文档内容
专题 18 圆锥曲线
（椭圆、双曲线、抛物线）小题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 椭圆方程及 2023·全国甲卷、2023·全国甲卷、2022·全国新Ⅰ卷
其性质 2021·全国新Ⅰ卷、2020·山东卷、2019·全国卷、2019·全国卷
（10年6考） 2015·山东卷、2015·全国卷、2015·广东卷、2015·全国卷
2024·天津卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2023·天津卷
2023·北京卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷、2022·北京卷
2022·天津卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷、2021·全国乙卷
1. 熟练掌握椭圆、
2021·全国新Ⅱ卷、2020·北京卷、2021·全国甲卷、2020·天津
双曲线、抛物线的方
卷
程及其性质应用，是
2020·浙江卷、2019·全国卷、2019·江苏卷、2018·北京卷
高考高频考点
考点2 双曲线方程
2018·全国卷、2018·浙江卷、2018·全国卷、2018·全国卷
2. 熟练掌握椭圆和
及其性质
2018·天津卷、2017·天津卷、2017·天津卷、2017·全国卷
双曲线的离心率的求
（10年10考）
2017·上海卷、2017·山东卷、2017·全国卷、2017·江苏卷 解及应用，同样是高
2016·江苏卷、2016·北京卷、2016·浙江卷、2016·北京卷 考热点命题方向
2016·天津卷、2016·全国卷、2016·天津卷、2015·广东卷 3. 熟练掌握直线与
2015·重庆卷、2015·天津卷、2015·安徽卷、2015·福建卷 圆锥曲线的位置关
2015·江苏卷、2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·上海卷 系，并会求解最值及
2015·上海卷、2015·全国卷、2015·北京卷 范围，该内容也是命
题热点
2024·全国新Ⅱ卷、2024·北京卷、2024·上海卷、2024·天津卷
4. 掌握曲线方程及
2023·全国乙卷、2023·北京卷、2023·全国新Ⅱ卷
轨迹方程
2022·全国新Ⅱ卷、2022·全国新Ⅰ卷、2022·全国乙卷
考点3 抛物线方程
2021·全国新Ⅱ卷、2021·北京卷、2021·全国卷、2020·北京卷
及其性质
2020·全国卷、2019·全国卷、2019·北京卷、2018·北京卷
（10年10考）
2018·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2017·全国卷
2016·浙江卷、2016·天津卷、2016·全国卷、2016·四川卷
2015·浙江卷、2015·全国卷、2015·陕西卷、2015·上海卷2015·陕西卷
2023·全国新Ⅰ卷、2022·全国甲卷、2022·全国甲卷
考点4 椭圆的离心 2021·全国乙卷、2021·浙江卷、2019·北京卷、2018·北京卷
率及其应用 2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷、2017·浙江卷
（10年8考） 2017·全国卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2016·全国卷
2016·江苏卷、2015·福建卷、2015·浙江卷
2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷
2023·北京卷、2022·全国乙卷、2022·全国甲卷、2022·浙江卷
2021·全国甲卷、2021·天津卷、2021·北京卷
2021·全国新Ⅱ卷、2020·山东卷、2020·江苏卷、2020·全国卷
考点5 双曲线的离 2020·全国卷、2019·北京卷、2019·天津卷、2019·全国卷
心率及其应用 2019·全国卷、2019·全国卷、2018·江苏卷、2018·北京卷
（10年10考） 2018·北京卷、2018·全国卷、2018·天津卷、2017·天津卷
2017·全国卷、2017·全国卷、2017·全国卷、2017·北京卷
2016·山东卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2015·广东卷
2015·湖南卷、2015·湖北卷、2015·全国卷、2015·山东卷
2015·山东卷、2015·山东卷、2015·湖南卷
2024·北京卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷
考点6 直线与圆锥
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国甲卷、2021·全国乙卷
曲线的位置关系及
2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷
其应用
2020·山东卷、2019·浙江卷、2019·全国卷、2018·全国卷
（10年10考）
2018·全国卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2015·全国卷
考点7 曲线方程及 2024·全国新Ⅰ卷、2024·全国新Ⅱ卷、2021·浙江卷
曲线轨迹 2020·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·北京卷
（10年6考） 2016·四川卷、2015·山东卷、2015·浙江卷
2021·全国乙卷、2021·全国乙卷、2021·全国新Ⅰ卷
考点8 圆锥曲线中
2020·全国卷、2018·浙江卷、2017·全国卷、2017·全国卷
的最值及范围问题
2017·全国卷、2016·四川卷、2016·全国卷、2016·浙江卷
（10年6考）
2015·上海卷、2015·全国卷、2015·江苏卷
考点01 椭圆方程及其性质1．（2023·全国甲卷·高考真题）设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，
则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可解出；
方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．
【详解】方法一：因为 ，所以 ，
从而 ，所以 ．
故选：B.
方法二：
因为 ，所以 ，由椭圆方程可知， ，
所以 ，又 ，平方得：
，所以 ．
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 P在C上，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可得到点 的坐标，从而得出 的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，再结合中线的向量公式以及数量积即
可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设 ，所以 ，
由 ，解得： ，
由椭圆方程可知， ，
所以， ，解得： ，即 ，因此 ．
故选：B．
方法二：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，
解得： ，
而 ，所以 ，
即 ．
故选：B．
方法三：因为 ①， ，
即 ②，联立①②，解得： ，
由中线定理可知， ，易知 ，解得： ．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常
规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难
度不是很大．
3．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆 ，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，
离心率为 ．过 且垂直于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的周长是
．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为 ，根据离心率得到直线 的斜
率，进而利用直线的垂直关系得到直线 的斜率，写出直线 的方程： ，代入椭圆方程
，整理化简得到： ，利用弦长公式求得 ，得 ，根据
对称性将 的周长转化为 的周长，利用椭圆的定义得到周长为 .
【详解】∵椭圆的离心率为 ，∴ ，∴ ，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为 ，右焦点为 ，如图所示，∵
，∴ ，∴ 为正三角形，∵过 且垂直于 的直线与C交于
D，E两点， 为线段 的垂直平分线，∴直线 的斜率为 ，斜率倒数为 ， 直线 的方程：
，代入椭圆方程 ，整理化简得到： ，
判别式 ，
∴ ，
∴ ， 得 ，
∵ 为线段 的垂直平分线，根据对称性， ，∴ 的周长等于 的周长，
利用椭圆的定义得到 周长为
.
故答案为：13.
4．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即
可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
5．（2020·山东·高考真题）已知椭圆的长轴长为10，焦距为8，则该椭圆的短轴长等于（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【分析】根据椭圆中 的关系即可求解.
【详解】椭圆的长轴长为10，焦距为8，
所以 ， ，可得 ， ，
所以 ，可得 ，
所以该椭圆的短轴长 ，
故选：B.
6．（2019·全国·高考真题）已知椭圆C的焦点为 ，过F 的直线与C交于A，B两点.若
2
， ，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知可设 ，则 ，得 ，在 中求得
，再在 中，由余弦定理得 ，从而可求解.
【详解】法一：如图，由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 中，由余弦定理推论得
．在 中，由余弦定理得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选B．
法二：由已知可设 ，则 ，由椭圆的定义有
．在 和 中，由余弦定理得，又 互补， ，两式消去
，得 ，解得 ．
所求椭圆方程为 ，故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直
观想象、逻辑推理等数学素养．
7．（2019·全国·高考真题）设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第一象限.若
为等腰三角形，则 的坐标为 .
【答案】
【分析】根据椭圆的定义分别求出 ，设出 的坐标，结合三角形面积可求出 的坐标.
【详解】由已知可得 ，
又 为 上一点且在第一象限, 为等腰三角形，
．∴ ．
设点 的坐标为 ，则 ，
又 ，解得 ，
，解得 （ 舍去），
的坐标为 ．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直
观想象、逻辑推理等数学素养．
8．（2015·山东·高考真题）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆 的圆心重合，长
轴长等于圆的直径，那么短轴长等于 ．【答案】
【分析】由于 是圆，可得 ，通过圆心和半径计算 ，即得解
【详解】由于 是圆，
即：圆
其中圆心为 ，半径为4
那么椭圆的长轴长为8，即 ， ， ，
那么短轴长为
故答案为：
9．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线 的
焦点
重合， 是C的准线与E的两个交点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：抛物线 的焦点为 所以椭圆的右焦点为 即 且
椭圆的方程为 抛物线准线为 代入椭圆方程中得
故选B.
