文档内容
专题 20 数列的通项公式及数列求和大题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 等差数
1.掌握数列的有关概念和表示方
2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国
列的通项公式
法，能利用与的关系以及递推关
新Ⅱ卷、2019·全国卷、2018·全国卷、2016·全
及前n项和
系求数列的通项公式，理解数列
国卷
（10年5考） 是一种特殊的函数,能利用数列的
考点2 等比数 周期性、单调性解决简单的问题
列的通项公式 2020·全国卷、2019·全国卷 该内容是新高考卷的必考内容，
及前n项和 2018·全国卷、2017·全国卷 常考查利用与关系求通项或项及
（10年4考） 通项公式构造的相关应用，需综
考点3 等差等 2022·全国新Ⅱ卷、2020·全国卷、2019·北京卷 合复习
比综合 2017·北京卷、2017·全国卷、2016·北京卷
（10年6考） 2015·天津卷
2.理解等差数列的概念，掌握等差
数列的通项公式与前n项和公式，
2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2023·全国甲
能在具体的问题情境中识别数列
卷
的等差关系并能用等差数列的有
2022·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·天津
关知识解决相应的问题，熟练掌
考点4 数列通 卷
握等差数列通项公式与前n项和的
项公式的构造 2021·浙江卷、2021·全国乙卷、2021·全国卷
性质，该内容是新高考卷的必考
（10年9考） 2020·全国卷、2019·全国卷、2018·全国卷
内容，一般给出数列为等差数
2016·山东卷、2016·天津卷、2016·天津卷
列，或通过构造为等差数列，求
2016·全国卷、2016·全国卷、2016·全国卷
通项公式及前n项和，需综合复习
2015·重庆卷、2015·全国卷
2024·天津卷、2024·全国甲卷、2024·全国甲卷
3.掌握等比数列的通项公式与前n
2023·全国甲卷、2023·全国新Ⅱ卷、2022·天津
项和公式，能在具体的问题情境
考点5 数列求 卷
中识别数列的等比关系并能用等
和 2020·天津卷、2020·全国卷、2020·全国卷
比数列的有关知识解决相应的问
（10年10 2019·天津卷、2019·天津卷、2018·天津卷
题，熟练掌握等比数列通项公式
考） 2017·天津卷、2017·山东卷、2016·浙江卷
与前n项和的性质，该内容是新高
2016·山东卷、2016·天津卷、2016·北京卷
考卷的必考内容，一般给出数列
2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·天津卷
为等比数列，或通过构造为等比2015·天津卷、2015·山东卷、2015·山东卷
2015·湖北卷、2015·安徽卷
2023·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2021·浙
考点6 数列中 江卷
的不等式、最 2021·全国乙卷、2020·浙江卷、2019·浙江卷
值及范围问题 2017·北京卷、2016·浙江卷、2016·天津卷
（10年几考） 2015·重庆卷、2015·浙江卷、2015·四川卷 数列，求通项公式及前n项和。需
2015·上海卷、2015·安徽卷 综合复习
考点7 数列与 2024·上海卷、2024·全国新Ⅱ卷、2023·全国新
其他知识点的 Ⅰ卷、2019·全国卷、2017·浙江卷、2015·陕西 4.熟练掌握裂项相消求和和、错位
关联问题 卷 相减求和、分组及并项求和，该
（10年5考） 2015·湖南卷 内容是新高考卷的常考内容，常
考结合不等式、最值及范围考
考点01 等差数列的通项公式及前n项和
1．（2023·全国乙卷·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列式求解 ，进而可得结果；
（2）先求 ，讨论 的符号去绝对值，结合 运算求解.
【详解】（1）设等差数列的公差为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
（2）因为 ，
令 ，解得 ，且 ，当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；
综上所述： .
2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记 分别为数
列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可；
（2）由 为等差数列得出 或 ，再由等差数列的性质可得 ，分类讨论即可得解.
【详解】（1） ， ，解得 ，
，
又 ，
，
即 ，解得 或 （舍去），
.
（2） 为等差数列，
，即 ，
，即 ，解得 或 ，
， ，又 ，由等差数列性质知， ，即 ，
，即 ，解得 或 （舍去）
当 时， ，解得 ，与 矛盾，无解；
当 时， ，解得 .
综上， .
3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）记 是公差不为0的等差数列 的前n项和，若 ．
（1）求数列 的通项公式 ；
（2）求使 成立的n的最小值．
【答案】(1) ；(2)7.
【分析】(1)由题意首先求得 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得： ，则： ，
设等差数列的公差为 ，从而有： ，
，
从而： ，由于公差不为零，故： ，
数列的通项公式为： .
(2)由数列的通项公式可得： ，则： ，
则不等式 即： ，整理可得： ，
解得： 或 ，又 为正整数，故 的最小值为 .
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
4．（2019·全国·高考真题）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S=－a．
9 5
（1）若a=4，求{an}的通项公式；
3
（2）若a>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
1
【答案】（1） ；
（2） .【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于 和 的方程组，求得 和 的
值，利用等差数列的通项公式求得结果；
（2）根据题意有 ，根据 ，可知 ，根据 ，得到关于 的不等式，从而求得结果.
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
根据题意有 ，
解答 ，所以 ，
所以等差数列 的通项公式为 ；
（2）由条件 ，得 ，即 ，
因为 ，所以 ，并且有 ，所以有 ，
由 得 ，整理得 ，
因为 ，所以有 ，即 ，
解得 ，
所以 的取值范围是：
【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，
在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
5．（2018·全国·高考真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ．
（1）求 的通项公式；
（2）求 ，并求 的最小值．
【答案】（1） ；（2） ，最小值为–16．
【分析】（1）方法一：根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式即得结果；
（2）方法二：根据等差数列前n项和公式得 ，根据二次函数的性质即可求出.
【详解】（1）[方法一]：【通性通法】【最优解】 公式法
设等差数列 的公差为 ，由 得， ，解得： ，所以 ．
[方法二]：函数+待定系数法
设等差数列 通项公式为 ，易得 ，由 ，即 ，即 ，解得：
，所以 ．
（2）[方法1]：邻项变号法由 可得 ．当 ，即 ，解得 ，所以 的最小值为
，
所以 的最小值为 ．
[方法2]：函数法
由题意知 ，即 ，
所以 的最小值为 ，所以 的最小值为 ．
【整体点评】（1）方法一：直接根据基本量的计算，利用等差数列前n项和公式求出公差，即可得到通项
公式，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：根据等差数列的通项公式的函数形式特征，以及等差数列前n项和的性质，用待定系数法解方程
组求解；
（2）方法一：利用等差数列前n项和公式求 ，再利用邻项变号法求最值；
方法二：利用等差数列前n项和公式求 ，再根据二次函数性质求最值．
6．（2016·全国·高考真题）等差数列{ }中， .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ） 设 ，求数列 的前10项和，其中 表示不超过 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）24.
【详解】试题分析：（Ⅰ） 根据等差数列的通项公式及已知条件求 ， ，从而求得 ；（Ⅱ）由
（Ⅰ）求 ，再求数列 的前10项和.
试题解析：（Ⅰ）设数列 的公差为d，由题意有 .
解得 .
所以 的通项公式为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 .
当n=1,2,3时， ；
当n=4,5时， ；
当n=6,7,8时， ；当n=9,10时， .
所以数列 的前10项和为 .
【考点】等差数列的通项公式，数列的求和
【名师点睛】求解本题时常出现以下错误：对“ 表示不超过 的最大整数”理解出错.
