文档内容
焦作市博爱一中 2023—2024 学年（上）高三年级期中考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知函数 ，若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. ( ，1] B. [ ， ] C. ( ，+∞) D. [1，2]
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数 ，f(x)在R上是增函数，则每一段都为增函数，且 左侧的
函数值不大于右侧的函数值求解.
【详解】因为函数 ，f(x)在R上是增函数，
所以 ，
解得 ，
故选：B
2. 已知 ， ， ，则 的大小关系为
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用 等中间值区分各个数值的大小．
【详解】 ，
，
，故 ，
所以 ．
故选A．
【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．
3. 已知函数 在区间 单调递增，直线 和 为函数 的图象的
两条对称轴，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由单调性及对称性得出函数的最小正周期，从而求得 ，然后求得 ，最后计算 即可．
【详解】由已知，最小正周期为 ， ，
， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
故选：B．
4. 赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形
（如图）．已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为 ，且 ，则大正方形的面积为
（ ）
A. 4 B. 5 C. 16 D. 25
【答案】D
【解析】
【分析】根据正切函数二倍角公式求得 ，根据赵爽弦图直角三角的边角关系得两直角边长，即可得
大正方形的边长，可求得面积.
【详解】因为 ，所以
由题意小正方形的面积为1，则小正方形的边长为1，设直角三角形较短的直角边为 ，则较长的直角边长
为 ,
所以 ，解得 ，所以大正方形的边长为 ，
故大正方形的面积为 .
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学科网（北京）股份有限公司.
故选：D
5. 若直线 ： 经过第四象限，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以直线的斜率为标准，对参数 分类讨论，解出即可.
【详解】若 ，则 的方程为 ，不经过第四象限．
若 ，则 的方程为 ，经过第四象限．
若 且 ，将 的方程转化为 ，
因为 经过第四象限，所以 或
解得 或 或 ．
综上知， 的取值范围为 ，
故选：
6. 如图，在直三棱柱 中， ， ，直线 与平面 所成角的
正弦值为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，由直线 与平面 所成的角的正弦值得 ，计算
得异面直线 与 所成角的余弦值．
【详解】取 的中点 ，连接 ，则 ，以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 ，
轴，过点 且平行于 的直线为 轴建立空间直角坐标系．
设 ，则 ，易知 平面 ，则直线 与平面 所成的角为 ，
所以 ，解得 ，则 ， ．
则 ， ， ， ，
所以 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：D．
7. 设数列 是以 为公差的等差数列， 是其前 项和， ，且 ，则下列结论正确的是（
）
A. B. C. D. 的最大值为 或
【答案】D
【解析】
【分析】AB选项，先根据题目条件得到 ，从而 ， ，AB错误；C选项，
由 得到C错误；D选项，得到当 时， ， ，当 时， ，
故D正确.
【详解】AB选项，因为 ，所以 ，
因为数列 是以 为公差的等差数列，所以 ，
故 ，解得 ，
又 ，所以 ， ，AB错误；
C选项， ，故C错误；
D选项，由于 ， ， ，故当 时， ，
当 时， ，故 的最大值为 或 ，D正确.
故选：D
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学科网（北京）股份有限公司8. 若曲线 在 处的切线的斜率为3，则该切线在 轴上的截距为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，由 ，得 或 （舍去）.
当 时， ，
所以该切线的方程为 ，令 ，
所以该切线在 轴上的截距为 .
故选：A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
【答案】AC
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】根据函数的定义,只需对应关系和定义域一致,即可判断为同一个函数.
【详解】关于选项A,因为对应关系和定义域一致,所以A是同一个函数;
关于选项B,因为 的定义域为 , 定义域为 R,定义域不一致,
所以B不是同一个函数;
关于选项C,因为对应关系和定义域一致,所以C是同一个函数;
关于选项D,因为 的定义域为 ,可得 ,
定义域为 ,
定义域不一致,所以D不是同一个函数.
故选:AC
10. 若 ， ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据对数运算求得正确答案.
【详解】依题意 ，
由 ，得 ，
所以 ，且 ，
即 ， ．
故选：AB
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学科网（北京）股份有限公司11. 已知函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在 上单调递减
C.