考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的标准方程．
10．（2015·广东·高考真题）已知椭圆 （ ）的左焦点为 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：根据焦点坐标可知焦点在 轴，所以 ， ， ，又因为
，解得 ，故选C.
考点：椭圆的基本性质
11．（2015·全国·高考真题）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的
标准方程为 .
【答案】【详解】设圆心为（ ，0），则半径为 ，则 ，解得 ，故圆的方程为
.
考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程
考点02 双曲线方程及其性质
1．（2024·天津·高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 是双曲线右支上一
点，且直线 的斜率为2． 是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可利用 三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设 ，由面积公式求出 ，
由勾股定理得出 ，结合第一定义再求出 .
【详解】如下图：由题可知，点 必落在第四象限， ，设 ，
，由 ，求得 ，
因为 ，所以 ，求得 ，即 ，
，由正弦定理可得： ，
则由 得 ，
由 得 ，
则 ，
由双曲线第一定义可得： ， ，
所以双曲线的方程为 .故选：C
2．（2023·全国甲卷·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，C的一条渐近线与
圆 交于A，B两点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由 ，则 ，
解得 ，
所以双曲线的一条渐近线为 ，
则圆心 到渐近线的距离 ，
所以弦长 .
故选：D
3．（2023·全国乙卷·高考真题）设A，B为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得 ，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对
于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .对于选项A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D： ，则 ，
联立方程 ，消去y得 ，
此时 ，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
4．（2023·天津·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 向一条渐
近线作垂线，垂足为 ．若 ，直线 的斜率为 ，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先由点到直线的距离公式求出 ，设 ，由 得到 ， .再由三角形的面积公式得到 ，从而得到 ，则可得到 ，解出 ，代入双曲线的方程即可得到答
案.
【详解】如图，
因为 ，不妨设渐近线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 .
设 ,则 ，所以 ，所以 .
因为 ,所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以双曲线的方程为
故选：D
5．（2022·天津·高考真题）已知抛物线 分别是双曲线 的左、右焦点，
抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，与双曲线的渐近线交于点A，若 ，则双曲线的标准方程为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出 的值，求出点 的坐标，分析可得 ，由此可得出关于 、 、 的方
程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，则 ，则 、 ，
不妨设点 为第二象限内的点，联立 ，可得 ，即点 ，
因为 且 ，则 为等腰直角三角形，
且 ，即 ，可得 ，
所以， ，解得 ，因此，双曲线的标准方程为 .
故选：C.
6．（2021·北京·高考真题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：B7．（2021·全国甲卷·高考真题）点 到双曲线 的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为： ，即 ，
结合对称性，不妨考虑点 到直线 的距离： .
故选：A.
8．（2020·天津·高考真题）设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点
的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦点 可求得直线 的方程为 ，即得直线的斜率为 ，再根据双曲线的渐
近线的方程为 ，可得 ， 即可求出 ，得到双曲线的方程．
【详解】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得 ．
故选： ．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，
属于基础题．
9．（2020·浙江·高考真题）已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P
为函数y= 图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知，点 既在双曲线的一支上，又在函数 的图象上，即可求出点 的坐标，
得到 的值．
【详解】因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双曲线的右支上，由 可得， ，即双曲线的右支方程为 ，而点 还在函数
的图象上，所以，
由 ，解得 ，即 ．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算
能力，属于基础题．
10．（2019·全国·高考真题）双曲线C： =1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原
点，若 ，则△PFO的面积为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采
取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．
【详解】由 ．
，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在 上，
，故选A．
【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的
高，便可求三角形面积．
11．（2018·全国·高考真题）已知双曲线 的离心率为 ，则点 到 的渐近
线的距离为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：由离心率计算出 ，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D
点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．
12．（2018·浙江·高考真题）双曲线 的焦点坐标是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据 求焦点坐标.
【详解】因为双曲线方程为 ，所以焦点坐标可设为 ，
因为 ，所以焦点坐标为 ，选B.
【点睛】由双曲线方程 可得焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，渐
近线方程为 .
13．（2018·全国·高考真题）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.
详解：
因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，选A.
点睛：已知双曲线方程 求渐近线方程： .
14．（2018·全国·高考真题）已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若 OMN为直角三角形，则|MN|=
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到
，根据直角三角形的条件，可以确定直线 的倾斜角为 或 ，根据相关图形的对称性，
得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为 ，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条
渐近线方程联立，求得 ，利用两点间距离公式求得 的值.
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为 ，且右焦点为 ，
从而得到 ，所以直线 的倾斜角为 或 ，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为 ，
可以得出直线 的方程为 ，
分别与两条渐近线 和 联立，
求得 ，
所以 ，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点
是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线
方程，利用直角三角形的条件得到直线 的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方
程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果.
15．（2018·天津·高考真题）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于 轴的直线
与双曲线交于 两点.设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 则双曲线的
方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求
解a的值即可确定双曲线方程.详解：设双曲线的右焦点坐标为 （c>0），则 ，
由 可得： ，
不妨设： ，双曲线的一条渐近线方程为 ，
据此可得： ， ，
则 ，则 ，
双曲线的离心率： ，
据此可得： ，则双曲线的方程为 .
本题选择A选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准
方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方
程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，再由条件求出λ的值
即可.
16．（2017·天津·高考真题）【陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考】已知双曲线
的左焦点为 ，点 在双曲线的渐近线上， 是边长为2的等边三角形（ 为原
点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意结合双曲线的渐近线方程可得：
，解得： ，
双曲线方程为： .
故选：D..
【考点】 双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目
的条件列出关于 的方程，解方程组求出 ，另外求双曲线方程要注意巧设双曲线（1）双曲线过两
点可设为 ，（2）与 共渐近线的双曲线可设为 ，（3）等
轴双曲线可设为 等，均为待定系数法求标准方程.
17．（2017·天津·高考真题）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 .若经过 和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得 ，选B.
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法
就是依据题目的条件列出关于 的方程，解方程组求出 ，另外求双曲线方程要注意巧
设双曲线（1）双曲线过两点可设为 ，（2）与 共渐近线的双曲线
可设为 ，（3）等轴双曲线可设为 等，均为待定系数法求标准
方程.
18．（2017·全国·高考真题）已知F是双曲线C： 的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，
点A的坐标是(1，3)，则 的面积为
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由 得 ，所以 ，将 代入 ，得 ，所以 ，
又点A的坐标是(1，3)，故△APF的面积为 ，选D．
点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算，属容易题．由双曲线方程得 ，结合
PF与x轴垂直，可得 ，最后由点A的坐标是(1，3)，计算△APF的面积．19．（2016·天津·高考真题）已知双曲线 （b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长
的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】试题分析：根据对称性，不妨设 在第一象限，则 ，
∴ ，故双曲线的方程为 ，故选D.
【考点】双曲线的渐近线
【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：
（1）确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪
条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．
（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．
①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．
②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．
20．（2016·全国·高考真题）已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，
则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1, ) C．(0,3) D．(0, )
【答案】A
【详解】由题意知：双曲线的焦点在 轴上，所以 ，解得 ，因为方程
表示双曲线，所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 ，故选A．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.
21．（2016·天津·高考真题）已知双曲线 的焦距为 ，且双曲线的一条渐近线
与直线 垂直，则双曲线的方程为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】试题分析：由题意，得 又 ，所以 所以双曲线的方程为
，选A.
【考点】双曲线
【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：
（1）确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条
坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．
（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．
①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．
②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．
22．（2015·广东·高考真题）已知双曲线C： ﹣ =1的离心率e= ，且其右焦点为F （5，0），则双曲
2
线C的方程为
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
【答案】C
【详解】试题分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．
解：双曲线C： ﹣ =1的离心率e= ，且其右焦点为F （5，0），
2可得： ，c=5，∴a=4，b= =3，
所求双曲线方程为： ﹣ =1．
故选C．
点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
23．（2015·重庆·高考真题）设双曲线 的右焦点是F，左、右顶点分别是 ,过F作
的垂线与双曲线交于B，C两点，若 ,则双曲线的渐近线的斜率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析： ， ， ， ，所以 ，
根据 ,所以 ,代入后得 ，整理为 ，
所以该双曲线渐近线的斜率是 ，故选C.