考点02 等比数列的通项公式及前n项和
1．（2020·全国·高考真题）设等比数列{an}满足 ， ．
（1）求{an}的通项公式；
（2）记 为数列{log an}的前n项和．若 ，求m．
3
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；
（2）由（1）求出 的通项公式，利用等差数列求和公式求得 ，根据已知列出关于 的等量关系
式，求得结果.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
根据题意，有 ，解得 ，
所以 ；
（2）令 ，
所以 ，
根据 ，可得 ，
整理得 ，因为 ，所以 ，
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，
属于基础题目.
2．（2019·全国·高考真题）已知 是各项均为正数的等比数列， .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)本题首先可以根据数列 是等比数列将 转化为 ， 转化为 ，再然后将其带入中，并根据数列 是各项均为正数以及 即可通过运算得出结果；
(2)本题可以通过数列 的通项公式以及对数的相关性质计算出数列 的通项公式，再通过数列 的
通项公式得知数列 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．
【详解】(1)因为数列 是各项均为正数的等比数列， ， ，
所以令数列 的公比为 ， ， ，
所以 ，解得 (舍去)或 ，
所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列， ．
(2)因为 ，所以 ， ， ，
所以数列 是首项为 、公差为 的等差数列， ．
【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求
和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．
3．（2018·全国·高考真题）等比数列 中， ．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为 的前 项和．若 ，求 ．
【答案】（1） 或 .
（2） .
【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设 的公比为 ，由题设得 ．
由已知得 ，解得 （舍去）， 或 ．
故 或 ．
（2）若 ，则 ．由 得 ，此方程没有正整数解．
若 ，则 ．由 得 ，解得 ．
综上， ．
点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．
4．（2017·全国·高考真题）记S 为等比数列 的前n项和，已知S =2，S =-6.
n 2 3
（1）求 的通项公式；
（2）求Sn，并判断Sn ，Sn，Sn 是否成等差数列
+1 +2 ．
【答案】（1） ；（2）见解析.【详解】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得 ， 即可求解；（2）利用等差
中项证明Sn ，Sn，Sn 成等差数列．
+1 +2
试题解析：（1）设 的公比为 .由题设可得 ，解得 ， .故 的通项
公式为 .
（2）由（1）可得 .
由于 ，
故 ， ， 成等差数列.
考点03 等差等比综合
1．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）设数列 的公差为 ，根据题意列出方程组即可证出；
（2）根据题意化简可得 ，即可解出．
【详解】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以
原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即
，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
2．（2020·全国·高考真题）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；（2）若 ，求数列 的前 项和．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比 的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
，
.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求
解能力，属于基础题.
3．（2019·北京·高考真题）设{an}是等差数列，a=–10，且a+10，a+8，a+6成等比数列．
1 2 3 4
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得 的通项公式；
(Ⅱ)首先求得 的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.
【详解】（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，
因为 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，所以 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ,
所以 ；
当 或者 时， 取到最小值 .【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数
列的有关公式并能灵活运用.
4．（2017·北京·高考真题）已知等差数列 和等比数列 满足a =b =1,a +a =10,b b =a ．
1 1 2 4 2 4 5
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求和： ．
【答案】（1）an=2n−1.（2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由 是等比数列，
知 依然是等比数列，并且公比是 ，再利用等比数列求和公式求解.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.
因为a +a =10，所以2a +4d=10.
2 4 1
解得d=2.
所以an=2n−1.
（Ⅱ）设等比数列的公比为q.
因为b b =a ，所以b qb q3=9.
2 4 5 1 1
解得q2=3.
所以 .
从而 .
【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比
数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于 ， ,
等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列 等比数列的形式；（4）倒序
相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可
得到数列求和.
5．（2017·全国·高考真题）已知等差数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，且 ，
， .
（1）若 ，求 的通项公式；
（2）若 ，求 .
【答案】（1） ；（2）5或 .
【分析】（1）设等差数列 公差为 ，等比数列 公比为 ，由已知条件求出 ，再写出通项公式；（2）由 ，求出 的值，再求出 的值，求出 .
【详解】设等差数列 公差为 ，等比数列 公比为 有 ，即 .
（1）∵ ，结合 得 ，
∴ .
（2）∵ ，解得 或3，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 .
【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式、等差数列的前 项和公式，属于中档题. 等差数
列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 一般可以“知二求三”，
通过列方程组所求问题可以迎刃而解，另外，解等差数列问题要注意应用等差数列的性质
（ ）与前 项和的关系.
6．（2016·北京·高考真题）已知{a }是等差数列，{b }是等比数列，且b =3，b =9，a =b ，a =b ．
n n 2 3 1 1 14 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设c =a +b ，求数列{c }的通项公式．
n n n n
【答案】（1） ；（2）
【详解】试题分析：（1）求出等比数列 的公比，再求出a ，a 的值，根据等差数列的通项公式求解；
1 14
（2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式求数列{c }的前n项和.
n
试题解析：（1）等比数列 的公比 ，
所以 ， ．
设等差数列 的公差为 ．
因为 ， ，
所以 ，即 ．
所以 （ ， ， ， ）．
（2）由（1）知， ， ．
因此 ．
从而数列 的前 项和．
【考点】等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.
【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数
列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和S 可视为数列{S }的通项.
n n
通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想
（如：求最值或基本量）、转化与化归思想（如：求和或应用）、特殊到一般思想（如：求通项公式）、
分类讨论思想（如：等比数列求和， 或 ）等.
7．（2015·天津·高考真题）已知 是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且 ，
， .
(Ⅰ)求 和 的通项公式；
(Ⅱ)设 ， ，求数列 的前 项和.
【答案】（Ⅰ） , ;（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）设出数列 的公比和数列 的公差，由题意列出关于 的方程组，求解
方程组得到 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得 ，然后利
用错位相减法注得数列 的前 项和．
试题解析：（Ⅰ）设 的公比为q, 的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得
解得 ,所以 的通项公式为 , 的通项公式为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有 ,设 的前n项和为 ,则
两式相减得
所以 ．
考点：等差数列与等比数列的综合．
【易错点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数
的情形．（2）在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 和不等
于 两种情况求解．
考点04 数列通项公式的构造
1．（2024·全国甲卷·高考真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求 的通项公式．
（2）利用错位相减法可求 .
【详解】（1）当 时， ，解得 ．
当 时， ，所以 即 ，
而 ，故 ，故 ，
∴数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2） ,
所以
故
所以
，
.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求 .
【详解】（1）因为 ,故 ，
所以 即 故等比数列的公比为 ，
故 ，故 ，故 .
（2）由等比数列求和公式得 ，
所以数列 的前n项和
.
3．（2023·全国甲卷·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．【详解】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，
，即 ， ．
4．（2022·全国甲卷·高考真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【分析】（1）依题意可得 ，根据 ，作差即可得到 ，从而
得证；
（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出 ，即可得到 的通项公式与前 项和，再根据二次函数的
性质计算可得．
【详解】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
5．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的关系得到当 时， ,进而得： ，利用累乘法求得
，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴
6．（2021·天津·高考真题）已知 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 是公比大于0的等比
数列， ．
（I）求 和 的通项公式；（II）记 ，
（i）证明 是等比数列；
（ii）证明
【答案】（I） ， ；（II）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（I）由等差数列的求和公式运算可得 的通项，由等比数列的通项公式运算可得 的通项公
式；
（II）（i）运算可得 ，结合等比数列的定义即可得证；
（ii）放缩得 ，进而可得 ，结合错位相减法即可得证.
【详解】（I）因为 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．
所以 ，所以 ，
所以 ；
设等比数列 的公比为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ；
（II）（i）由题意， ，
所以 ，
所以 ，且 ，
所以数列 是等比数列；
（ii）由题意知， ，
所以 ，
所以 ，
设 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 .
【点睛】关键点点睛：
最后一问考查数列不等式的证明，因为 无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即
可得证.
