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济南⼀中 级⾼⼆期中学情检测
2024
数学试题
说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1⻚⾄第3⻚，共11题，第Ⅱ卷为第
3⻚⾄第4⻚，共8题.请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置⽆效，考试结束
后将答题卡上交.试题满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（共58分）
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选
项符合题⽬要求.
1. 已知向量 是直线 的⽅向向量，则直线 的倾斜⻆为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知椭圆 的⻓轴⻓为4，离⼼率为 ，则该椭圆的⽅程为（ ）
A. B.
C. D.
3.“ ” 是“ 直线 与直线 平⾏” 的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 正四棱柱 中， 分别是 的中点，则直线 与 所
成⻆的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 在平⾯直⻆坐标系 中，已知圆 ，点 ，若圆 上存在点
，满⾜ ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
第1⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司6. 过点 的直线 与曲线 有且仅有两个不同的交点，则 的斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知菱形 的边⻓为2， ，现将 沿 折起，当 时，⼆⾯⻆
平⾯⻆的⼤⼩为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，E上两动点M，N均位于x轴上⽅，
且 ，若 与 的交点在y轴上，且纵坐标为 ，则椭圆E的离⼼率为（ ）
A. B. C. D.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆 离⼼率为 ，⻓轴⻓为6， ， 分别是椭圆的左、右焦点，
是⼀个定点， 是椭圆 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦距为2 B. 椭圆 的标准⽅程为
C. D. 的最⼤值为
10. 已知直线 ，圆 ， 为圆 上任意⼀点，则（ ）
A. 直线 过定点
B. 若圆 关于直线l对称，则
C. 最⼤值为
D. 的最⼤值为3
第2⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司11. ⽴体⼏何中有很多⽴体图形都体现了数学的对称美，其中半正多⾯体是由两种或两种以上的正多边形围
成的多⾯体，半正多⾯体因其最早由阿基⽶德研究发现，故也被称作阿基⽶德体.如图，这是⼀个棱数24，
棱⻓为 的半正多⾯体，它所有顶点都在同⼀个正⽅体的表⾯上，可以看成是由⼀个正⽅体截去⼋个⼀
样的四⾯体所得的，下列结论正确的有（ ）
A. 平⾯
B. ， ， ， 四点共⾯
C. 点 到平⾯ 的距离为
D. 若 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成⻆的余弦值范围为
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 如图，在平⾏六⾯体 中，底⾯是边⻓为1的正⽅形，若 ，
且 ，则 的⻓为______
13. 已知两定点 ，若直线 上有⼀点 满⾜ ，则实数 的
取值范围是__________.
14.“若点P为椭圆上的⼀点， ， 为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分 的外⻆”，这
第3⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司是椭圆的光学性质之⼀.已知椭圆 ，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦
点 作l的垂线，垂⾜为M，则 的最⼩值为______.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间三点 ，设 .
（1）若 ，且 ，求 .
（2）若 与 互相垂直，求 .
16. 在平⾯直⻆坐标系 中，已知 三个顶点 、 、 .
（1）求 边所在直线的⽅程.
（2）若 边上⾼ 所在的直线⽅程为 ，且 的⾯积为 ，求点 的坐标.
17. 已知圆 过点 ， ，圆⼼ 在直线 上.
（1）求圆 的⽅程；
（2）过点 直线 交圆 于 两点，且 ，求直线 的⽅程.
18. 已知动圆 与圆 外切，与圆 内切．
（1）求动圆圆⼼ 的轨迹⽅程；
（2）求 的取值范围．
19. 如图，四边形 与 均 菱形， ， ， .
（1）求证： 平⾯ ；
（2） 为线段 上的动点，求 与平⾯ 所成⻆正弦值的最⼤值；
（3）设 中点为 ， 为四边形 内的动点（含边界）且 ，求动点 的轨迹⻓度.