考点：双曲线的性质
24．（2015·天津·高考真题）已知双曲线 的一个焦点为 ,且双曲线的渐近线与
圆 相切,则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：依题意有 ，解得 ，所以方程为 .
考点：双曲线的概念与性质．
25．（2015·安徽·高考真题）下列双曲线中，渐近线方程为 的是A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由双曲线的渐近线的公式可行选项A的渐近线方程为 ，故选A.
考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.
26．（2015·福建·高考真题）若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且
，则 等于
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
【详解】由双曲线定义得 ，即 ，解得 ，故选B．
考点：双曲线的标准方程和定义．
二、填空题
27．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线 的实半轴、虚半轴长，再写出 的方程作答.
【详解】令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x轴上，其半
焦距 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ，
所以双曲线 的方程为 .
故答案为：
28．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足 皆可）【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）
29．（2022·全国甲卷·高考真题）若双曲线 的渐近线与圆 相切，则
．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆
心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线 的渐近线为 ，即 ，
不妨取 ，圆 ，即 ，所以圆心为 ，半径 ，
依题意圆心 到渐近线 的距离 ，
解得 或 （舍去）．
故答案为： ．
30．（2022·北京·高考真题）已知双曲线 的渐近线方程为 ，则 ．
【答案】
【分析】首先可得 ，即可得到双曲线的标准方程，从而得到 、 ，再跟渐近线方程得到方程，解得
即可；
【详解】解：对于双曲线 ，所以 ，即双曲线的标准方程为 ，
则 ， ，又双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，即 ，解得 ；
故答案为：
31．（2021·全国乙卷·高考真题）已知双曲线 的一条渐近线为 ，则C的焦
距为 ．
【答案】4
【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出 的关系，再结合双曲线中 对应关系，联立求解 ，再由
关系式求得 ，即可求解.
【详解】由渐近线方程 化简得 ，即 ，同时平方得 ，又双曲线中
，故 ，解得 （舍去）， ，故焦距 .
故答案为：4.
【点睛】本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键.
32．（2021·全国乙卷·高考真题）双曲线 的右焦点到直线 的距离为 ．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知， ，所以双曲线的右焦点为 ，
所以右焦点 到直线 的距离为 .
故答案为：
33．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
.
【答案】
【分析】根据离心率得出 ，结合 得出 关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率 ，即 ，
又 ，即 ，则 ，
故此双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .34．（2020·北京·高考真题）已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为 ；C的焦点到其
渐近线的距离是 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直
线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.
【详解】在双曲线 中， ， ，则 ，则双曲线 的右焦点坐标为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能力，
属于基础题.
35．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点（3，4)，则该双
曲线的渐近线方程是 .
【答案】 .
【分析】根据条件求 ，再代入双曲线的渐近线方程得出答案.
【详解】由已知得 ，
解得 或 ，
因为 ，所以 .
因为 ，
所以双曲线的渐近线方程为 .
【点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲
线渐近线与双曲线标准方程中的 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.
36．（2018·北京·高考真题）若双曲线 的离心率为 ，则a= .
【答案】4
【详解】分析：根据离心率公式 ，及双曲线中 的关系可联立方程组，进而求解参数 的值.
详解：在双曲线中， ，且点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点,根据双曲线的离
心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式
，找到 之间的关系.
37．（2017·上海·高考真题）设双曲线 的焦点为 、 ， 为该双曲线上的一点，若
，则
【答案】11
【详解】由双曲线的方程 ，可得 ，
根据双曲线的定义可知 ，
又因为 ，所以 .
38．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系 中，双曲线 的右支与焦点为
的抛物线 交于 两点，若 ，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【详解】 ，
因为 ，所以 渐近线方程为
.
【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.
对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程
的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.
因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为 的形式，当 ， ， 时为椭
圆，当 时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．
39．（2017·全国·高考真题）双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 ．
【答案】
【分析】依题意由双曲线方程可得双曲线的渐近线为 ，即可得到方程，解得即可.
【详解】解：双曲线 的一条渐近线方程为 ，
又双曲线的渐近线为 ，可得 ，解得 ．
故答案为： ．
40．（2017·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，双曲线 的右准线与它的两条渐近
线分别交于点
P，Q，其焦点是F ，F ，则四边形F P F Q的面积是 ．
1 2 1 2
【答案】
【详解】右准线方程为 ，渐近线方程为 ，设 ，则
， ， ，则 ．
点睛:（1）已知双曲线方程 求渐近线： ；（2）已知渐近
线 可设双曲线方程为 ；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为 ，垂
足为对应准线与渐近线的交点．
41．（2016·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中，双曲线 的焦距是 .
【答案】
【详解】试题分析： ．故答案应填：
【考点】双曲线性质
【名师点睛】本题重点考查双曲线几何性质，而双曲线的几何性质与双曲线的标准方程息息相关，明确双
曲线标准方程中各个量的对应关系是解题的关键， 揭示焦点在x轴，实轴长为 ，
虚轴长为 ，焦距为 ，渐近线方程为 ，离心率为 ．42．（2016·北京·高考真题）双曲线 ( ， )的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的
直线，点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2，则a= .
【答案】2
【详解】试题分析：因为四边形 是正方形，所以 ，所以直线 的方程为 ，此为双
曲线的渐近线，因此 ，又由题意知 ，所以 ， ．故答案为2．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌
握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线
与椭圆的标准方程可统一为 的形式，当 ， ， 时为椭圆，当 时为
双曲线.
43．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2– =1的左、右焦点分别为F ，F ．若点P在双曲线上，且△F PF
1 2 1 2
为锐角三角形，则|PF |+|PF |的取值范围是 ．
1 2
【答案】 ．
【详解】试题分析：由已知得 ，则 ，设 是双曲线上任一点，由对称性不
妨设 在双曲线的右支上，则 ， ， ， 为锐角，则
，即 ，解得 ，所以 ，则
．
【考点】双曲线的几何性质.
【思路点睛】先由对称性可设点 在右支上，进而可得 和 ，再由 为锐角三角形可得
，进而可得 的不等式，解不等式可得 的取值范围．
44．（2016·北京·高考真题）已知双曲线 的一条渐近线为 ，一个焦点为 ，
则 ； ．
【答案】 1 2
【详解】试题分析：依题意有 ,结合 ,解得 .【考点】双曲线的基本概念
【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：
（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线
与椭圆的标准方程可统一为 的形式，当 ， ， 时为椭圆，当 时为
双曲线.
45．（2015·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点．若点
到直线 的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为
【答案】
【详解】设 ，因为直线 平行于渐近线 ，所以点 到直线 的
距离恒大于直线 与渐近线 之间距离，因此c的最大值为直线 与渐近线
之间距离，为
考点：双曲线渐近线，恒成立转化
46．（2015·浙江·高考真题）双曲线 的焦距是 ，渐近线方程是 ．
【答案】 ， .
【详解】由题意得： ， ， ，∴焦距为 ，
渐近线方程为 .
考点：双曲线的标准方程及其性质
47．（2015·全国·高考真题）已知 是双曲线 的右焦点，P是C左支上一点， ，当
周长最小时，该三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据题意，根据 三点共线，求出直线 的方程，联立双曲线方程，即可求得 点坐标，
则由 即可容易求得.
【详解】设双曲线的左焦点为 ，由双曲线定义知， ，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ +|AF|=|PA|+ +|AF|+ ，
由于 是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+ 最小，即P、A、 共线，
∵ ， ∴直线 的方程为 ，即 代入 整理得
，
解得 或 (舍)，所以P点的纵坐标为 ，
∴ = .
故答案为： .
【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.
48．（2015·上海·高考真题）已知双曲线 、 的顶点重合， 的方程为 ，若 的一条渐
近线的斜率是 的一条渐近线的斜率的2倍，则 的方程为 .