7．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由 ，结合 与 的关系，分 讨论，得到数列 为等比数列，即
可得出结论；
（2）由 结合 的结论，利用错位相减法求出 ， 对任意 恒成立，分类讨
论分离参数 ，转化为 与关于 的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；（2）由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得
，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 .
【点睛】易错点点睛：（1）已知 求 不要忽略 情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正
负零讨论，如（2）中 恒成立，要对 讨论，还要注意 时，
分离参数不等式要变号.
8．（2021·全国乙卷·高考真题）记 为数列 的前n项和， 为数列 的前n项积，已知 ．
（1）证明：数列 是等差数列;
（2）求 的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2） .【分析】（1）由已知 得 ,且 ，取 ,得 ,由题意得
,消积得到项的递推关系 ,进而证明数列 是等差数列;
（2）由（1）可得 的表达式,由此得到 的表达式,然后利用和与项的关系求得 .
【详解】（1）[方法一]：
由已知 得 ,且 ， ,
取 ,由 得 ,
由于 为数列 的前n项积，
所以 ,
所以 ，
所以 ,
由于
所以 ，即 ,其中
所以数列 是以 为首项，以 为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是 ． ②
由①②得 ． ③
又 ， ④
由③④得 ．
令 ，由 ，得 ．所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法三]：
由 ，得 ，且 ， ， ．
又因为 ，所以 ，所以
．
在 中，当 时， ．
故数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知 ，得 ， ， ， ，猜想数列 是以 为首项， 为公差的等
差数列，且 ．
下面用数学归纳法证明．
当 时显然成立．
假设当 时成立，即 ．
那么当 时， ．
综上，猜想对任意的 都成立．
即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
,
,
当n=1时， ,
当n≥2时, ,显然对于n=1不成立,∴ .
【整体点评】（1）方法一从 得 ，然后利用 的定义，得到数列 的递推关系，进
而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；
方法二先从 的定义，替换相除得到 ，再结合 得到 ，从而证得结论，为最优
解；
方法三由 ，得 ，由 的定义得 ，进而作差证得结论；方法四利用
归纳猜想得到数列 ，然后利用数学归纳法证得结论．
（2）由（1）的结论得到 ，求得 的表达式,然后利用和与项的关系求得 的通项公式；
9．（2021·全国·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数列，
证明： 是等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】先根据 求出数列 的公差 ，进一步写出 的通项，从而求出 的通项公式，
最终得证.
【详解】∵数列 是等差数列，设公差为
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
当 时， ，满足 ，
∴ 的通项公式为 ，
∴
∴ 是等差数列.
【点睛】在利用 求通项公式时一定要讨论 的特殊情况.
10．（2020·全国·高考真题）设数列{an}满足a=3， ．
1（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3
（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） .
【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳
法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得 ， ，由数列 的前三项可猜想数列 是以 为
首项，2为公差的等差数列，即 ．
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
［方法二］：构造法
由题意可得 ， ．由 得 ． ，则
，两式相减得 ．令 ，且 ，所以
，两边同时减去2，得 ，且 ，所以 ，即 ，又
，因此 是首项为3，公差为2的等差数列，所以 ．
［方法三］：累加法
由题意可得 ， ．
由 得 ，即 ， ，……
．以上各式等号两边相加得 ，所
以 ．所以 ．当 时也符合上式．综上所述， ．
［方法四］：构造法
，猜想 ．由于 ，所以可设
，其中 为常数．整理得 ．故
，解得 ．所以 ．又，所以 是各项均为0的常数列，故 ，即 ．
（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以
．
［方法三］：构造法
当 时， ，设 ，即
，则 ，解得 ．
所以 ，即 为常数列，而 ，所
以 ．
故 ．
［方法四］：
因为 ，令 ，则
，
，
所以 ．
故 ．
【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列 的部分项从而归纳得出数列 的通项公式，再根
据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式 ，代换得 ，两式相减得 ，
设 ，从而简化递推式，再根据构造法即可求出 ，从而得出数列 的通项公式；
方法三：由 化简得 ，根据累加法即可求出数列 的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列 的部分项，归纳得出数列 的通项公式，再根据待定系数法将递推式
变形成 ，求出 ，从而可得构造数列为常数列，即得数列 的通项公
式．
（2）
方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；
方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由 时， ，构造得到数列 为常数列，从而求出；
方法四：将通项公式分解成 ，利用分组求和法分别求出数列
的前 项和即可，其中数列 的前 项和借助于函数
的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了
运算．
11．（2019·全国·高考真题）已知数列{an}和{bn}满足a=1，b=0， ，
1 1
.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（1）见解析；（2） ， ．
【分析】(1)可通过题意中的 以及 对两式进行相加和相减即可推导出数
列 是等比数列以及数列 是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列 以及数列 的通项公式，然后利用数列 以及数列
的通项公式即可得出结果．
【详解】(1)由题意可知 ， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列， ，
因为 ，
所以 ，数列 是首项 、公差为 的等差数列， ．(2)由(1)可知， ， ，
所以 ， ．
【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数
列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档
题．
12．（2018·全国·高考真题）已知数列 满足 ， ，设 ．
（1）求 ；
（2）判断数列 是否为等比数列，并说明理由；
（3）求 的通项公式．
【答案】（1） ， ， ；（2） 是首项为 ，公比为 的等比数列．理由见解析；（3）
.
【分析】（1）根据 ，求得 和 ，再利用 ，从而求得 ， ，
；
（2）方法一：利用条件可以得到 ，从而可以得出 ，这样就可以得到数列 是首项为 ，
公比为 的等比数列；
（3）方法一：借助等比数列的通项公式求得 ，从而求得 .
【详解】（1）由条件可得 ，
将 代入得， ，而 ，所以， ．
将 代入得， ，所以， ．
从而 ， ， ；
（2）[方法1]：【通性通法】定义法
由 以及 可知， ， ，
所以， ，又 ，所以 为等比数列．
[方法2]：等比中项法
由 知 ，所以， ．由 知 ，所以 ．
所以 为等比数列．
（3）[方法1]：【最优解】定义法
由（2）知 ，所以 ．
[方法2]：累乘法
因为 ，累乘得： ．
所以 ．
【整体点评】（2）方法一：利用定义证明数列为等比数列，是通性通法；
方法二：利用等差中项法判断数列为等比数列，也是常用方法；
（3）方法一：根据（2）中结论利用等比数列的通项公式求解，是该题的最优解；
方法二：根据递推式特征利用累乘法求通项公式．
13．（2016·山东·高考真题）已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 .求数列 的前n项和 .
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
【详解】试题分析：（1）先由公式 求出数列 的通项公式；进而列方程组求数列 的首
项与公差，得数列 的通项公式；（2）由（1）可得 ，再利用“错位相减法”求数列
的前 项和 .
试题解析：（1）由题意知当 时， ，
当 时， ，所以 ．
设数列 的公差为 ，
由 ，即 ，可解得 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，又 ，得
， ，两式作差，得 所以
．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前 项和.
【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前 项和，
属于难题. “错位相减法”求数列的前 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下
几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注
意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以 .
14．（2016·天津·高考真题）已知 是各项均为正数的等差数列，公差为 ，对任意的 是
和 的等比中项.
（Ⅰ）设 ，求证： 是等差数列；
（Ⅱ）设 ，求证：
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得： ，从而
，因此根据等差数列定义可证： （Ⅱ）
对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简
，再利用裂项相消法求和 ，易得
结论.
试题解析：（I）证明：由题意得 ，有 ，因此
，所以 是等差数列.
（Ⅱ）证明：
所以 .
考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和
15．（2016·天津·高考真题）已知 是等比数列，前n项和为 ，且 .
（Ⅰ）求 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的 是 和 的等差中项，求数列 的前2n项和.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由 ，解得
，分别代入 ，得 ， ；（Ⅱ）先根据等差中项得
，再利用分组求和法求和：
.