第4⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司第5⻚/共5⻚
学科⽹（北京）股份有限公司济南⼀中 级⾼⼆期中学情检测
2024
数学试题
说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1⻚⾄第3⻚，共11题，第Ⅱ卷为第
3⻚⾄第4⻚，共8题.请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置⽆效，考试结束
后将答题卡上交.试题满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（共58分）
⼀、选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选
项符合题⽬要求.
1. 已知向量 是直线 的⽅向向量，则直线 的倾斜⻆为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由直线⽅向向量与直线斜率以及倾斜⻆的关系即可求解.
【详解】已知向量 是直线 的⽅向向量，则直线 的斜率为 ，故直线 的倾斜⻆为
.
故选：A.
2. 已知椭圆 的⻓轴⻓为4，离⼼率为 ，则该椭圆的⽅程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据⻓轴以及离⼼率即可求解.
【详解】由⻓轴⻓为4，可得 ，⼜离⼼率为 ，即 ，
第1⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司解得 ，故 ，
所以椭圆⽅程为 ，
故选：A
3.“ ” 是“ 直线 与直线 平⾏” 的（ ）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由两直线平⾏斜率相等的关系求解即可；
【详解】当 时，直线 ，直线 ，此时两直线斜率相等，且两截距 ，
所以两直线平⾏，故充分性成⽴；
当直线 与直线 平⾏时，
有 ，解得 或3，故必要性不成⽴，
故选：B.
4. 正四棱柱 中， 分别是 的中点，则直线 与 所
成⻆的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令 分别是 的中点， 是 中点，连接 ，化为求直线 与 所成⻆，
即 ，应⽤余弦定理求其余弦值即可.
【详解】令 分别是 的中点， 是 中点，连接 ，
由正四棱柱的性质及题设，易知 且 ，则 为平⾏四边形，
第2⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，直线 与 所成⻆即为直线 与 所成⻆，即 ，
若 ，则 ， ， ，
.
故选：D
5. 在平⾯直⻆坐标系 中，已知圆 ，点 ，若圆 上存在点
，满⾜ ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设点 坐标，然后表示出 和 ，建⽴⽅程后得到点 的轨迹⽅程，由两个圆存在公共
点，得到圆与圆的位置关系，从⽽得到圆⼼距和半径的关系，求出 的取值范围.
【详解】设 ，则 ， .
因为 ，所以 ，
即 ，所以点 的轨迹是以 为圆⼼，以1为半径的圆 .
⼜因为点 在圆 上，所以圆 与圆 有公共点，所以 ，
即 ，解得 .
故选：C.
6. 过点 的直线 与曲线 有且仅有两个不同的交点，则 的斜率的取值范围为（ ）
第3⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】 表示以圆⼼为原点，半径为2的半圆，画出图形，考虑直线与半圆相切、分别经过
点 ， ，可得所求取值范围．
【详解】设过 且有斜率 直线位 ，
曲线 表示以圆⼼为原点，半径为2的下半圆，
由直线与圆相切可得 ，解得 或 ，
当直线经过点 时， ，
当直线经过点 时， ，
由图象可得， 或 ．
故选：C．
7. 已知菱形 的边⻓为2， ，现将 沿 折起，当 时，⼆⾯⻆
平⾯⻆的⼤⼩为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，由菱形的性质得出 就是⼆⾯⻆ 的平⾯⻆，求出 的
边⻓可得答案.
第4⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【详解】设 ，菱形 满⾜ ， ，
则 和 都为等边三⻆形，所以 ， ，
⼜ ，则 ，所以 就是⼆⾯⻆ 的平⾯⻆，
由于 ，所以 ，所以 是等边三⻆形，
所以 ，即⼆⾯⻆ 平⾯⻆的⼤⼩为 .
故选：B.
8. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，E上两动点M，N均位于x轴上⽅，
且 ，若 与 的交点在y轴上，且纵坐标为 ，则椭圆E的离⼼率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据题意知道 得到 ，再根据相似三⻆形得到 ，借助
离⼼率公式计算即可.
