文档内容
2025-2026 学年度第一学期赣州市十三校期中联考
高二年级数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一项符合题目要求）
1．直线 的倾斜角是（ ）
A． B． C． D.0
2．已知圆 与圆 ，则两圆的位置关系是（ ）
A．内含 B．外切 C．相交 D．外离
3．已知直线 与直线 平行，则实数 的值为（ ）
A．-1 B.2 C．-1或2 D.1或-2
4．已知点 ，在 轴上求一点 ，使 最小，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．已知 是椭圆 的左、右焦点，经过 的直线与椭圆相交于 两点，
若 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 为抛物线 的焦点， 的三个顶点都在 上，且 为 的重心．
若 的最大值为10，则 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7．已知正方形 的边长为2，现将 沿对角线 翻折，得到三棱锥 ．记AC、BC、
AD的中点分别为O、M、N，则下列结论错误的是（ ）
A．AC上平面BOD
B．三棱锥D-ABC体积的最大值为
C．三棱锥D-ABC的外接球的表面积为定值
D．MN与平面BOD所成角的范围是
8．在天文观测中，天文学家利用圆锥曲线的光学性质分析星系光线传播．如图，从双曲线右焦点 发出
的模拟星系光线，经双曲线模型镜面反射后形成发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点 ．已知双曲线的方程为 ，当入射光线 和反射光线 （ 为入射点）互相垂直时，求 的
大小（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对的得部分
分，有选错的得0分）
9．已知抛物线 与抛物线 关于 轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线 的焦点坐标是
B．抛物线 关于 轴对称
C．抛物线 的准线方程为
D．抛物线 的焦点到准线的距离为4
10．已知直线 与圆 ，则下列说法正确（ ）
A．直线 恒过定点
B．当直线 与圆 相切时，切线方程是
C．当 时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于
D．圆 上的一点 到直线 的最大距离是
11．已知椭圆 ，我们把圆 称为 的蒙日圆， 为原点，点
在 上，延长 与 的蒙日圆交于点 ，则（ ）
A． 的最大值为
B．若 为 的中点，则 的离心率的最小值为
C．过点 不可能作两条互相垂直的直线都与 相切
D．若点 在 上，则 的蒙日圆面积最小为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．若圆锥的高为10，底面圆的半径为2，则这个圆锥的体积为___________．13．已知点 到点 的距离比到 轴的距离大3，则点 的轨迹方程为___________．
14．已知双曲线 的左焦点为 ，右焦点为 ，过 作圆
的切线，切点为 ，切线 交双曲线右支于点 ，且 为坐标原点，
则双曲线的离心率为__________．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
15．已知在平面直角坐标系中，圆 经过点 和 ，且圆心 在直线 上，直线
．
（1）求圆 的标准方程；
（2）若直线 被圆 截得的弦长为 ，求实数 的值．
16．已知抛物线 的焦点为 ，焦点 到准线的距离为5．
（1）求抛物线 的标准方程及焦点 的坐标；
（2）过焦点 作斜率为 2 的直线 ，交抛物线 于 ，两点，若点 在抛物线 上，求
的面积．
17．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD 底面ABCD，E是PC的中点，点F在棱BP上，且EF BP，四边
形ABCD为正方形，PD=CD=2．
（1）证明： ：
（2）求点 到平面 的距离．18．已知椭圆 分别是左、右焦点， 是椭圆 上点， 的最大值为
3，当 为椭圆上顶点时， 为等边三角形．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 、 分别是椭圆 的左、右顶点，若直线 与 交于点 、 ，且 ．证明：直线