试题解析：（Ⅰ）解：设数列 的公比为 ，由已知，有 ，解得 .又由
，知 ，所以 ，得 ，所以 .
（Ⅱ）解：由题意，得 ，即 是首项为
，公差为 的等差数列.
设数列 的前 项和为 ，则
.
【考点】等差数列、等比数列及其前 项和公式
【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：
（1）若a ＝b ±c ，且{b }，{c }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a }的前n项和．
n n n n n n
（2）通项公式为 的数列，其中数列{b }，{c }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法
n n
求和．
16．（2016·全国·高考真题）已知数列 的前n项和 ，其中 ．
（Ⅰ）证明 是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若 ，求 ．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．【详解】试题分析：（Ⅰ）首先利用公式 ，得到数列 的递推公式，即可得到
是等比数列及 的通项公式；（Ⅱ）利用（Ⅰ），用 表示前 项和 ，结合 的值，建立方程可求得
的值．
试题解析：（Ⅰ）由题意得 ，故 ， ， .
由 ， 得 ，即 .由 ， 得 ，
所以 .
因此 是首项为 ，公比为 的等比数列，于是 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 .由 得 ，即 .
解得 .
【考点】数列的通项 与前 项和 的关系，等比数列的定义、通项公式及前 项和.
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 （常数）；（2）中项法，
即证明 ．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求
解．
17．（2016·全国·高考真题）已知各项都为正数的数列 满足 ， .
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求 的通项公式.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） ．
【详解】试题分析：（Ⅰ）将 代入递推公式求得 ，将 的值代入递推公式可求得 ；（Ⅱ）将已
知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列 为等比数列，由此可求得数列 的通项公式．
试题解析：（Ⅰ）由题意，得 .
（Ⅱ）由 得 .
因为 的各项都为正数，所以 .故 是首项为 ，公比为 的等比数列，因此 .
【考点】数列的递推公式、等比数列的通项公式
【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 （常数）；（2）中项法，
即证明 ．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求
解．
18．（2016·全国·高考真题）已知 是公差为3的等差数列，数列 满足
．
（Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 的前n项和．
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)见解析.
【详解】试题分析：（Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求.
试题解析：（Ⅰ）由已知， 得 ，所以数列 是首项为2，公差为3的等差
数列，通项公式为 .
（Ⅱ）由（Ⅰ）和 得 ，因此 是首项为1，公比为 的等比数列.记 的前
项和为 ，则
【考点】等差数列与等比数列
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程
可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题
可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
19．（2015·重庆·高考真题）在数列 中，
（1）若 求数列 的通项公式；
（2）若 证明：
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）由于 ，因此把已知等式具体化得 ，显然由于 ，则（否则会得出 ），从而 ，所以 是等比数列，由其通项公式可得结论；（2）本小
题是数列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是 可变形为
,
由于 ，因此 ，于是可得 ，即有 ，又
，于是有
，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知 ，因此
，这
样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法.（1）由 ,有
若存在某个 ，使得 ，则由上述递推公式易得 ，重复上述过程可得 ，此与
矛盾，所以对任意 , .
从而 ，即 是一个公比 的等比数列.
故 .
（2）由 ，数列 的递推关系式变为
变形为 .
由上式及 ，归纳可得
因为 ，所以对
求和得另一方面，由上已证的不等式知 得
综上：
考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证能力，
考查创新意识．
20．（2015·全国·高考真题） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：
（Ⅱ）求出bn ，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．
【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an 2+2an ＝4Sn +3
+1 +1 +1
两式相减得an 2﹣an2+2（an ﹣an）＝4an ，
+1 +1 +1
即2（an +an）＝an 2﹣an2＝（an +an）（an ﹣an），
+1 +1 +1 +1
∵an＞0，∴an ﹣an＝2，
+1
∵a2+2a＝4a+3，
1 1 1
∴a＝﹣1（舍）或a＝3，
1 1
则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn （ ），∴数列{bn}的前n项和Tn （
） （ ） .【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
考点05 数列求和
1．（2024·天津·高考真题）已知数列 是公比大于0的等比数列．其前 项和为 ．若 ．
(1)求数列 前 项和 ；
(2)设 ， ．
（ⅰ）当 时，求证： ；
（ⅱ）求 ．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②
【分析】（1）设等比数列 的公比为 ，根据题意结合等比数列通项公式求 ，再结合等比数列求
和公式分析求解；
（2）①根据题意分析可知 ， ，利用作差法分析证明；②根据题意结合等
差数列求和公式可得 ，再结合裂项相消法分析求解.
【详解】（1）设等比数列 的公比为 ，
因为 ，即 ，
可得 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
所以 .
（2）（i）由（1）可知 ，且 ，
当 时，则 ，即
可知 ，
，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ；
（ii）由（1）可知： ，
若 ，则 ；
若 ，则 ，
当 时， ，可知 为等差数列，
可得 ，
所以 ，
且 ，符合上式，综上所述： .
【点睛】关键点点睛：1.分析可知当 时， ，可知 为等差数列；
2.根据等差数列求和分析可得 .
2．（2024·全国甲卷·高考真题）记 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求 的通项公式．
（2）利用错位相减法可求 .
【详解】（1）当 时， ，解得 ．
当 时， ，所以 即 ，
而 ，故 ，故 ，
∴数列 是以4为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
（2） ,
所以故
所以
，
.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求 .
【详解】（1）因为 ,故 ，
所以 即 故等比数列的公比为 ，
故 ，故 ，故 .
（2）由等比数列求和公式得 ，
所以数列 的前n项和
.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）设 为数列 的前n项和，已知 ．(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，即 ，
当 时， ，所以 ，
化简得： ，当 时， ，即 ，
当 时都满足上式，所以 ．
（2）因为 ，所以 ，
，
两式相减得，
，
，即 ， ．
5．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作差比较作答；方
法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出 ，并与 作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
6．（2022·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列，且 ．
(1)求 与 的通项公式；
(2)设 的前n项和为 ，求证： ；
(3)求 ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；
（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；
（3）先求得 ，进而由并项求和可得 ，再结合错
位相减法可得解.
【详解】（1）设 公差为d， 公比为 ，则 ，
由 可得 （ 舍去），
所以 ；
（2）证明：因为 所以要证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
而 显然成立，所以 ；
（3）因为
，
所以，
设
所以 ，
则 ，
作差得
，
所以 ，
所以 .
7．（2020·天津·高考真题）已知 为等差数列， 为等比数列，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）记 的前 项和为 ，求证： ；
（Ⅲ）对任意的正整数 ，设 求数列 的前 项和．
【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ） .
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列 前n项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算
和 的值，据此进一步计算数列 的前2n项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为q.
由 ， ，可得d=1.
从而 的通项公式为 .
由 ，又q≠0，可得 ，解得q=2，
从而 的通项公式为 .
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得 ，
故 ， ，
从而 ，
所以 .
(Ⅲ)当n为奇数时， ，
当n为偶数时， ，
对任意的正整数n，有 ，
和 ①
由①得 ②
由①②得 ，
由于 ，
从而得： .
因此， .
所以，数列 的前2n项和为 .
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等
题.
8．（2020·全国·高考真题）设数列{an}满足a=3， ．
1
（1）计算a，a，猜想{an}的通项公式并加以证明；
2 3（2）求数列{2nan}的前n项和Sn．
【答案】（1） ， ， ，证明见解析；（2） .
【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出 ，猜想得出 的通项公式，利用数学归纳
法证明即可；
（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．
【详解】（1）
［方法一］【最优解】：通性通法
由题意可得 ， ，由数列 的前三项可猜想数列 是以 为
首项，2为公差的等差数列，即 ．
证明如下：
当 时， 成立；
假设 时， 成立.