【答案】
【详解】因为 的方程为 ，所以 的一条渐近线的斜率 ，所以 的一条渐近线的斜
率 ，因为双曲线 、 的顶点重合，即焦点都在 轴上，
设 的方程为 ，
所以 ，所以 的方程为 .
考点：双曲线的性质，直线的斜率.
49．（2015·上海·高考真题）已知点 和 的横坐标相同， 的纵坐标是 的纵坐标的 倍， 和 的轨迹
分别为双曲线 和 ．若 的渐近线方程为 ，则 的渐近线方程为 ．
【答案】【详解】由题意得： ： ，设 ，则 ，所以 ，即 的渐近线
方程为
考点：双曲线渐近线
50．（2015·全国·高考真题）已知双曲线过点 ，且渐近线方程为 ，则该双曲线的标准方程
为 .
【答案】
【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为 .
点 为该双曲线上的点，
.
该双曲线的方程为： ，即 .
故本题正确答案是 .
51．（2015·北京·高考真题）已知 是双曲线 （ ）的一个焦点，则 ．
【答案】
【详解】由题意知 ， ，所以 .
考点：双曲线的焦点.
考点03 抛物线方程及其性质
1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为
5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，点 在 上，
所以 到准线 的距离为 ，
又 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 .
故选：D.2．（2022·全国乙卷·高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，
则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点 的横坐标，进而求得点 坐标，即可
得到答案.
【详解】由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 .
故选：B
3．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.
4．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过
作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可
知，线段 的垂直平分线经过点 ，即求解.【详解】如图所示： ．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知， ，
所以线段 的垂直平分线经过点 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
5．（2020·全国·高考真题）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴
的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
6．（2019·全国·高考真题）若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆 的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】D
【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于 的方程，即可解出 ，或者利用检验排除的方法，
如 时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】因为抛物线 的焦点 是椭圆 的一个焦点，所以 ，解得
，故选D．
【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
7．（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l ，l ，直线l
1 2 1
与C交于A、B两点，直线l 与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
2
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A【详解】设 ，直线 的方程为 ，联立方程 ，
得 ，∴ ，同理直线 与抛物线的交点满足
，由抛物线定义可知
，当且仅当 （或 ）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线
上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌
握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的
倾斜角表示，设直线的倾斜角为 ，则 ，则 ，所以
.
8．（2016·全国·高考真题）设 为抛物线 的焦点，曲线 与 交于点 ， 轴，
则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由抛物线的性质可得 ，故选D.
考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.
9．（2016·四川·高考真题）抛物线y2=4x的焦点坐标是
A．（0,2） B．（0,1） C．（2,0） D．（1,0）
【答案】D
【详解】试题分析： 的焦点坐标为 ，故选D.
【考点】抛物线的性质
【名师点睛】本题考查抛物线的定义．解析几何是中学数学的一个重要分支，圆锥曲线是解析几何的重要
内容，它们的定义、标准方程、简单几何性质是我们要重点掌握的内容，一定要熟记掌握．
10．（2015·浙江·高考真题）如图，设抛物线 的焦点为 ，不经过焦点的直线上有三个不同的点
， ， ，其中点 ， 在抛物线上，点 在 轴上，则 与 的面积之比是A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ，故选A.
考点：抛物线的标准方程及其性质
11．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线
的焦点
重合， 是C的准线与E的两个交点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：抛物线 的焦点为 所以椭圆的右焦点为 即 且
椭圆的方程为 抛物线准线为 代入椭圆方程中得
故选B.
考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的标准方程．
12．（2015·陕西·高考真题）已知抛物线 的准线经过点 ，则抛物线焦点坐标为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由抛物线 得准线 ，因为准线经过点 ，所以 ，
所以抛物线焦点坐标为 ，故答案选
考点：抛物线方程和性质.
二、多选题13．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）抛物线C： 的准线为l，P为C上的动点，过P作
的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与 相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为 ，根据圆心到准线的距离来判断；B选项， 三点共线时，先求
出 的坐标，进而得出切线长；C选项，根据 先算出 的坐标，然后验证 是否成立；D
选项，根据抛物线的定义， ，于是问题转化成 的 点的存在性问题，此时考察 的
中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设 点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线 的准线为 ，
的圆心 到直线 的距离显然是 ，等于圆的半径，
故准线 和 相切，A选项正确；
B选项， 三点共线时，即 ，则 的纵坐标 ，
由 ，得到 ，故 ，
此时切线长 ，B选项正确；
C选项，当 时， ，此时 ，故 或 ，
当 时， ， ， ，
不满足 ；
当 时， ， ， ，
不满足 ；
于是 不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义， ，这里 ，
于是 时 点的存在性问题转化成 时 点的存在性问题，
， 中点 ， 中垂线的斜率为 ，于是 的中垂线方程为： ，与抛物线 联立可得 ，
，即 的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个 点，使得 ，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设 ，由 可得 ，又 ，又 ，
根据两点间的距离公式， ，整理得 ，
，则关于 的方程有两个解，
即存在两个这样的 点，D选项正确.
故选：ABD
14．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线 的焦
点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得 ，根据弦长公式求得 ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答
案.
【详解】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.
15．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交
于A，B两点，其中A在第一象限，点 ，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】由 及抛物线方程求得 ，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线 的方程，联立抛物线求得 ，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可判断
C选项；由 ， 求得 ， 为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
代入抛物线可得 ，则 ，则直线 的斜率为 ，A正确；
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为 ，联立抛物线方程得 ，
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
，
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
对于D， ，则 为钝角，
又 ，则 为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.16．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，过点
的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可
判断C、D.
【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD三、填空题
17．（2024·北京·高考真题）抛物线 的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】形如 的抛物线的焦点坐标为 ，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为 ，所以其焦点坐标为 .
故答案为： .
18．（2024·上海·高考真题）已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9，那么点 到 轴的距离为
．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义知 ，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由 知抛物线的准线方程为 ，设点 ，由题意得 ，解得 ，
代入抛物线方程 ，得 ，解得 ，
则点 到 轴的距离为 ．
故答案为： ．
19．（2024·天津·高考真题）圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合， 为两曲
线的交点，则原点到直线 的距离为 ．
【答案】 /
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求 及 的方程，从而可求原点
到直线 的距离.
【详解】圆 的圆心为 ，故 即 ，
由 可得 ，故 或 （舍），
故 ，故直线 即 或 ，
故原点到直线 的距离为 ，
故答案为：
20．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为
.【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为 ，最后利
用点的坐标和准线方程计算点 到 的准线的距离即可.
【详解】由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 .
故答案为： .
21．（2021·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 .若
，则点 的横坐标为 ； 的面积为 ．
【答案】 5
【分析】根据焦半径公式可求 的横坐标，求出纵坐标后可求 .
【详解】因为抛物线的方程为 ，故 且 .
因为 ， ，解得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：5； .
22．（2021·全国·高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点，
与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示 ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得结果.
【详解】抛物线 ： ( )的焦点 ,
∵P为 上一点， 与 轴垂直，
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,
不妨设 ,
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ，因为 ，所以 ,
，
所以 的准线方程为
故答案为： .
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
23．（2019·北京·高考真题）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为
．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，即圆心，焦点到准线距离即半径，进而求得结果.
【详解】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F（1,0），准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
【点睛】本题主要考查抛物线的焦点坐标，抛物线的准线方程，直线与圆相切的充分必要条件等知识，意
在考查学生的转化能力和计算求解能力.
24．（2018·北京·高考真题）已知直线l过点（1,0）且垂直于 轴，若l被抛物线 截得的线段长为
4，则抛物线的焦点坐标为 .
【答案】
【详解】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点 ，将点 坐标代入可求参数
的值，进而可求焦点坐标.
详细：由题意可得，点 在抛物线上，将 代入 中，
解得： ， ，
由抛物线方程可得： ，
焦点坐标为 .
考点04 椭圆的离心率及其应用
1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）设椭圆 的离心率分别为 ．若
，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A
2．（2022·全国·甲卷高考真题）已知椭圆 的离心率为 ， 分别为C的左、右
顶点，B为C的上顶点．若 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率及 ，解得关于 的等量关系式，即可得解.
【详解】解：因为离心率 ，解得 ， ，
分别为C的左右顶点，则 ，
B为上顶点，所以 .
