， 在 上的最大值为 ，即 ，
解得 或 ，即 的取值范围为 .
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学科网（北京）股份有限公司