D. 的定义域为
【答案】AC
【解析】
【分析】考查正切函数 的图像与性质易得AC正确.
【详解】解：因为 ，
对于A： 的最小正周期为 ，故A正确；
对于B：当 时， ，因为 在 上单调递增，
故 在 上单调递增，故B错误；
对于C：因为 的最小正周期为 ，所以 ，故C正确；
对 于 D ： 令 ， ， 解 得 ， ， 所 以 的 定 义 域 为
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学科网（北京）股份有限公司，故D错误．
故选：AC．
12. 已知复数 ， ， ， 为坐标原点， ， ，
对应的向量分别为 ， ， ，则以下结论正确的有（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则 与 的夹角为
D. 若 ，则 为正三角形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式计算即可判断 A；根据复数的除法运算即可判断B；
根据向量的数量积的运算律求出 与 的夹角的余弦值即可判断C；结合C选项即可判断D.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，则 ，
对于A， ，
故
，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ，故B正确；
对于C，设 与 的夹角为 ，
若 ，则 ，
即 ，
即 ，所以 ，
所以 ，即 与 的夹角为 ，故C错误；
对于D，若 ，则 ，
则 ，
即 ，由C选项可知 与 的夹角为 ，
同理 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，
又 ，
所以 ，故D正确.
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学科网（北京）股份有限公司故选：ABD.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. 设样本数据 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，若数据 ， ， ，
的平均数比方差大4，则 的最大值是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平均数和方差 的性质，以及二次函数的性质即可解出．
【详解】数据 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，
所以， ，即 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
因函数 在 上单调递减，
故当 时， 的最大值是 ．
故答案为： ．
14. 某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱
体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为 ，则“切
面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为__________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为 ，设圆的半径为 ， ， ，
，由离心率求得 ，从而可得 的余弦值，得角的大小．
【详解】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为 ，设圆的半径为 ，
则 , , ,
由题意得 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 .
即“切面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
15. 是空间的一个基底，向量 ， 是空间的另一个基底，向量
，则 __________.
【答案】3
【解析】
【分析】将 转化成以 为基底的向量，与 联立，即可
求出 的值.
【详解】 ，且
.
故答案为：3
16. 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最小值为
______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据等比数列的性质可得 ，由此可求得 ， ，从而表示出 ，再根据基本不
等式求解即可．
【详解】解：∵ ，且 ，
∴ ，
∴公比 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ， ，
∴ ，
当且仅当 ， 即 时等号成立，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查等比数列的性质和等比数列的前项和，考查基本不等式的应用，考查计算能力，属
于中档题．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在锐角 ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量 ， ，且 .
△
（1）求证：
（2）求 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理，正弦定理，解三角方程即可证明；
（2）根据正弦定理将边转化为角，构建关于角 的函数，再利用换元法及对勾函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
因为 ， ，且 ，
所以 ，
又由余弦定理， ，得 ，
所以 ，即 ，
由正弦定理可得， ，
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学科网（北京）股份有限公司在 ABC中， ，代入上式，
△
得， ，
即 ，又因为 是锐角，
所以 ，即 .
【小问2详解】
由 和正弦定理可得，
，
因为△ABC是锐角三角形，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，令 ，
则 ，
因为对勾函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 的取值范围是 .
18. 某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元，其销售宗旨是当天进货当天
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学科网（北京）股份有限公司销售，若当天未销售完，未售出的全部降价以每千克10元处理完．据以往销售情况，按
进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
的
（1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量 平均数 （同组数据用区间中点值代表）；
（2）该经销商某天购进了250千克蔬果，假设当天的日需求量为 千克（ ），利润为 元．
①求 关于 的函数表达式；
②根据频率分布直方图估计利润 不小于1750元的概率．
【答案】（1）265千克；（2）① ；②0.7.