所以 ，因为
所以 ，将 代入，解得 ，
故椭圆的方程为 .
故选：B.
3．（2022·全国甲卷·高考真题）椭圆 的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y
轴对称．若直线 的斜率之积为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，则 ，根据斜率公式结合题意可得 ，再根据 ，将
用 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求
设 ，则
则由 得： ，
由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故 ，
由椭圆第三定义得： ，
故
所以椭圆 的离心率 ，故选A.
4．（2021·全国乙卷·高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再
构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该
不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论
函数的单调性从而确定最值．
5．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线
和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是 ，
椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】不妨假设 ，根据图形可知， ，再根据同角三角函数基本关系即可求出
；再根据椭圆的定义求出 ，即可求得离心率．
【详解】
如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
，
所以 , 由 ，所以 ， ，
于是 ，即 ，所以 ．
故答案为： ； ．
6．（2019·北京·高考真题）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b
【答案】B
【分析】由题意利用离心率的定义和 的关系可得满足题意的等式.
【详解】椭圆的离心率 ,化简得 ,
故选B.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
7．（2018·北京·高考真题）已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线N的两条
渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为
；双曲线N的离心率为 ．
【答案】 2
【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中 关系，即得双曲线N的离心率；
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，解得椭圆M
的离心率.
【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，所以椭圆M
的离心率为
双曲线N的渐近线方程为 ，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为 ，
故答案为： ； ．
［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率
设双曲线 的一条渐近线 与椭圆 在第一象限的交点为 ，椭圆的右焦点
为 ．由题可知， 为正六边形相邻的两个顶点，所以 （O为坐标原点）．所以 ．因此双曲线的离心率 ．
由 与 联立解得 ．
因为 是正三角形，所以 ，因此，可得 ．
将 代入上式，化简、整理得 ，即 ，解得 ，
（舍去）．
所以，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为2．
故答案为： ； ．
［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形
由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为 ，于是双曲线N的离心率为 ．
设双曲线 的一条渐近线与椭圆 在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为
．在 中， ．
由正弦定理得 ．
于是 ．
即椭圆的离心率 ．
故答案为： ； ．
【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；
方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算
较为复杂；
方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．
8．（2018·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且
，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：设 ，则根据平面几何知识可求 ，再结合椭圆定义可求离心率.详解：在 中，
设 ，则 ，
又由椭圆定义可知
则离心率 ，
故选D.
点睛：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义
求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知
识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义.
9．（2018·全国·高考真题）已知椭圆 ： 的一个焦点为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为 ，从而求得 ，再根据题中所给的方
程中系数，可以得到 ，利用椭圆中对应 的关系，求得 ，最后利用椭圆离心率的公式求
得结果.
详解：根据题意，可知 ，因为 ，
所以 ，即 ，
所以椭圆 的离心率为 ，故选C.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要
学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中 的关系求得结果.
10．（2018·全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点
在过 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据条件得PF=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
2
【详解】因为 为等腰三角形， ，所以PF=FF=2c,
2 1 2
由 斜率为 得， ，由正弦定理得 ,
所以 ，
故选：D.
11．（2017·浙江·高考真题）椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知， ， ，求出 ，即可求出椭圆的离心率．
【详解】因为椭圆 中 ， ，
所以 ，
得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查椭圆的离心率的求法，以及灵活运用椭圆的简单性质化简求值．
12．（2017·全国·高考真题）已知椭圆C： 的左、右顶点分别为A ，A ，且以线段
1 2
A A 为直径的圆与直线 相切，则C的离心率为
1 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】以线段 为直径的圆的圆心为坐标原点 ，半径为 ，圆的方程为 ，
直线 与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即 ，
整理可得 ，即 即 ，
从而 ，则椭圆的离心率 ，
故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题，其关键就是确立一
个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于
的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
13．（2016·浙江·高考真题）已知椭圆C ： +y2=1（m＞1）与双曲线C ： –y2=1（n＞0）的焦点重合，
1 2
e ，e 分别为C ，C 的离心率，则
1 2 1 2
A．m＞n且e e ＞1 B．m＞n且e e ＜1
1 2 1 2
C．m＜n且e e ＞1 D．m＜n且e e ＜1
1 2 1 2
【答案】A
【详解】试题分析：由题意知 ，即 ，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，
又 = ，故 ．故选A．
【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质．
【易错点睛】计算椭圆 的焦点时，要注意 ；计算双曲线 的焦点时，要注意 ．否
则很容易出现错误．
14．（2016·全国·高考真题）已知O为坐标原点，F是椭圆C： 的左焦点，A，B分别
为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直
线BM经过OE的中点，则C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：如图取 与 重合，则由 直线
同理由 ,
故选A.
考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.
【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.
15．（2016·全国·高考真题）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的
，则该椭圆的离心率为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：不妨设直线 ，即 椭圆中心到 的距离
，故选B.
考点：1、直线与椭圆；2、椭圆的几何性质.
【方法点晴】本题考查直线与椭圆、椭圆的几何性质，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考
查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 不妨设直线 ，
即 椭圆中心到 的距离 ，利用方程思想和数形结合思想建立方程
是本题的关键节点.
16．（2016·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系 中， 是椭圆 的右焦点，
直线 与椭圆交于 两点，且 ，则该椭圆的离心率是 ．
【答案】
【详解】由题意得 ，故 ， ，
又 ，所以【考点】椭圆离心率
【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出 ，这注重考
查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求 的比值，这注重于列式，即需根据条件列出关于 的
一个等量关系，通过解方程得到离心率的值.
17．（2015·福建·高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ．短轴的一个端点为 ，直线
交椭圆 于 两点．若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆 的离心率
的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：设 是椭圆的左焦点，由于直线 过原点，因此 两点关于原点对称，
从而 是平行四边形，所以 ，即 ， ，设 ，则 ，所
以 ， ，即 ，又 ，所以 ， ．故选A．
考点：椭圆的几何性质．
【名师点睛】本题考查椭圆的离心率的范围，因此要求得 关系或范围，解题的关键是利用对称性得出
就是 ，从而得 ，于是只有由点到直线的距离得出 的范围，就得出 的取值范围，从而
得出结论．在涉及到椭圆上的点到焦点的距离时，需要联想到椭圆的定义．
18．（2015·浙江·高考真题）椭圆 （ ）的右焦点 关于直线 的对称点
在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
【答案】
【分析】设 ，利用对称知识，结合椭圆方程得出椭圆中a，b，c，之间的关系，再由 ，
离心率为 ，及可求出离心率.
【详解】设 关于直线 的对称点为 ，
则有线段 的中点坐标为 ，
且直线 与直线 垂直，所以有 ，解得 ，
所以 在椭圆上，
即有 ，又 ，可得
，可得 ，
所以 ，
即 ，因为 ，
所以 ，解得 .
考点05 双曲线的离心率及其应用
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该双曲线上，则
该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距 ，结合双曲线定义计算可得 ，即可得离心率.
【详解】由题意，设 、 、 ，
则 ， ， ，
则 ，则 .
故选：C.
2．（2022·全国乙卷·高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，
过 作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，利用正弦定理结合三角变换、
双曲线的定义得到 或 ，即可得解，注意就 在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，
由 ，即 ，则 ，所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，
，
则 ，
特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率
若 均在左支上，
同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，故 ，故 ，
故选：AC.
3．（2021·全国甲卷·高考真题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解的关键.
4．（2021·天津·高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，
抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的离心
率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得
，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以双曲线的离心率 .
故选：A.
5．（2021·北京·高考真题）若双曲线 离心率为 ，过点 ，则该双曲线的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分析可得 ，再将点 代入双曲线的方程，求出 的值，即可得出双曲线的标准方程.
【详解】 ，则 ， ，则双曲线的方程为 ，
将点 的坐标代入双曲线的方程可得 ，解得 ，故 ，
因此，双曲线的方程为 .
故选：B
6．（2019·北京·高考真题）已知双曲线 （a＞0）的离心率是 则a=
A． B．4 C．2 D．
【答案】D
【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a的方程求解.
【详解】 ∵双曲线的离心率 ， ，
∴ ，
解得 ，
故选D.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c的关系，方程的数学思想等知识，意在考查
学生的转化能力和计算求解能力.
