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焦作市博爱一中 2023—2024 学年（上）高三年级期中考试
数学
考生注意：
1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 已知函数 ，若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. ( ，1] B. [ ， ] C. ( ，+∞) D. [1，2]
2. 已知 ， ， ，则 的大小关系为
A. B.
C. D.
3. 已知函数 在区间 单调递增，直线 和 为函数 的图象的
两条对称轴，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形
（如图）．已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为 ，且 ，则大正方形的面积为
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 4 B. 5 C. 16 D. 25
5. 若直线 ： 经过第四象限，则 的取值范围为（ ）
A. B.
.
C D.
6. 如图，在直三棱柱 中， ， ，直线 与平面 所成角的
正弦值为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设数列 是以 为公差的等差数列， 是其前 项和， ，且 ，则下列结论正确的是（
）
A. B. C. D. 的最大值为 或
8. 若曲线 在 处的切线的斜率为3，则该切线在 轴上的截距为（ ）
A. B. 2 C. D.
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学科网（北京）股份有限公司二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 下列各组函数中是同一个函数的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10. 若 ， ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数 ，则下列说法正确 的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在 上单调递减
C.
D. 的定义域为
12. 已知复数 ， ， ， 为坐标原点， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司对应的向量分别为 ， ， ，则以下结论正确的有（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 若 ，则 与 的夹角为
D. 若 ，则 为正三角形
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. 设样本数据 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，若数据 ， ， ，
的平均数比方差大4，则 的最大值是_____________．
14. 某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱
体），发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆（如图所示）．若该同学所画的椭圆的离心率为 ，则“切
面”所在平面与底面所成锐二面角的大小为__________．
15. 是空间的一个基底，向量 ， 是空间的另一个基底，向量
，则 __________.
16. 各项均为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的最小值为
______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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学科网（北京）股份有限公司17. 在锐角 ABC中，角A，B，C对边分别 为a，b，c，设向量 ， ，且 .
△
（1）求证：
（2）求 的取值范围.
18. 某蔬果经销商销售某种蔬果，售价为每千克25元，成本为每千克15元，其销售宗旨是当天进货当天
销售，若当天未销售完，未售出的全部降价以每千克10元处理完．据以往销售情况，按
进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．
的
（1）根据频率分布直方图求该蔬果日需求量 平均数 （同组数据用区间中点值代表）；
（2）该经销商某天购进了250千克蔬果，假设当天的日需求量为 千克（ ），利润为 元．
①求 关于 的函数表达式；
②根据频率分布直方图估计利润 不小于1750元的概率．
19. 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为正方形， ， ， 分别
的
是 ， 中点， 是 上一点．
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学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 ．
（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
20. 某外语学校的一个社团有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选
派3人到法国的学校交流访问.求：
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）求在选派的3人中既会法语又会英语的人数 的分布列.
21. 已知函数
（1）判断 的单调性；
（2）若函数 存在极值，求这些极值的和的取值范围.
22. 已知 ，复数 在复平面上对应的点分别为 为坐标原
点.
（1）求 的取值范围；
（2）当 三点共线时，求三角形 的面积.
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