【解析】
【分析】
(1) 用频率分布直方图中每一个矩形的面积乘以矩形的底边中点横坐标的和即为平均值；
(2) ①根据日需求量与进货量250千克的关系，分类讨论即可求出；
②由 解出日需求量 的取值范围，再根据频率分布直方图求出对应的面积即可．
【详解】(1)
50×0.001×100+150×0.002×100+250×0.003×100+350×0.0025×100+450×0.0015×100=265
故该蔬果日需求量的平均数为265千克．
(2)
① 当日需求量低于250千克时，利润 = （元）；
当日需求量不低于250千克时，利润 （元），
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学科网（北京）股份有限公司所以 ．
② 由 ，解得 ．
所以 = = + + =0.7
的
故根据频率分布直方图估计利润 不小于1750元 概率为0.7
【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计样本的平均数，以及分段函数的求法应用，属于基础题．
结论点睛：在频率分布直方图中，众数等于最高矩形底边中点横坐标，中位数是把频率分布直方图分成左
右两边面积相等的分界对应的数值，平均数等于频率分布直方图中每一个矩形的面积乘以矩形的底边中点
横坐标的和．
19. 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， ， 分别
是 ， 的中点， 是 上一点．
（1）证明： 平面 ．
（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，根据线面平行判定定理证明 即可得结论；
（2）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示的空间直角坐标
系，根据空间向量坐标运算求平面 与平面 的法向量，在根据向量夹角余弦公式即可得所求.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司证明：取 的中点 ，连接 ， ．
因为 是 的中点，所以 ， ．
又底面 为正方形， 是 的中点，所以 ， ，所以四边形 为平行四边
形，所以
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面
【小问2详解】
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示 的空间直角坐标系，
令 ，则 ， ， ， ．
设 ，得 ，
则 ， ．
因为 ，所以 ，解得 ，
从而 ， ， ．
设平面 的法向量为 ，则
令 ，得
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学科网（北京）股份有限公司设平面 的法向量为 ，则
令 ，得
故平面 与平面 的夹角的余弦值为
20. 某外语学校的一个社团有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选
派3人到法国的学校交流访问.求：
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）求在选派的3人中既会法语又会英语的人数 的分布列.
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求
得结果；
（2）确定 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列.
【详解】（1） 名同学中，会法语的人数为 人，
从 人中选派 人，共有 种选法；其中恰有 人会法语共有 种选法；
选派的 人中恰有 人会法语的概率 .
（2）由题意可知： 所有可能的取值为 ，
； ；
； ；
的分布列为：
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、超几何分布的分布列的求解问题；关键是能够利用组合的知
识计算出基本事件个数和超几何分布中随机变量每个取值对应的概率，属于基础题型.
21. 已知函数
（1）判断 的单调性；
（2）若函数 存在极值，求这些极值的和的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）求出导函数 ， ，对 （ ），用判别式
进行分类讨论，以确定 的零点与符号，从而确定 的单调区间；
（2）题意说明 在 上有解，且在解的两侧符号相反.
【详解】（1）因为 ，所以 ，令 ．
，即 时， 恒成立，此时 ，
所以函数 在 上为减函数； ，即 或 时，
有不相等的两根，
设为 （ ），则 ， ．
当 或 时， ，
此时 ，所以函数 在 和 上为减函数；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，此时 ，所以函数 在 上为增函数．
（2）对函数 求导得 . 因为 存在极值，
所以 在 上有解，即方程 在 上有解，
即 .显然当 时， 无极值，不合题意，
所以方程 必有两个不等正根.
设方程 的两个不等正根分别为 ，则 ，
由题意知
，
由 得 ，
即这些极值的和的取值范围为 ．
【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性与极值．掌握用导数研究函数的方法是解题基础.，特别要注意
不是 为极值点的充分条件（即使在可导情况下），还必须满足 在 的两侧符号相反.
22. 已知 ，复数 在复平面上对应的点分别为 为坐标原
点.
（1）求 的取值范围；
（2）当 三点共线时，求三角形 的面积.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）易得 ，再由 ，利用基本不等式求解；
（2）根据 三点共线，由 得到 ，再利用数量积求得夹角 ，利用三角形的
面积公式求解.
【小问1详解】
解：因为 ，
所以 ，
当且仅当 时取得等号，
所以 ；
【小问2详解】
因为 ，
且 三点共线时，有 ，
即 ，
解得
此时 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 .
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学科网（北京）股份有限公司