7．（2019·天津·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若 与双曲线
的两条渐近线分别交于点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为
A． B． C．2 D．【答案】D
【分析】只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
【详解】抛物线 的准线 的方程为 ，
双曲线的渐近线方程为 ，
则有
∴ ， ， ，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．
8．（2019·全国·高考真题）设F为双曲线C： （a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为
直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设 与 轴交于点 ，由对称性可知 轴，
又 ， 为以 为直径的圆的半径，
为圆心 ．
，又 点在圆 上，
，即 ．
，故选A．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代
数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，
才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
9．（2019·全国·高考真题）双曲线C: 的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率
为
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线渐近线定义可得 ，再利用 求双曲线的离心率．
【详解】由已知可得 ，
，故选D．
【点睛】对于双曲线： ，有 ；对于椭圆 ，有
，防止记混．
10．（2018·全国·高考真题）设 , 是双曲线 （ ）的左、右焦点， 是坐标原
点．过 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ．若 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】分析：由双曲线性质得到 ， 然后在 和在 中利用余弦定理可得．
详解：由题可知在 中，
在 中,
故选B.
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．
11．（2018·天津·高考真题）已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于 轴的直线
与双曲线交于 两点.设 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且 则双曲线的
方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】分析：由题意首先求得A,B的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b的值，之后利用离心率求
解a的值即可确定双曲线方程.
详解：设双曲线的右焦点坐标为 （c>0），则 ，
由 可得： ，
不妨设： ，双曲线的一条渐近线方程为 ，
据此可得： ， ，
则 ，则 ，
双曲线的离心率： ，
据此可得： ，则双曲线的方程为 .
本题选择A选项.
点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．如果已知双曲线的渐近线方
程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，再由条件求出λ的值
即可.
12．（2017·天津·高考真题）已知双曲线 的左焦点为 ，离心率为 .若经过 和
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得 ，选B.
【考点】 双曲线的标准方程
【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法
就是依据题目的条件列出关于 的方程，解方程组求出 ，另外求双曲线方程要注意巧
设双曲线（1）双曲线过两点可设为 ，（2）与 共渐近线的双曲线
可设为 ，（3）等轴双曲线可设为 等，均为待定系数法求标准
方程.
13．（2017·全国·高考真题）若双曲线 （ ， ）的一条渐近线被圆 所
截
得的弦长为2，则 的离心率为
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】由几何关系可得，双曲线 的渐近线方程为 ，圆心 到
渐近线距离为 ，则点 到直线 的距离为 ，
即 ，整理可得 ，双曲线的离心率 ．故选A．
点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有
两种方法：①求出a，c，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，
解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
14．（2017·全国·高考真题）若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， ，
， ， ，则 ，选C.
15．（2016·浙江·高考真题）已知椭圆C ： +y2=1（m＞1）与双曲线C ： –y2=1（n＞0）的焦点重合，
1 2
e ，e 分别为C ，C 的离心率，则
1 2 1 2
A．m＞n且e e ＞1 B．m＞n且e e ＜1 C．m＜n且e e ＞1
1 2 1 2 1 2
D．m＜n且e e ＜1
1 2
【答案】A
【详解】试题分析：由题意知 ，即 ，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，
又 = ，故 ．故选A．
【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质．
【易错点睛】计算椭圆 的焦点时，要注意 ；计算双曲线 的焦点时，要注意 ．否
则很容易出现错误．
16．（2016·全国·高考真题）（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F，F 是双曲线E： 的左，右焦
1 2
点，点M在E上，M F 与 轴垂直，sin ,则E的离心率为
1
A． B．
C． D．2
【答案】A
【详解】试题分析：由已知可得 ，故选A.
考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.
【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，
考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式，
可以降低计算量，提高解题速度.
17．（2015·广东·高考真题）已知双曲线C： ﹣ =1的离心率e= ，且其右焦点为F （5，0），则双曲
2
线C的方程为
A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1
【答案】C
【详解】试题分析：利用已知条件，列出方程，求出双曲线的几何量，即可得到双曲线方程．
解：双曲线C： ﹣ =1的离心率e= ，且其右焦点为F （5，0），
2
可得： ，c=5，∴a=4，b= =3，
所求双曲线方程为： ﹣ =1．
故选C．
点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
18．（2015·湖南·高考真题）若双曲线 的一条渐近线经过点 ，则此双曲线的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为双曲线 的一条渐近线经过点（3，-4），
故选D.
考点：双曲线的简单性质
【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破
口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线 共渐近线的可设为 ；
（2）若渐近线方程为 ，则可设为 ；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 ；（4） 的一条渐近线的斜率为 .可以看出，双曲线的
渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是
确定极端或极限位置.
19．（2015·湖北·高考真题）将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时增加
个单位长度，得到离心率为 的双曲线 ，则
A．对任意的 ，
B．当 时， ；当 时，
C．对任意的 ，
D．当 时， ；当 时，
【答案】D
【详解】依题意， ， ，
因为 ，由于 ， ， ，
所以当 时， ， ， ， ，所以 ；
当 时， ， ，而 ，所以 ，所以 ．
所以当 时， ；当 时， ．
考点：双曲线的性质，离心率．
20．（2015·全国·高考真题）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且
顶角为120°，则E的离心率为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设双曲线方程为 ，如图所示， ， ，过点 作
轴，垂足为 ，在 中， ， ，故点 的坐标为 ，代入双曲
线方程得 ，即 ，所以 ，故选D．
考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．21．（2015·山东·高考真题）已知 是双曲线 （ ， ）的左焦点，点 在双曲线上，直
线 与 轴垂直，且 ，那么双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】易得 的坐标为 ，设 点坐标为 ，求得 ，由 可得 ，
然后由a，b，c的关系求得 ，最后求得离心率即可.
【详解】 的坐标为 ，设 点坐标为 ，
易得 ，解得 ，
因为直线 与 轴垂直，且 ，
所以可得 ，则 ，即 ，
所以 ，离心率为 ．
故选：A.
二、填空题
22．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平
行于 轴的直线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出 ，结合双曲线第一定义求出 ，即可得到 的值，
从而求出离心率.
【详解】由题可知 三点横坐标相等，设 在第一象限，将 代入
得 ，即 ，故 ， ，又 ，得 ，解得 ，代入 得 ，
故 ，即 ，所以 .
故答案为：
23．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在
上，点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 关于 的表达式，
从而利用勾股定理求得 ，进而利用余弦定理得到 的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 ， ，将点 代入双曲线
得到关于 的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，
故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
理得到关于 的齐次方程，从而得解.
24．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出双曲线 的实半轴、虚半轴长，再写出 的方程作答.
【详解】令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x轴上，其半
焦距 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ，
所以双曲线 的方程为 .故答案为：
25．（2022·全国甲卷·高考真题）记双曲线 的离心率为e，写出满足条件“直线
与C无公共点”的e的一个值 ．
【答案】2（满足 皆可）
【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线 中 即可求得满足要求的e值.
【详解】解： ，所以C的渐近线方程为 ,
结合渐近线的特点，只需 ，即 ，
可满足条件“直线 与C无公共点”
所以 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为：2（满足 皆可）
26．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双
曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是
．
【答案】
【分析】联立直线 和渐近线 方程，可求出点 ，再根据 可求得点 ，最后根据
点 在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，
联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 .
故答案为： ．27．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）若双曲线 的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程
.
【答案】
【分析】根据离心率得出 ，结合 得出 关系，即可求出双曲线的渐近线方程.
【详解】解：由题可知，离心率 ，即 ，
又 ，即 ，则 ，
故此双曲线的渐近线方程为 .
故答案为： .
28．（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点 与双曲线 的左焦点
重合，若两曲线相交于 ， 两点，且线段 的中点是点 ，则该双曲线的离心率等于 .
【答案】
【分析】利用抛物线的性质，得到M的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解.
【详解】由题意知：
抛物线方程为：
在抛物线上，所以
在双曲线上，
，又 ，
故答案为：
29．（2020·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 ﹣ =1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是 .
【答案】
【分析】根据渐近线方程求得 ，由此求得 ，进而求得双曲线的离心率.