【详解】
如图，由于 ， 与 的交点在y轴上，结合椭圆的对称性，
知道 则 ，代⼊ ，
求得 ，求得 ，故 .
第5⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司设 与 的交点在y轴上，为 .
显然 , ,代⼊ .
即 ，化简得， ，即 .
故选：B.
⼆、选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，有多项符合题⽬
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆 的离⼼率为 ，⻓轴⻓为6， ， 分别是椭圆的左、右焦点，
是⼀个定点， 是椭圆 上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 焦距为2 B. 椭圆 的标准⽅程为
C. D. 的最⼤值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】⾸先根据条件先求椭圆的⽅程，再判断选项，D选项利⽤椭圆的定义，将距离的和转化为距离差
的最⼤值，利⽤数形结合，即可判断.
【详解】由条件可知， ，得 ，
所以椭圆的焦距 ，椭圆 的标准⽅程为 ，故A错误，B正确；
， ， ，故C正确；
，当点 三点共线，且点 在
之间时，等号成⽴，故D正确.
第6⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故选：BCD
10. 已知直线 ，圆 ， 为圆 上任意⼀点，则（ ）
A. 直线 过定点
B. 若圆 关于直线l对称，则
C. 的最⼤值为
D. 的最⼤值为3
【答案】BC
【解析】
【分析】A：将直线⽅程化为 ，根据 可确定出定点坐标；B：考虑直线经过圆
⼼的情况；C：根据 的⼏何意义，考虑 与圆相切；D：根据 的⼏何意义，先计算 ，然
后可求结果.
【详解】 化 标准⽅程为 ，圆⼼为 ，半径为 ；
A：因为 ，令 ，可得 ，所以 过定点 ，故
错误；
B：若圆 关于 对称，则 过圆⼼ ，所以 ，解得 ，故正确；
C： 表示 连线的斜率，设 ，即 ，如下图，
第7⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司当 与 相切时，此时 取最值，
所以 ，解得 ，所以 的最⼤值为 ，即 的最⼤值为 ，故正确；
D： 表示 ，因为 ，所以 ，故错误；
故选：BC.
11. ⽴体⼏何中有很多⽴体图形都体现了数学的对称美，其中半正多⾯体是由两种或两种以上的正多边形围
成的多⾯体，半正多⾯体因其最早由阿基⽶德研究发现，故也被称作阿基⽶德体.如图，这是⼀个棱数24，
棱⻓为 的半正多⾯体，它所有顶点都在同⼀个正⽅体的表⾯上，可以看成是由⼀个正⽅体截去⼋个⼀
样的四⾯体所得的，下列结论正确的有（ ）
A. 平⾯
B. ， ， ， 四点共⾯
C. 点 到平⾯ 的距离为
D. 若 为线段 上的动点，则直线 与直线 所成⻆的余弦值范围为
【答案】ABD
【解析】
【分析】画出“阿基⽶德体”对应的正⽅体，由图可判断AB选项，建⽴空间直⻆坐标系，利⽤空间向量来判
第8⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司断CD选项.
【详解】“阿基⽶德体”是由如图所示得到的，即“阿基⽶德体”的所有顶点都是正⽅体的棱的中点.
A选项：由图可知 平⾯ ，A选项正确；
B选项：∵ ， ， ， 四点均是正⽅体个棱上中点，∴ ，∴ ，
， ， 四点共⾯，B选择正确；
C选项：如图建⽴空间直⻆坐标系，
∵ ，∴正⽅体棱⻓为4，∴ ， ， ， ，
所以 ，设平⾯ 的⼀个法向量为 ，
则 ，解得 ，即 ，
第9⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司，
∴点 到平⾯ 的距离 ，故C选项错误；
设 且 ，所以 ，
设 与 的夹⻆为 ，
所以
当 时，令 ，
因为 当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即
当 时， ，
所以直线 与直线 所成⻆的余弦值范围为 ，故D选项正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛，本题的关键是还原原来的正⽅体，然后利⽤空间向量来解决⽴体图像中的距离和夹⻆
问题.