过定点．
19．已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比为常数 ．其中 ，
且 ，记点 的轨迹为曲线 ．
（1）求C的方程，并说明轨迹的形状；
（2）设点 ，若曲线 上两动点 均在 轴上方， ，且 与 相交于点 ．
①当 时，求证： 的值及 的周长均为定值；
②当 时，记 的面积为 ，其内切圆半径为 ，试探究是否存在常数 ，使得 恒成立？
若存在，求 （用 表示）；若不存在，请说明理由．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C A A C D D B AC ABD
题号 11
答案 ABD
1.答案：B
直线倾斜角与斜率的关系
解析：直线方程化为斜截式： ，斜率 。
倾斜角 满足 ，且 。
因 ，故倾斜角为 。
2. 答案：C（相交）
两圆位置关系的判断（圆心距与半径的关系）
解析：求圆心与半径：圆 圆心 、半径 ；圆 圆心 、半径 。
计算圆心距： 。
判断位置： 因 ，故两圆相交。
3. 答案：A（-1）
两直线平行的充要条件 且
解析：化简直线：直线 : 化为 ；直线 。
列平行条件： （斜率相等），且 （截距不等）。
求解验证：解得 （代入满足截距不等）， 不满足斜率相等，故答案为 - 1。
4. 答案：A
轴对称求最短路径（两点之间线段最短）
解析：找对称点：作 关于 x 轴的对称点 。
求直线方程：直线 的斜率 ，方程为 。
求交点 P：令 ，解得 ，故 。
5. 答案：C
椭圆定义与直角三角形性质解析：判断三角形形状： ，满足 ，故 。
用椭圆定义求a： ， ，两式相加得 。
求a与c：因 ，故 ， ； ，在 中，
， 。计算离心率： 。
6. 答案：D
抛物线定义与重心性质
解析：抛物线基本量：焦点 ，准线 ，由定义得 ， 。
重心性质：设 ， ， ，重心纵坐标 ，故 。
求最大值： ，当 （抛物线最低点）时，最大值为 。
解方程： ，得 。
7．D
【详解】对于A中，因为 为正方形，可得 ，
又由 ，且 平面 ，所以 平面 ，所以A正确；
对于B中，当平面 平面 时，此时 到平面 的距离最大，
即三棱锥 高的最大值为 ，
此时三棱锥 的最大体积为 ，所以B正确；
对于C中，由 ，所以三棱锥 外接球的球心为 ，
即外接球的半径 ，所以三棱锥 外接球的表面积为 （定值），
所以C正确；
对于D中，如图所示，取 的中点 ，分别连接 ，
因为 分别为 中点，可得 且 ，
所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 平面 ，所以 即为直线 与平面 所成的角，
在折叠过程中，设 的长度为 ，则
由 为 的中点，所以 ，
在直角 中，可得 ，
所以 的取值范围为 ，即 与平面 所成的角的范围为 ，
所以D错误.
故选：D.
8．B
【详解】由 得： ， ， ．
设 ，则 ．
所以 ，解得 （ 舍去），
所以 ， ，
，
所以 ．
故选：B．
9．AC
【详解】因为抛物线 与抛物线 关于 轴对称，所以抛物线 的方程为 ，
则抛物线 的焦点坐标是 ，准线方程为 ，故A、C正确；
抛物线 关于 轴对称，故B错误；
抛物线 的焦点到准线的距离为 ，故D错误.
故选：AC
10．ABD
【详解】对于A，将直线 转化为 ，
由 ，解得 ，直线 恒过定点 ，A正确；
对于B，圆 ，可得圆心 ，半径 ，
由直线 与圆相切，可得圆心C到直线l的距离 ，
即 ，解得 ，
故切线方程为 ，即 ，B正确；
对于C，当 时，直线 ，
点 到此直线距离为 ，
因此圆 上恰有四个点到直线 的距离等于 ，C错误；
对于D，因为直线恒过定点 ，可得 ，
当 时，圆心C到直线l的距离最大，且最大值为 ，
所以圆上的点到直线的最大距离为 ，D正确.
故选：ABD.11．ABD
【详解】对于A，因为圆 的圆心为 ，半径为 ，
又椭圆 ，所以 ，
所以 ，故A正确；
对于B，若 为 的中点，则 ，
则 ，故 ，B正确；
对于C，取 ，则直线 ， 互相垂直，且都与 相切，C错误；
对于D，因为点 在 上，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的蒙日圆面积最小为 ，D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】因圆锥的底面半径为2、高为 ，则其体积为 .