【详解】双曲线 ，故 .由于双曲线的一条渐近线方程为 ，即 ，所
以 ，所以双曲线的离心率为 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
30．（2020·全国·高考真题）设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为
．
【答案】
【分析】根据已知可得 ，结合双曲线中 的关系，即可求解.
【详解】由双曲线方程 可得其焦点在 轴上，
因为其一条渐近线为 ，
所以 ， .
故答案为：
【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所
在位置，属于基础题.
31．（2020·全国·高考真题）已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为C上
的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
【答案】2
【分析】根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求解即可．
【详解】联立 ，解得 ，所以 .依题可得， ， ，即 ，变形得 ， ,
因此，双曲线 的离心率为 .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题．
32．（2019·全国·高考真题）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F，F，过F 的直线
1 2 1
与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为 ．
【答案】2.
【分析】通过向量关系得到 和 ，得到 ，结合双曲线的渐近线可得
从而由 可求离心率.
【详解】如图，
由 得 又 得OA是三角形 的中位线，即 由
，得 则 有 ，
又OA与OB都是渐近线，得 又 ，得
．又渐近线OB的斜率为 ，所以该双曲线的离心率为
．
【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．
采取几何法，利用数形结合思想解题．
33．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的右焦点 到
一条渐近线的距离为 ，则其离心率的值是 ．
【答案】2
【详解】分析：先确定双曲线的焦点到渐近线的距离，再根据条件求离心率.详解：因为双曲线的焦点 到渐近线 即 的距离为 所以 ，
因此
点睛：双曲线的焦点到渐近线的距离为b，焦点在渐近线上的射影到坐标原点的距离为a.
34．（2018·北京·高考真题）已知椭圆 ，双曲线 ．若双曲线N的两条
渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为
；双曲线N的离心率为 ．
【答案】 2
【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中 关系，即得双曲线N的离心率；
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，解得椭圆M
的离心率.
【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法
由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为 ，再根据椭圆定义得 ，所以椭圆M
的离心率为
双曲线N的渐近线方程为 ，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为 ，
故答案为： ； ．
［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率
设双曲线 的一条渐近线 与椭圆 在第一象限的交点为 ，椭圆的右焦点
为 ．由题可知， 为正六边形相邻的两个顶点，所以 （O为坐标原点）．
所以 ．因此双曲线的离心率 ．由 与 联立解得 ．
因为 是正三角形，所以 ，因此，可得 ．
将 代入上式，化简、整理得 ，即 ，解得 ，
（舍去）．
所以，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为2．
故答案为： ； ．
［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形
由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为 ，于是双曲线N的离心率为 ．
设双曲线 的一条渐近线与椭圆 在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为
．在 中， ．
由正弦定理得 ．
于是 ．
即椭圆的离心率 ．
故答案为： ； ．
【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解；
方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算
较为复杂；
方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率．
35．（2018·北京·高考真题）若双曲线 的离心率为 ，则a= .
【答案】4
【详解】分析：根据离心率公式 ，及双曲线中 的关系可联立方程组，进而求解参数 的值.
详解：在双曲线中， ，且点睛：此题考查双曲线的基本知识，离心率是高考对于双曲线考查的一个重要考点,根据双曲线的离
心率求双曲线的标准方程及双曲线的渐近线都是常见的出题形式，解题的关键在于利用公式
，找到 之间的关系.
36．（2017·全国·高考真题）已知双曲线 ： 的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作
圆 ，圆 与双曲线 的一条渐近线于交 、 两点，若 ，则 的离心率为 ．
【答案】
【详解】如图所示，
由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，
∵∠MAN=60°，
∴|AP|= b，
∴|OP|= ．
设双曲线C的一条渐近线y= x的倾斜角为θ，则tan θ= ．
又tan θ= ，
∴ ，解得a2=3b2，
∴e= ．
答案：点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量
的方程或不等式，再根据 和 转化为关于离心率e的方程或不等式，通过解方程或不
等式求得离心率的值（或取值范围）．
37．（2017·北京·高考真题）若双曲线 的离心率为 ，则实数 ．
【答案】2
【详解】 ， .渐近线方程是 .
38．（2016·山东·高考真题）已知双曲线E： – =1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，
AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 ．
【答案】
【详解】试题分析：不妨设 ，所以 ，由 及 ，
得： ，两边同除以 ，则有 ，解方程得， （舍去），所以应该填 ．
考点：双曲线的简单几何性质．
39．（2015·山东·高考真题）过双曲线 的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，
交 于点 .若点 的横坐标为 ,则 的离心率为 .
【答案】
【详解】双曲线 的右焦点为 .不妨设所作直线与双曲线的渐近线 平行，其方程为
，代入 求得点 的横坐标为 ，由 ，得 ，解之
得 ， （舍去，因为离心率 ），故双曲线的离心率为 .
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线方程.
40．（2015·山东·高考真题）平面直角坐标系 中，双曲线 的渐近线与抛物线
交于点 .若 的垂心为 的焦点，则 的离心率为
【答案】【详解】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为 ,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为: .因为 是 的垂心，所以 ,
所以， .
所以， .
考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.
41．（2015·湖南·高考真题）设F是双曲线C： － ＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线
段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为 ．
【答案】
【详解】试题分析：根据对称性，不妨设 ，短轴端点为 ，从而可知点 在双曲线上，
∴ .
考点：双曲线的标准方程及其性质.
【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行
等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用 ，焦点坐标，渐近线方程等性
质，
也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.
考点06 直线与圆锥曲线的位置关系及其应用
1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，直线 与C
交于A，B两点，若 面积是 面积的2倍，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】C【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用 ，求出 范围，再根据三角形面积比得到关于 的方
程，解出即可.
【详解】将直线 与椭圆联立 ，消去 可得 ，
因为直线与椭圆相交于 点，则 ，解得 ，
设 到 的距离 到 距离 ，易知 ，
则 ， ，
，解得 或 （舍去），
故选：C.
2．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，然后
消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数
的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的
长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量
的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
3．（2020·全国·高考真题）设双曲线C： （a>0，b>0）的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为
1 2
．P是C上一点，且F P⊥F P．若△PF F 的面积为4，则a=（ ）
1 2 1 2
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，三角形面积公式，勾股定理，结合离心率公式，即可得出答案.
【详解】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了双曲线的性质以及定义的应用，涉及了勾股定理，三角形面积公式的应用，属于
中档题.
4．（2020·全国·高考真题）设 为坐标原点，直线 与抛物线C： 交于 ， 两点，
若 ，则 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定
出点 的坐标，代入方程求得 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，
点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.5．（2020·全国·高考真题）设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在 上且
，则 的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【分析】由 是以P为直角直角三角形得到 ，再利用双曲线的定义得到
，联立即可得到 ，代入 中计算即可.
【详解】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，
是一道中档题.
6．（2020·全国·高考真题）设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别
交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得 ，
两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据 ，结合均值不等式，
即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7．（2019·全国·高考真题）已知 是双曲线 的一个焦点，点 在 上， 为坐标原点，若
，则 的面积为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，因为 再结合双曲线方程可解出 ，再利用三角形面积公式可求出结果.
【详解】设点 ，则 ①．
又 ，
②．
由①②得 ，即 ，
，
故选B．
【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．
8．（2017·全国·高考真题）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为 的直线交C于点M(M在x轴的上方)，
l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】联立方程解得M(3， )，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，
计算距离得到答案.
【详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝ (x－1)．由 得x＝ 或x＝3.
由M在x轴的上方得M(3， )，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4
又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形
点M到直线NF的距离为
故选：C.
【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.
9．（2018·全国·高考真题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与C交于
M，N两点，则 =
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消
元化简，求得两点 ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公
式，求得 ，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为 的直线方程为 ，
与抛物线方程联立 ，消元整理得： ，
解得 ，又 ，
所以 ，从而可以求得 ，故选D.
【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首
先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出 ，之
后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐
标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
10．（2016·四川·高考真题）设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点，
是线段 上的点，且 ,则直线 的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】方法一：设 ，根据题意求出点 的坐标，再根据基本不等式即可求出．
【详解】［方法一］：【最优解】直接法
设 ，由题意知 ，显然 时不符合题意，故 ，则
，可得：
，当且仅当 时取等号．
故选：C．
［方法二］：参数法
由题意可知： ，设 点坐标为 ， 点坐标为 .