第Ⅱ卷（共92分）
三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分.
12. 如图，在平⾏六⾯体 中，底⾯是边⻓为1的正⽅形，若 ，
且 ，则 的⻓为______
第10⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】先将 表示为 ，然后根据向量的数量积运算结合⻓度和⻆度求解出 .
【详解】因为 ，
所以
，
.
故答案为： .
13. 已知两定点 ，若直线 上有⼀点 满⾜ ，则实数 的
取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设点 的坐标为 ，根据题意列出关于 的关系式，化简可得点 的轨迹⽅程，由此可得
点 的轨迹为圆.根据点 在直线l上，知直线与该圆有公共点，据此求得实数 的取值范围.
【详解】设点 ，化简得
.
由此可知，点 的轨迹为圆.
由于点 在直线 上，也在圆 上，所以直线与圆有公共点.
第11⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 ，即 ，所以 .
解得 或 .
所以实数 的取值范围是 .
14.“若点P为椭圆上的⼀点， ， 为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分 的外⻆”，这
是椭圆的光学性质之⼀.已知椭圆 ，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦
点 作l的垂线，垂⾜为M，则 的最⼩值为______.
【答案】
【解析】
【分析】利⽤椭圆的光学性质，结合等腰三⻆形三线合⼀的推论与中位线定理分析得点 的轨迹为圆，再
利⽤点到圆上点的距离的最值求法即可得解.
【详解】因为椭圆 ，所以 ， ，即 ，
如图，延⻓ 、 交于点 ，由题意可知 ，
⼜因为 ，则 为 的中点，且 ，
所以 ，
⼜因为 为 的中点，则 ，
故点 的轨迹 为以 为原点， 为半径的圆，圆的⽅程为 ，
第12⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司易知点 到圆⼼ 的距离为 ，
所以 的最⼩值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利⽤椭圆的性质分析得点 的轨迹是圆，从⽽得解.
四、解答题：本题共5⼩题，共77分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知空间三点 ，设 .
（1）若 ，且 ，求 .
（2）若 与 互相垂直，求 .
【答案】（1） 或
（2） 或
【解析】
【分析】（1）由题意得到 ，结合模⻓公式求得 即可求解；
（2）由向量垂直的坐标表示即可求解.
【⼩问1详解】
，因为 ，则设 ，
故 ，则 ，
则 ，即 或 .
【⼩问2详解】
，
，
，
得 ，即 ，
第13⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司则 或 .
16. 在平⾯直⻆坐标系 中，已知 三个顶点 、 、 .
（1）求 边所在直线的⽅程.
（2）若 边上⾼ 所在的直线⽅程为 ，且 的⾯积为 ，求点 的坐标.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）求出直线 的斜率，利⽤点斜式可得出直线 的⽅程；
（2）求出 ，结合三⻆形的⾯积公式可求出点 到直线 的距离，利⽤点到直线的距离公式以及点
在直线 可得出关于 、 的⽅程组，解出这两个未知数的值，即可得出点 的坐标.
【⼩问1详解】
由题意可知，直线 的斜率为 ，
所以直线 的⽅程为 ，即 .
【⼩问2详解】
因为 边上⾼ 所在的直线⽅程为 ，则 ①，
设点 到直线 的距离为 ，且 ，
因为 ，可得 ，
由点到直线的距离公式可得 ，故 ②，
所以 或 ，解得 或 ，
第14⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故点 的坐标为 或 .
17. 已知圆 过点 ， ，圆⼼ 在直线 上.
（1）求圆 的⽅程；
（2）过点 的直线 交圆 于 两点，且 ，求直线 的⽅程.
【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，联⽴⽅程组，即可求得圆的⽅程；
（2）由弦⼼距公式，求得圆⼼到直线的距离，再由点到直线距离公式，求得直线的斜率，即可得到直线的
⽅程.