那么 时， 也成立.
则对任意的 ，都有 成立；
［方法二］：构造法
由题意可得 ， ．由 得 ． ，则
，两式相减得 ．令 ，且 ，所以
，两边同时减去2，得 ，且 ，所以 ，即 ，又
，因此 是首项为3，公差为2的等差数列，所以 ．
［方法三］：累加法
由题意可得 ， ．
由 得 ，即 ， ，……
．以上各式等号两边相加得 ，所
以 ．所以 ．当 时也符合上式．综上所述， ．
［方法四］：构造法
，猜想 ．由于 ，所以可设
，其中 为常数．整理得 ．故
，解得 ．所以 ．又
，所以 是各项均为0的常数列，故 ，即 ．（2）由（1）可知，
［方法一］：错位相减法
，①
，②
由① ②得：
，
即 .
［方法二］【最优解】：裂项相消法
，所以
．
［方法三］：构造法
当 时， ，设 ，即
，则 ，解得 ．
所以 ，即 为常数列，而 ，所
以 ．
故 ．
［方法四］：
因为 ，令 ，则
，
，
所以 ．
故 ．
【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列 的部分项从而归纳得出数列 的通项公式，再根
据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；
方法二：根据递推式 ，代换得 ，两式相减得 ，设 ，从而简化递推式，再根据构造法即可求出 ，从而得出数列 的通项公式；
方法三：由 化简得 ，根据累加法即可求出数列 的通项公式；
方法四：通过递推式求出数列 的部分项，归纳得出数列 的通项公式，再根据待定系数法将递推式
变形成 ，求出 ，从而可得构造数列为常数列，即得数列 的通项公
式．
（2）
方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；
方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；
方法三：由 时， ，构造得到数列 为常数列，从而求出；
方法四：将通项公式分解成 ，利用分组求和法分别求出数列
的前 项和即可，其中数列 的前 项和借助于函数
的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了
运算．
9．（2020·全国·高考真题）设 是公比不为1的等比数列， 为 ， 的等差中项．
（1）求 的公比；
（2）若 ，求数列 的前 项和．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比 的方程，求解即可得出结论；
（2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.
【详解】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项，
，
；
（2）设 的前 项和为 ， ，
，①
，②
① ②得，
，.
【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求
解能力，属于基础题.
10．（2019·天津·高考真题） 设 是等差数列， 是等比数列，公比大于 ，已知 ， ，
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 求 .
【答案】（I） ， ；
（II）
【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得 ，进而求
得等差数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的 所满足的条件，将 表示出来，之后应用分组求和法，结合等
差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.
【详解】（I）解：设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
依题意，得 ，解得 ，
故 ， ，
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 ；
（II）
，
记 ①
则 ②
② ①得， ，所以
.
【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前 项和公式等基础知识，考查数列求和的基
本方法和运算求解能力，属于中档题目.
11．（2019·天津·高考真题）设 是等差数列， 是等比数列.已知 .
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 满足 其中 .
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求 .
【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）（i） （ii）
【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行
等价变形，结合等比数列前n项和公式可得 的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .
依题意得 ，解得 ，
故 ， .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
(Ⅱ)(i) .
所以，数列 的通项公式为 .
(ii).
【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想
和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
12．（2018·天津·高考真题）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于
0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b=1，b=b+2，b=a+a，b=a+2a．
1 3 2 4 3 5 5 4 6
（Ⅰ）求Sn和Tn；
（Ⅱ）若Sn+（T+T+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
1 2
【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ)4.
【分析】（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得 ，则 .结合题意可得等差数列
的首项和公差为 ，则其前n项和 .
（II）由（I），知 据此可得 解得 （舍），或 .则n的
值为4.
【详解】（I）设等比数列 的公比为q，由b=1，b=b+2，可得 ．
1 3 2
因为 ，可得 ，故 ．所以， ．
设等差数列 的公差为 ．由 ，可得 ．
由 ，可得 从而 ，故 ，所以， ．
（II）由（I），有
由 ,
可得 ，
整理得 解得 （舍），或 ．所以n的值为4．
点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方
法和运算求解能力.
13．（2017·天津·高考真题）已知 为等差数列，前n项和为 ， 是首项为2的等比数列，
且公比大于0，
.
（Ⅰ）求 和 的通项公式；（Ⅱ）求数列 的前n项和 .
【答案】（Ⅰ） . .（Ⅱ） .
【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程求出等差数列首项 和公差
及等比数列的公比 ，写出等差数列和等比数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算
要准确.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .由已知 ，得
，而 ，所以 .又因为 ，解得 .所以， .
由 ，可得 .由 ，可得 ，联立①②，解得 ，由此可
得 .
所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .
（Ⅱ）解：设数列 的前 项和为 ，由 ，有
，
，
上述两式相减，得
.
得 .
所以，数列 的前 项和为 .
【考点】等差数列、等比数列、数列求和
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进
而写出通项公式及前 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错
位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.
14．（2017·山东·高考真题）已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 .
(I)求数列{an}通项公式；
(II){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和Sn,已知 ,求数列 的前n项和 .
【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ） .
【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求
和.试题解析：（Ⅰ）设 的公比为 ，由题意知： .
又 ，
解得： ，
所以 .
（Ⅱ）由题意知： ，
又
所以 ,
令 ,
则 ，
因此
,
又 ,
两式相减得
所以 .
【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.
【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 和公比q,然后由通项公式或前n项和公式转化
1
为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ,an,q,n,Sn,知其中三个就能求另外两
1
个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两
式“错项对齐”，以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和
不等于1两种情况求解．
15．（2016·浙江·高考真题）设数列{ }的前 项和为 .已知 =4， =2 +1， .
（Ⅰ）求通项公式 ；
（Ⅱ）求数列{| |}的前 项和.
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【详解】试题分析：本题主要考查等差、等比数列的基础知识，同时考查数列基本思想方法，以及推理论证能力.
试题解析：（Ⅰ）由题意得 ，则
又当 时，由 ，
得 .
又 ,
所以，数列 的通项公式为 .
（Ⅱ）设 ， ， .
当 时，由于 ，故 .
设数列 的前 项和为 ，则 .
当 时， ， 满足上式，
所以，
【考点】等差、等比数列的基础知识.
【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列 的求和，其中 是等差数列，
是等比数列；（2）裂项法：形如数列 或 的求和，其中 ， 是
关于 的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．
16．（2016·山东·高考真题）已知数列 的前n项和 ， 是等差数列，且 .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）令 .求数列 的前n项和 .
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）
【详解】试题分析：（1）先由公式 求出数列 的通项公式；进而列方程组求数列 的首
项与公差，得数列 的通项公式；（2）由（1）可得 ，再利用“错位相减法”求数列
的前 项和 .
试题解析：（1）由题意知当 时， ，当 时， ，所以 ．
设数列 的公差为 ，
由 ，即 ，可解得 ，
所以 ．
（2）由（1）知 ，又 ，得
， ，两式作
差，得 所以
．
考点 1、待定系数法求等差数列的通项公式；2、利用“错位相减法”求数列的前 项和.
【易错点晴】本题主要考查待定系数法求等差数列的通项公式、利用“错位相减法”求数列的前 项和，
属于难题. “错位相减法”求数列的前 项和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下
几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注
意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以 .
17．（2016·天津·高考真题）已知 是等比数列，前n项和为 ，且 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若对任意的 是 和 的等差中项，求数列 的前2n项和.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由 ，解得
，分别代入 ，得 ， ；（Ⅱ）先根据等差中项得
，再利用分组求和法求和：
.
试题解析：（Ⅰ）解：设数列 的公比为 ，由已知，有 ，解得 .又由，知 ，所以 ，得 ，所以 .
