文档内容
高2024届学业质量调研抽测（第二次）
数学试卷
本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。（ ）
1.设集合 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 ，则复数 在复平面内的对应点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设 为正项等比数列 的前 项和，已知 ， ，则 的值为（ ）
A.20 B.512 C.1024 D.2048
4.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺在山西夏县的新石器时代遗址中发现.如图，是
一个陀螺的立体结构图（上端是圆柱，下端是圆锥），已知底面圆的直径 ，圆柱体部分的高
，圆锥体部分的高 ，则这个陀螺的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5.过抛物线 焦点 的直线交该抛物线于点 ， ，已知点 在第一象限，过 作该抛物线准
线的垂线，垂足为 ，若直线 的倾斜角为 ，则 的长度为（ ）
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司A. B. C. D.
6.有一组样本数据 ， ， ， ， ，添加一个数 形成一组新的数据，且
，则新的样本数据的第25百分位数不变的概率为（ ）
A. B. C. D.
7.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，
， .则 的值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 的定义域是 ，对任意的 ， ， ，都有
，若函数 的图象关于点 成中心对称，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数 的图象关于直线 对称，则下列说法正确的是（
）
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司A.
B. 为偶函数
C. 在 上单调递增
D.若 ，则 的最小值为
11.已知 ， 是双曲线 的左、右焦点，且 ，点 是双曲线上位于第
一象限内的动点， 的平分线交 轴于点 ，过点 作 垂直于 于点 .则下列说法正确的
是（ ）
A.若点 到双曲线的渐近线的距离为 ，则双曲线的离心率为2
B.当 时， 面积为
C.当 时，点 的坐标为
D.若 ，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， 是直线 上任意一点，则
______.
13.有4人到甲、乙、丙三所学校去应聘，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所
有不同的录用情况种数为______.（用数字作答）
14.若函数 在定义域内存在 使得 ，则称 为“ 函数”， 为该函
数的一个“ 点”.设 ，若 是 的一个“ 点”，则实数 的值为
______；若 为“ 函数”，则实数 的取值范围是______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司15.（本小题满分13分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形， ，过棱 的中点
作 于点 ，连接 .
（I）证明： ；
（II）若 ，求平面 与平面 所成角的正弦值.
16.（本小题满分15分）
已知函数 .
（I）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（II）设函数 的极大值为 ，求证： .
17.（本小题满分15分）
某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖
金分别为200元、400元、600元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应
奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束.选手
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司甲参加该闯关游戏，已知选手甲第一、二、三关闯关成功的概率分别为 ， ， ，每一关闯关成功选择
继续闯关的概率均为 ，且每关闯关成功与否互不影响.
（I）求选手甲第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
（II）设选手甲所得总奖金为 ，求 的分布列及其数学期望.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，两焦点 ， 与短轴的一个顶点构成
等边三角形，点 在椭圆 上.
（I）求椭圆 的标准方程；
（II）过点 且斜率不为0的直线 与椭圆 交于 ， 两点，与直线 交于点 .
①设 内切圆的圆心为 ，求 的最大值；
②设 ， ，证明： 为定值.
19.（本小题满分17分）
高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函
数”定义为：对于任意实数 ，记 表示不超过 的最大整数，则 称为“高斯函数”.例如：
， .
（I）设 ， ，求证： 是 的一个周期，且 恒成立；
（II）已知数列 的通项公式为 ，设
.
①求证： ；
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司②求 的值.
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