【⼩问1详解】
设圆 的标准⽅程为： ，由题意可得：
，解之得： ，
所以圆 的标准⽅程为： ；
【⼩问2详解】
由弦⼼距公式可知，圆⼼ 到直线 的距离为： .
当直线 斜率不存在时， 的⽅程为 ，显然此时圆⼼ 到直线 的距离为 ，不符合题意；
当直线 斜率存在时，设 ⽅程为： ，即 ，
由点到直线的距离公式可得： ，
解之得： 或 ，
第15⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以直线 的⽅程为： 或 .
18. 已知动圆 与圆 外切，与圆 内切．
（1）求动圆圆⼼ 的轨迹⽅程；
（2）求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利⽤圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆⼼ 的轨迹是椭圆，求出 、 、 的值，
结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆⼼ 的轨迹⽅程；
（2）设点 ，则 ，利⽤两点间的距离公式求出 的取值范围，利⽤椭圆的定义结合⼆
次函数的基本性质可求得 的取值范围.
【⼩问1详解】
解：圆 的圆⼼为 ，半径 ．
圆 的圆⼼为 ，半径 ，
，所以圆 内含于圆 ．
设动圆圆⼼为 ，动圆半径为 ，
由于 ，
第16⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司所以 点的轨迹是以 、 为焦点，⻓轴⻓为 的椭圆，
从⽽ ， ，所以 ，所以点 的轨迹⽅程为 ．
【⼩问2详解】
解：设点 ，则 ，则 ，
则 ，
所以， ，所以，
，
.
所以 的取值范围为 ．
19. 如图，四边形 与 均为菱形， ， ， .
（1）求证： 平⾯ ；
（2） 为线段 上的动点，求 与平⾯ 所成⻆正弦值的最⼤值；
（3）设 中点为 ， 为四边形 内的动点（含边界）且 ，求动点 的轨迹⻓度.
【答案】（1）证明⻅解析
第17⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利⽤菱形的⼏何性质可得出 ，设 ，利⽤等腰三⻆形三线合⼀的性质
可得出 ，再利⽤线⾯垂直的判定定理可证得结论成⽴；
（2）连接 ，推导出 ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建
⽴空间直⻆坐标系，设 ，其中 ，利⽤空间向量法可求得 与平⾯ 所成⻆正弦
值的最⼤值；
（3）设点 ，根据 可得出点 的轨迹⽅程，明确点 的轨迹形状，即可得解.
【⼩问1详解】
因为四边形 为菱形，则 ，
设 ，连接 ，则 为 的中点，
因为 ，则 ，
因为 ， 、 平⾯ ，故 平⾯ .
【⼩问2详解】
连接 ，因为四边形 为菱形，则 ，
⼜因为 ，则 为等边三⻆形，
因为 为 的中点，则 ，
⼜因为 平⾯ ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、
、 轴建⽴如下图所示的空间直⻆坐标系，
第18⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司因为 ，四边形 为菱形，且 ，则 是边⻓为 的等边三⻆形，
所以， ， ， ，
同理可得 ，
所以， 、 、 、 、 、 ，
则 ， ，
设平⾯ 的法向量为 ，
则 ，取 ，可得 ，
因为 为 上的动点，设 ，其中 ，
且 ， ，
所以， ，
设直线 与平⾯ 所成⻆ ，
则
，
当 时， 取最⼤值，且最⼤值为 ，
因此， 与平⾯ 所成⻆正弦值的最⼤值为 .
⼩问3详解】
因为 为 的中点，则 ，
设点 ，则 ， ，
因为 ，即 ，即 ，
化简可得 ，
第19⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司故动点 的轨迹是以点 为圆⼼，半径为 的圆在四边形 内的部分，
即圆⼼⻆为 的圆弧，故所求轨迹的⻓度为 .
第20⻚/共20⻚
学科⽹（北京）股份有限公司
