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焦作市博爱一中 2023—2024 学年高三年级（上）定位考试
数 学
考生注意：
1.开考前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和
答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑。如需要改动，用橡皮檫干净后，再涂选其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在试卷上无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则能使 成立的实数a的
取值的集合是( ).
A. B. C. D.
2. 已知 ， ， ，若不等式 恒成立，则m的最大值为
( )
A.1 B.2 C.3 D.7
3. 对于问题“求证方程 只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程
化为 ，设 ，因为 在R上单调递减，
且 ，所以原方程只有一个解 ”.类比上述解题思路，则不等式
的解集是( )
A. B.
C. D.
4. 若复数z所对应的点在第四象限，且满足z2 2z20，则z2 ( )
A.1i B.1i C. D.
5. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四
棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上
学科网（北京）股份有限公司的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
6. 已知四面体 的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C
的四等分点，则 等于( )
A. B. C. D.
7. 已知O为坐标原点，设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，P为双曲线
上任一点，过点 作 的平分线的垂线，垂足为H，则 ( )
A.1 B.2 C.4 D.
8. 若对任意正实数x，y都有 ，则实数m的取值范围为(
)
A. B. C.
(,0)[1,)
D.
(,0)[e,)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有
多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知集合 有且仅有两个子集，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若不等式 的解集为 ，则
D.若不等式 的解集为 ，且 ，则
10. 已知 ， ，若圆 上存在点M满足
，则实数a可以是( )
A.-1 B. C.0 D.1
11. 已知直线 ， ， 不能围成三角形，则
实数a的取值可能为( )
学科网（北京）股份有限公司A.1 B. C.-2 D.-1
12. 若定义在R上的函数 ，对任意两个不相等的实数 ， ，都有
，则称函数 为“H函数”，下列函数是“H函数”的有(
).
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知 ， 则 ________.
14. 正四棱柱 中， 与平面 所成角的正弦值为 ，则异面
直线 与 所成角的余弦值为___________.
15. 已知函数 ， ，如果对任意的 ， ，都有
成立，则实数a的取值范围是______.
16. 某市教育局人事部门打算将甲､乙､丙､丁､戊这5名应届大学毕业生安排到该市4
所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，每名学生只去一所学校，则不同的安排
方法种数是__________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数 ，且 ， .
（1）求 的解析式；
（2）判断 在 上的单调性，并用定义证明.
学科网（北京）股份有限公司18. （12分）已知 ， ， 是同一平面内的三个向量，其中 .
（1）若 ，且 ，求 的坐标；
（2）若 ， 与 的夹角为锐角，求实数 的取值范围.
19. （12分）如图，在三棱锥 中， ，D是BC的中点， 平面
ABC，垂足O落在线段AD上，已知 ， ， ， .
（1）求证： .
（2）若点M是线段AP上一点，且 ，试证明平面 平面BMC.
A(0,3) l: y 2x4
20.（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点 ，直线 .设圆C的
半径为1，圆心在l上.
学科网（北京）股份有限公司（1）若圆心C也在直线 上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
|MA|2|MO|
（2）若圆C上存在点M，使 ，求圆心C的横坐标a的取值范围.
21.（12分）某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直
路AB，余下的外围是抛物线的一段，AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴，O是AB的中
点.拟在这块地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物
线上.经测量，直路AB段长为60米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米.以O为
坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系 .
（1）求该段抛物线的方程；
（2）当CD长为多少米时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？
学科网（北京）股份有限公司22.（12分）已知椭圆C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过 ，
两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在直线l，使得直线l与圆 相切，与椭圆C交于A，B两点，且
满足 (O为坐标原点)?若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理
由.
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