（Ⅱ）解：由题意，得 ，即 是首项为
，公差为 的等差数列.
设数列 的前 项和为 ，则
.
【考点】等差数列、等比数列及其前 项和公式
【名师点睛】分组转化法求和的常见类型：
（1）若a ＝b ±c ，且{b }，{c }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a }的前n项和．
n n n n n n
（2）通项公式为 的数列，其中数列{b }，{c }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法
n n
求和．
18．（2016·北京·高考真题）已知{a }是等差数列，{b }是等比数列，且b =3，b =9，a =b ，a =b ．
n n 2 3 1 1 14 4
（1）求{a }的通项公式；
n
（2）设c =a +b ，求数列{c }的通项公式．
n n n n
【答案】（1） ；（2）
【详解】试题分析：（1）求出等比数列 的公比，再求出a ，a 的值，根据等差数列的通项公式求解；
1 14
（2）根据等差数列和等比数列的前n项和公式求数列{c }的前n项和.
n
试题解析：（1）等比数列 的公比 ，
所以 ， ．
设等差数列 的公差为 ．
因为 ， ，
所以 ，即 ．
所以 （ ， ， ， ）．
（2）由（1）知， ， ．
因此 ．
从而数列 的前 项和．
【考点】等差、等比数列的通项公式和前n项和公式，考查运算能力.
【名师点睛】1.数列的通项公式及前n项和公式都可以看作项数n的函数，是函数思想在数列中的应用.数
列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n项和S 可视为数列{S }的通项.
n n
通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及的数学思想：函数与方程思想
（如：求最值或基本量）、转化与化归思想（如：求和或应用）、特殊到一般思想（如：求通项公式）、
分类讨论思想（如：等比数列求和， 或 ）等.
19．（2015·浙江·高考真题）已知数列 和 满足，
（1）求 与 ；
（2）记数列 的前 项和为 ，求 .
【答案】（1） ；（2）
【详解】（1）根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新
的数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.
试题解析：（1）由 ，得 .
当 时， ，故 .
当 时， ，整理得 ，
所以 .
（2）由（1）知，
所以
所以
所以 .
考点：1.等差等比数列的通项公式；2.数列的递推关系式；3.错位相减法求和.20．（2015·全国·高考真题） 为数列{ }的前 项和.已知 ＞0， = .
（Ⅰ）求{ }的通项公式；
（Ⅱ）设 ,求数列{ }的前 项和.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：
（Ⅱ）求出bn ，利用裂项法即可求数列{bn}的前n项和．
【详解】解：（I）由an2+2an＝4Sn+3，可知an 2+2an ＝4Sn +3
+1 +1 +1
两式相减得an 2﹣an2+2（an ﹣an）＝4an ，
+1 +1 +1
即2（an +an）＝an 2﹣an2＝（an +an）（an ﹣an），
+1 +1 +1 +1
∵an＞0，∴an ﹣an＝2，
+1
∵a2+2a＝4a+3，
1 1 1
∴a＝﹣1（舍）或a＝3，
1 1
则{an}是首项为3，公差d＝2的等差数列，
∴{an}的通项公式an＝3+2（n﹣1）＝2n+1：（Ⅱ）∵an＝2n+1，
∴bn （ ），∴数列{bn}的前n项和Tn （
） （ ） .
【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
21．（2015·天津·高考真题）已知 是各项均为正数的等比数列， 是等差数列，且 ，
， .
(Ⅰ)求 和 的通项公式；
(Ⅱ)设 ， ，求数列 的前 项和.
【答案】（Ⅰ） , ;（Ⅱ）
【详解】试题分析：（Ⅰ）设出数列 的公比和数列 的公差，由题意列出关于 的方程组，求解
方程组得到 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得 ，然后利
用错位相减法注得数列 的前 项和．
试题解析：（Ⅰ）设 的公比为q, 的公差为d,由题意 ,由已知,有 消去d得解得 ,所以 的通项公式为 , 的通项公式为
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有 ,设 的前n项和为 ,则
两式相减得
所以 ．
考点：等差数列与等比数列的综合．
【易错点睛】用错位相减法求和应注意的问题：（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数
的情形．（2）在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式．（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 和不等
于 两种情况求解．
22．（2015·天津·高考真题）已知数列 满足 ，且
成等差数列.
（Ⅰ）求 的值和 的通项公式；
（Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和.
【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ） .
【详解】（Ⅰ） 由已知，有 ，即 ，
所以 ，又因为 ，故 ，由 ，得 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 的通项公式为
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得 ，设数列 的前 项和为 ，则，
两式相减得
，
整理得
所以数列 的前 项和为 .
考点：等差数列定义、等比数列及前 项和公式、错位相减法求和.
23．（2015·山东·高考真题）已知数列 是首项为正数的等差数列，数列 的前 项和为 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【详解】（Ⅰ）设数列 的公差为 ，
令 得 ，所以 .
令 得 ，所以 .
解得 ，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 所以
所以
两式相减，得
所以
考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.24．（2015·山东·高考真题）设数列 的前n项和为 .已知 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 满足 ，求 的前n项和 .
【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ） .
【分析】（Ⅰ）利用数列前 项和 与通项 的关系求解；
（Ⅱ）结合第（Ⅰ）问的结果，利用关系式 求出数列 的通项公式，并结合其通项的结构
特征，采用错位相减法求其前n项和 .
【详解】（Ⅰ）因为 ，所以， ，故
当 时， 此时， 即
所以，
（Ⅱ）因为 ，所以 ，
当 时，
所以 ，
当 时，
，
所以 ，两式相减，得
所以 ，
经检验， 时也适合，
综上可得： .
【点睛】本题考查数列前 项和 与通项 的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行
数列求和，注意考虑 的情况，属于中档题.
25．（2015·湖北·高考真题）设等差数列 的公差为d，前 项和为 ，等比数列 的公比为 ．已知
， ， ， ．
（1）求数列 ， 的通项公式；（2）当 时，记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)见解析 (2)
【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；
（2）当d＞1时，由（1）知c ，写出Tn、 Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和
n
公式，计算即可．
【详解】解：（1）设a＝a，由题意可得 ，
1
解得 ，或 ，
当 时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；
当 时，an （2n+79），bn＝9• ；
（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，
∴c ，
n
∴Tn＝1+3• 5• 7• 9• （2n﹣1）• ，
∴ Tn＝1• 3• 5• 7• （2n﹣3）• （2n﹣1）• ，
∴ Tn＝2 （2n﹣1）• 3 ，
∴Tn＝6 ．
【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于
中档题．
26．（2015·安徽·高考真题）已知数列 是递增的等比数列，且
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 为数列 的前n项和， ，求数列 的前n项和 ．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）【详解】试题分析：（1）设等比数列 的公比为q，，根据已知由等比数列的性质可得
，联立解方程再由数列 为递增数列可得 则通项公式可得
（2）根据等比数列的求和公式，有 所以 ，裂项求和即可
试题解析：（1）设等比数列 的公比为q，所以有
联立两式可得 或者 又因为数列 为递增数列，所以q>1，所以
数列 的通项公式为
（2）根据等比数列的求和公式，有
所以
所以
考点：等比数列的通项公式和性质，数列求和
考点06 数列中的不等式、最值及范围问题
1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ，
的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，用 表示 及 ，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶结合分组求和法求出 ，并与 作差比较作答；方
法2，利用（1）的结论求出 ， ，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出 ，并与 作差比较作答.
【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
2．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）记 为数列 的前n项和，已知 是公差为 的等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)证明： ．【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得 ，得到 ，利用和与项的
关系得到当 时， ,进而得： ，利用累乘法求得
，检验对于 也成立，得到 的通项公式 ；
（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到 ，进而证得.