故答案为： .13. 答案： 或
解析：设 ，列条件： 。
分类讨论：
当 ：平方化简得 ；
当 ：平方化简得 。
14. 答案：
双曲线性质、向量运算、圆的切线性质
解析：切线性质： ， ， ，得T点坐标 。
向量运算： ，得 , 。
代入双曲线：化简得 ，解得 （舍）或 ，故
15. （12 分）
圆的标准方程、直线与圆的弦长公式
解析：求圆 C 的标准方程：
(1) 设 圆 心 （ 在 直 线 上 ） ， 由 得
。
解得 ，圆心 ，半径 ，圆方程为 。
(2)求实数k的值：弦长 ，圆心到直线距离 。
直线 ， ，解得 。
16. 抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系
解析：求抛物线方程与焦点：
(1)焦点到准线距离 ，方程 ，焦点 。(2)求 的面积（假设P为抛物线顶点 ：
直线l： ，代入抛物线得 。
弦长 。
点P到直线距离 ，面积
17. 17．(1)证明见解析(2)
（1）先证 平面 ，再证 平面 ，即可证 ；
（2）由 可求；
【详解】（1）证明：因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
因为四边形 为正方形，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
在 中，因为 ， 是 的中点，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
（2）连接 交 于点 ，如图所示：
则 ，又因为 底面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，则点 到平面 的距离为 ，因为 是 的中点，所以 ，
因为底面正方形 边长为 ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
，所以 ．
在 中 ，满足 ，有 ，
所以 ，
设点 到平面 的距离为 ，
由 可得
18. (1)椭圆 的标准方程为
(2)（ ）证明见解析；（ ） 面积的最大值为
【详解】（1）根据题意作图如下：
由题意得 ，所以 ，
因为 ，所以椭圆 的标准方程为 .
（2）（ ）证明：法一：由（1）可知 ，
设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，设 ，
则直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 ，化简得 ，因为 ，所以 ，即 ，
联立 ，化简得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
则 ，
所以直线 的方程为 ，整理得 ，
所以直线 过定点 ，即右焦点 .
法二：设 ，又由（1）知 ，
所以 ，
则有 ，
又 ，则 ，代入上式可得 .
又因为 ，所以 .
设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，所以 ，且
所以 ，
由 ，
化简得 且 ，
即 ，解得 或 （舍），
所以直线 过定点 ，即右焦点 ；
19．(1)答案见解析
(2)① 证明见解析；②存在；
【详解】（1）设点 ，由题意可知 ，
即 ，
经化简，得 的方程为 ，
当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆；
当 时，曲线 是焦点在 轴上的双曲线．
（2）设点 ，其中 且 ，
（ⅰ）由（1）可知 的方程为 ，
因为 ，所以 ，因此， 三点共线，且 ，
（法一）设直线 的方程为 ，联立 的方程，得 ，
则 ，
由（1）可知 ，
所以
，
所以 为定值1；
（法二）设 ，则有 ，解得 ，
同理由 ，解得 ，
所以 ，
所以 为定值1；
由椭圆定义 ，得 ，
，解得 ，同理可得 ，
所以
．
因为 ，所以 的周长为定值 ．
（ⅱ）当 时，曲线 的方程为 ，轨迹为双曲线，
根据（ⅰ）的证明，同理可得 三点共线，且 ，
（法一）设直线 的方程为 ，联立 的方程，
得 ，
，（*）
因为 ，
所以，
将（*）代入上式，化简得 ，
（法二）设 ，依条件有 ，解得 ，
同理由 ，解得 ，
所以 ．
由双曲线的定义 ，得 ，
根据 ，解得 ，
同理根据 ，解得 ，
所以
，由内切圆性质可知， ，
当 时， （常数）．
因此，存在常数 使得 恒成立，且 ．