【详解】（1）∵ ，∴ ,∴ ,
又∵ 是公差为 的等差数列，
∴ ,∴ ,
∴当 时， ，
∴ ,
整理得： ,
即 ,
∴
，
显然对于 也成立，
∴ 的通项公式 ；
（2）
∴3．（2021·浙江·高考真题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由 ，结合 与 的关系，分 讨论，得到数列 为等比数列，即
可得出结论；
（2）由 结合 的结论，利用错位相减法求出 ， 对任意 恒成立，分类讨
论分离参数 ，转化为 与关于 的函数的范围关系，即可求解.
【详解】（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，
所以 ，
，
两式相减得，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 .
【点睛】易错点点睛：（1）已知 求 不要忽略 情况；（2）恒成立分离参数时，要注意变量的正
负零讨论，如（2）中 恒成立，要对 讨论，还要注意 时，
分离参数不等式要变号.
4．（2021·全国乙卷·高考真题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知 ， ，
成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】（1）利用等差数列的性质及 得到 ，解方程即可；
（2）利用公式法、错位相减法分别求出 ，再作差比较即可.
【详解】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧-⑨得 ．
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法
证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，
所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，
关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式，
这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
5．（2020·浙江·高考真题）已知数列{an}，{bn}，{cn}中， ．
（Ⅰ）若数列{bn}为等比数列，且公比 ，且 ，求q与{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}为等差数列，且公差 ，证明： ．
【答案】（I） ；（II）证明见解析.
【分析】（I）根据 ，求得 ，进而求得数列 的通项公式，利用累加法求得数列 的通项
公式.
（II）利用累乘法求得数列 的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.
【详解】（I）依题意 ，而 ，即 ，由于 ，所以解得 ，所以
.
所以 ，故 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 .
所以 （ ）.
所以 ，又 ， 符合，
故 .
（II）依题意设 ，由于 ，
所以 ，
故
.
又 ，而 ，
故
所以
.由于 ，所以 ，所以 .
即 ， .
【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题.
6．（2019·浙江·高考真题）设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每
成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 证明：
【答案】（1） ， ；（2）证明见解析.
【分析】(1)首先求得数列 的首项和公差确定数列 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必
要条件整理计算即可确定数列 的通项公式；
(2)结合(1)的结果对数列 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题中
的不等式.
【详解】(1)由题意可得： ，解得： ，
则数列 的通项公式为 .
其前n项和 .
则 成等比数列，即：
，
据此有：
，
故 .
(2)结合(1)中的通项公式可得：
，
则 .【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知
识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．（2017·北京·高考真题）已知等差数列 和等比数列 满足a =b =1,a +a =10,b b =a ．
1 1 2 4 2 4 5
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求和： ．
【答案】（1）an=2n−1.（2）
【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为 ，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由 是等比数列，
知 依然是等比数列，并且公比是 ，再利用等比数列求和公式求解.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.
因为a +a =10，所以2a +4d=10.
2 4 1
解得d=2.
所以an=2n−1.
（Ⅱ）设等比数列的公比为q.
因为b b =a ，所以b qb q3=9.
2 4 5 1 1
解得q2=3.
所以 .
从而 .
【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比
数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于 ， ,
等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列 等比数列的形式；（4）倒序
相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可
得到数列求和.
8．（2016·浙江·高考真题）设数列 满足 ， ．
（Ⅰ）证明： ， ；
（Ⅱ）若 ， ，证明： ， ．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用三角形不等式得 ，变形为 ，再用累加法可
得 ，进而可证 ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ，进而可得
，再利用 的任意性可证 ．
试题解析：（Ⅰ）由 得 ，故 ， ，
所以
，
因此 ．
（Ⅱ）任取 ，由（Ⅰ）知，对于任意 ，
，
故 ．
从而对于任意 ，均有 ．
由 的任意性得 ． ①
否则，存在 ，有 ，取正整数 且 ，
则 ，与①式矛盾．
综上，对于任意 ，均有 ．
9．（2016·天津·高考真题）已知 是各项均为正数的等差数列，公差为 ，对任意的 是 和
的等比中项.
（Ⅰ）设 ，求证： 是等差数列；
（Ⅱ）设 ，求证：【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
【详解】试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得： ，从而
，因此根据等差数列定义可证： （Ⅱ）
对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简
，再利用裂项相消法求和 ，易得
结论.
试题解析：（I）证明：由题意得 ，有 ，因此
，所以 是等差数列.
（Ⅱ）证明：
所以 .
考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和
10．（2015·重庆·高考真题）在数列 中，
（1）若 求数列 的通项公式；
（2）若 证明：
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【详解】试题分析：（1）由于 ，因此把已知等式具体化得 ，显然由于 ，则
（否则会得出 ），从而 ，所以 是等比数列，由其通项公式可得结论；（2）本小
题是数列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是 可变形为
,
由于 ，因此 ，于是可得 ，即有 ，又
，于是有，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知 ，因此
，这
样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法.（1）由 ,有
若存在某个 ，使得 ，则由上述递推公式易得 ，重复上述过程可得 ，此与
矛盾，所以对任意 , .
从而 ，即 是一个公比 的等比数列.
故 .
（2）由 ，数列 的递推关系式变为
变形为 .
由上式及 ，归纳可得
因为 ，所以对
求和得
另一方面，由上已证的不等式知 得
综上：考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证能力，
考查创新意识．
11．（2015·浙江·高考真题）已知数列 满足 = 且 = - （ ）.
（1）证明：1 （ ）；
（2）设数列 的前 项和为 ，证明 （ ）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）首先根据递推公式可得 ，再由递推公式变形可知
，从而得证；（2）由 和 ，得 ，从而
可得 ，即可得证.
【详解】（1）由题意得， ，即 ， ，
由 ，
得 ，
由 得， ，
即 ；
（2）由题意得 ，
∴ ①，
由 和 ，得 ，
∴ ，
因此 ②，
由①②得 .
考点：数列与不等式结合综合题.12．（2015·四川·高考真题）设数列 的前 项和 ，且 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 前 项和 ，求使 成立的 的最小值．
【答案】(1) .(2)10.
【详解】试题分析：（1）借助于 将 转化为 ，进而得到数列
为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列 的通项公式 ，可知数列为等比
数列，求得前n项和 ，代入不等式 可求得n的最小值
试题解析：（1）由已知 ，有 ，
即 ．
从而 ．
又因为 成等差数列，即 ．
所以 ，解得 ．
所以，数列 是首项为2，公比为2的等比数列．
故 ．
（2）由（1）得 ．所以 ．
由 ，得 ，即 ．
因为 ，
所以 ．于是，使 成立的n的最小值为10．
考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和
13．（2015·上海·高考真题）已知数列 与 满足 ， .
（1）若 ，且 ，求数列 的通项公式；
（2）设 的第 项是最大项，即 （ ），求证：数列 的第 项是最大项；
（3）设 ， （ ），求 的取值范围，使得 有最大值 与最小值 ，且.
【答案】（1） （2）详见解析（3）
【详解】（1）由 ，得 ，
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
故 的通项公式为 ， .
（2）由 ，得 .
所以 为常数列， ，即 .
因为 ， ，所以 ，即 .
故 的第 项是最大项.
（3）因为 ，所以 ，
当 时，
.
当 时， ，符合上式.
所以 .
因为 ，所以 ， .
①当 时，由指数函数的单调性知， 不存在最大、最小值；
②当 时， 的最大值为 ，最小值为 ，而 ；
③当 时，由指数函数的单调性知， 的最大值 ，最小值 ，由
及 ，得 .
综上， 的取值范围是 .
14．（2015·安徽·高考真题）设 ， 是曲线 在点 处的切线与x轴交点的横坐标.
（Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）记 ，证明 .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【详解】试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线 在点 处的切线斜
率为 .从而可以写出切线方程为 .令 .解得切线与 轴交点的横坐标
.
（Ⅱ）要证 ，需考虑通项 ，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出
，求出初始条件当 时， .当 时，单独考虑 ，并放
缩得 ，所以
，综上可得对任意的 ，均有 .
试题解析：（Ⅰ）解： ，曲线 在点 处的切线斜率为 .
从而切线方程为 .令 ，解得切线与 轴交点的横坐标 .
（Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知
.
当 时， .
当 时，因为 ，
所以 .
综上可得对任意的 ，均有 .
考点：1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.
考点07 数列与其他知识点的关联问题
1．（2024·上海·高考真题）若 ．
(1) 过 ，求 的解集；
(2)存在 使得 成等差数列，求 的取值范围．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出底数 ，再根据对数函数的单调性可求不等式的解；
（2）存在 使得 成等差数列等价于 在 上有解，利用换
元法结合二次函数的性质可求 的取值范围．
【详解】（1）因为 的图象过 ，故 ，故 即 （负的舍去），
而 在 上为增函数，故 ，
故 即 ，
故 的解集为 .
（2）因为存在 使得 成等差数列，
故 有解，故 ，
因为 ，故 ，故 在 上有解，
由 在 上有解，
令 ，而 在 上的值域为 ，
故 即 .
2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，
．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令
为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
(3)证明见解析【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出 的坐标即可；
（2）根据等比数列的定义即可验证结论；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.思路二：使用
等差数列工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.
【详解】（1）
由已知有 ，故 的方程为 .
当 时，过 且斜率为 的直线为 ，与 联立得到 .
解得 或 ，所以该直线与 的不同于 的交点为 ，该点显然在 的左支上.
故 ，从而 ， .
（2）由于过 且斜率为 的直线为 ，与 联立，得到方程
.
展开即得 ，由于 已经是直线 和
的公共点，故方程必有一根 .
从而根据韦达定理，另一根 ，相应的
.
所以该直线与 的不同于 的交点为 ，而注意到 的横坐标亦可通过
韦达定理表示为 ，故 一定在 的左支上.
所以 .这就得到 ， .
所以
.
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
（3）方法一：先证明一个结论：对平面上三个点 ，若 ， ，则
.（若 在同一条直线上，约定 ）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有.
而又有 ， ，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明 的取值是与 无关的定值，所以 .
方法二：由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有
.
这就得到 ，以及 .
两式相减，即得 .
移项得到 .
故 .
而 ， .
所以 和 平行，这就得到 ，即 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.
3．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续
投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的
命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第 次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量 服从两点分布，且 ，则 ．
记前 次（即从第1次到第 次投篮）中甲投篮的次数为 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第 次投篮的人是甲”为事件 ，“第 次投篮的人是乙”为事件 ，
所以，
.
（2）设 ，依题可知， ，则
，即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ．
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，
故 ．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数
列的基本知识求解．
4．（2019·全国·高考真题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此
进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施
以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一
种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于
每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白
鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、
乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲
药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ，
， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii） .
【分析】（1）首先确定 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出 的取值，可得 ，从而整理出符合等比数列定义的
形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合 和 的值可求得 ；
再次利用累加法可求出 .
【详解】（1）由题意可知 所有可能的取值为： ， ，
； ；
则 的分布列如下：
（2） ，
， ，
（i）
即
整理可得：
是以 为首项， 为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
， ，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲
药更有效的概率为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公
式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对
学生分析和解决问题能力要求较高.
5．（2017·浙江·高考真题）已知数列 满足： ，
证明：当 时，（I） ；
（II） ；
（III） .
【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.
【分析】（I）用数学归纳法可证明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ， 构造函数
，利用函数的单调性可证；
（Ⅲ）由 及 ，递推可得 .
【详解】（Ⅰ）用数学归纳法证明： ．
当 时， ．
假设 时， ，那么 时，若 ，
则 ，矛盾，故 ．
因此 ，所以 ，因此 ．
（Ⅱ）由 得，
．
记函数 ，
，
函数 在 上单调递增，所以 ，
因此 ，故 ．
（Ⅲ）因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，故 ．
综上， ．
【名师点睛】本题主要考查利用数列不等式的证明，常利用以下方法：（1）数学归纳法；（2）构造函数，
利用函数的单调性证明不等式；（3）利用递推关系证明．6．（2015·陕西·高考真题）设 是等比数列 ， ， ， ， 的各项和，其中 ， ， ．
（Ⅰ）证明：函数 在 内有且仅有一个零点（记为 ），且 ；
（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 ，比较
与 的大小，并加以证明．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）当 时， ，当 时， ，证明见解析．
【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用零点定理可证 在 内至少存在一个零点，再利用函数的单调性
可证 在 内有且仅有一个零点，进而利用 是 的零点可证 ；（Ⅱ）先设
，再对 的取值范围进行讨论来判断 与 的大小，进而可得 和 的大小．
试题解析：（Ⅰ） ，则
所以 在 内至少存在一个零点 ．
又 ，故在 内单调递增，
所以 在 内有且仅有一个零点 ．
因为 是 的零点，所以 ，即 ，故 ．
（Ⅱ）解法一：由题设，
设
当 时，
当 时，
若 ，
若 ，
所以 在 上递增，在 上递减，所以 ，即 ．
综上所述，当 时, ；当 时
解法二 由题设，
当 时,
当 时, 用数学归纳法可以证明 ．
当 时, 所以 成立．
假设 时，不等式成立，即 ．
那么，当 时，
．
又
令 ，则
所以当 , , 在 上递减；
当 , , 在 上递增．
所以 ，从而
故 ．即 ，不等式也成立．
所以，对于一切 的整数，都有 ．
解法三:由已知，记等差数列为 ,等比数列为 , 则 ， ，
所以 ,
令
当 时, ,所以 ．
当 时,
而 ，所以 ， ．
若 ， ， ，
当 ， ， ，从而 在 上递减， 在 上递增．所以 ，
所以当 又 ， ，故
综上所述，当 时， ；当 时 ．
考点：1、等比数列的前 项和公式；2、零点定理；3、等差数列的前 项和公式；4、利用导数研究函数
的单调性．
7．（2015·湖南·高考真题）已知 ，函数 ，记 为 的从小到大的第
个极值点，证明：
（1）数列 是等比数列
（2）若 ，则对一切 ， 恒成立.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【详解】试题分析：（1）求导，可知 ，
利
用三角函数的知识可求得 的极值点为 ，即可得证；（2）分析题意可知，问题等
价于 恒成立，构造函数 ，利用导数判断其单调性即可得证.
试题解析：（1）
其中 ， ，令 ，由 得 ，即 ， ，
对 ，若 ，即 ，则 ，
若 ，即 ，则 ，
因此，在区间 与 上， 的符号总相反，于是
当 时， 取得极值，∴ ，
此时， ，易知 ，而
是非零常数，故数列 是首项为 ，公比为
的等比数列；（2）由（1）知， ，于是对一切 ， |恒成立，即
恒成立，等价于 （ ）恒成立（∵ ），设 ，则 ，令 ，得 ，
当 时， ，∴ 在区间 上单调递减；
当 时， ，∴ 在区间 上单调递增，
从而当 时，函数 取得最小值 ，因此，要是（ ）式恒成立，只需 ，即
只需 ，而当 时， ，且 ，于是
，且当 时， ，因此对一切 ， ，
∴ ，故（ ）式亦恒成立.
综上所述，若 ，则对一切 ， 恒成立.
考点：1.三角函数的性质；2.导数的运用；3.恒成立问题.
【名师点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，
综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在
变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求
导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值
等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调
性有机结合，设计综合题.