,则 ，即 ，，当且仅当 等号成立.
则直线 斜率的最大值 ．
故选：C．
［方法三］：几何法
由题意可知： ， 点坐标为 ， 点坐标为 ，作点 关于点 的对称点 ，
由已知可得点 为 重心，坐标为
，当且仅当 等号成立.
则直线 斜率的最大值 ．
故选：C．
［方法四］：方程法
由题意可知： ，设 点坐标为 ， 点坐标为 .
易知直线 的斜率最大时， ， ，则 ，
可得 ，即
点 的轨迹方程为： 与 联立
可得 ，，则直线 斜率的最大值 ．
故选：C．
【整体点评】方法一：设出点 的坐标，再求出点 坐标，根据基本不等式求出最值，简单高效，是该题
的通性通法，也是最优解；
方法二：同方法一几乎一致，只是设点 的坐标形式与方法一不同；
方法三：构造三角形，利用三角形重心性质求出点 坐标，再基本不等式求出最值；
方法四：先求出点 的轨迹方程，根据直线与抛物线的位置关系解出．
11．（2015·全国·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线
的焦点
重合， 是C的准线与E的两个交点，则
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：抛物线 的焦点为 所以椭圆的右焦点为 即 且
椭圆的方程为 抛物线准线为 代入椭圆方程中得
故选B.
考点：1、抛物线的性质；2、椭圆的标准方程．
二、填空题
12．（2024·北京·高考真题）若直线 与双曲线 只有一个公共点，则 的一个取值为
．
【答案】 （或 ，答案不唯一）
【分析】联立直线方程与双曲线方程，根据交点个数与方程根的情况列式即可求解.
【详解】联立 ，化简并整理得： ，
由题意得 或 ，
解得 或无解，即 ，经检验，符合题意.
故答案为： （或 ，答案不唯一）.
13．（2023·天津·高考真题）已知过原点O的一条直线l与圆 相切，且l与抛物线交于点 两点，若 ，则 ．
【答案】
【分析】根据圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，即可根
据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出．
【详解】易知圆 和曲线 关于 轴对称，不妨设切线方程为 ， ，
所以 ，解得： ，由 解得： 或 ，
所以 ，解得： ．
当 时，同理可得．
故答案为： ．
14．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知直线l与椭圆 在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴
分别交于M，N两点，且 ，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，设直线 ，
， ，求出 、 的坐标，再根据 求出 、 ，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令 的中点为 ，设 ， ，利用点差法得到 ，
设直线 ， ， ，求出 、 的坐标，
再根据 求出 、 ，即可得解；
解：令 的中点为 ，因为 ，所以 ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即
所以 ，即 ，设直线 ， ， ，
令 得 ，令 得 ，即 ， ，所以 ，
即 ，解得 或 （舍去），
又 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以直线 ，即 ；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点 既为线段 的中点又是线段MN的中点，
设 ， ，设直线 ， ， ，
则 ， ， ，因为 ，所以
联立直线AB与椭圆方程得 消掉y得
其中 ，
∴AB中点E的横坐标 ,又 ，∴
∵ ， ，∴ ,又 ，解得m=2
所以直线 ，即15．（2021·全国甲卷·高考真题）已知 为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点
对称的两点，且 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【分析】根据已知可得 ，设 ，利用勾股定理结合 ，求出 ，四边形
面积等于 ，即可求解.
【详解】因为 为 上关于坐标原点对称的两点，
且 ，所以四边形 为矩形，
设 ，则 ，
所以 ，
，即四边形 面积等于 .
故答案为： .
16．（2020·山东·高考真题）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =
．
【答案】
【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y并
整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.
【详解】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
17．（2019·浙江·高考真题）已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段
的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是 .
【答案】
【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示成圆的方程，与椭圆方程联
立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.
【详解】方法1：由题意可知 ，
由中位线定理可得 ，设 可得 ，
联立方程
可解得 （舍），点 在椭圆上且在 轴的上方，
求得 ，所以
方法2：焦半径公式应用
解析1：由题意可知 ，
由中位线定理可得 ，即求得 ，所以 .
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是
解答解析几何问题的重要途径.
18．（2018·全国·高考真题）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于
， 两点．若 ，则 ．
【答案】2
【分析】方法一：利用点差法得到AB的斜率，结合抛物线定义可得结果.
【详解】［方法一］：点差法
设 ，则 ，所以
所以 ，
取AB中点 ,分别过点A,B作准线 的垂线，垂足分别为
因为 , ，
因为 为AB中点，所以 平行于x轴，
因为M(-1,1)，所以 ，则 即 ．
故答案为：2.
［方法二］：【最优解】焦点弦的性质
记抛物线的焦点为F，因为 ，则以 为直径的圆与准线相切于点M，由抛物线的焦点弦性质
可知 ，所以 ．
［方法三］： 焦点弦性质+韦达定理
记抛物线的焦点为F，因为 ，则以 为直径的圆与准线相切于点M，记 中点为N，则
，设 ，代入 中，得 ，所以 ，得 ，所以
．
［方法四］：【通性通法】暴力硬算
由题知抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程为 ，代入 中得
，设 ，则 ，同理有 ，
由 ，即 ．又 ，所以，得 ．
［方法五］：距离公式+直角三角形的性质
设直线为 ，与 联立得 ，则 从而
，可得 的中点 ，所以 ．
又由弦长公式知 ．
由 得 ，解得 ，所以 ．
［方法六］：焦点弦的性质应用
由题可知，线段 为抛物线的焦点弦， ，由于以抛物线的焦点弦为直径的圆必与准线相切，
又点M恰为抛物线准线上的点，因此，以 为直径的圆必与准线相切于点M．
过点M作平行于 轴的直线交 于点N，则N为圆心．
设 ，则 ．
又因为 ，所以联立解得 ．将 的值代入 中求得 ．
因为抛物线C的焦点 ，所以 ．
【整体点评】方法一：根据点差法找出直线 的斜率与 两点纵坐标的关系，再根据抛物线定义求出
中点坐标，从而解出；
方法二：直接根据焦点弦的性质解出，是该题的最优解；
方法三：根据焦点弦性质可知，直线过点 ，再根据韦达定理求出直线 的斜率；
方法四：直接设出直线方程，联立运算，属于解决直线与抛物线位置关系问题的通性通法，思路直接，运
算复杂；
方法五：反设直线，再通过联立，利用直角三角形的性质求解，运算较复杂；
方法六：利用焦点弦的性质直接求出其中一点的坐标，再根据斜率公式求出．
考点07 曲线方程及曲线轨迹
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）（多选）设计一条美丽的丝带,其造型 可以看作图中的曲线C的一部分.
已知C过坐标原点O.且C上的点满足:横坐标大于 ，到点 的距离与到定直线 的距离之
积为4，则（ ）A． B．点 在C上
C．C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D．当点 在C上时，
【答案】ABD
【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求 ，故可判断A的正误，结合曲线方程可判断B的正误，利
用特例法可判断C的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D的正误.
【详解】对于A：设曲线上的动点 ，则 且 ，
因为曲线过坐标原点，故 ，解得 ，故A正确.
对于B：又曲线方程为 ，而 ，
故 .
当 时， ，
故 在曲线上，故B正确.
对于C：由曲线的方程可得 ，取 ，
则 ，而 ，故此时 ，
故 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误.
对于D：当点 在曲线上时，由C的分析可得 ，
故 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等
来处理.2．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C： （ ），从C上任意一点P向x轴作垂线段
， 为垂足，则线段 的中点M的轨迹方程为（ ）
A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ）
【答案】A
【分析】设点 ，由题意，根据中点的坐标表示可得 ，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点 ，则 ，
因为 为 的中点，所以 ，即 ，
又 在圆 上，
所以 ，即 ，
即点 的轨迹方程为 .
故选：A
3．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 .若 成等比
数列，则平面上点 的轨迹是（ ）
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【答案】C
【分析】首先利用等比数列得到等式，然后对所得的等式进行恒等变形即可确定其轨迹方程.
【详解】由题意得 ，即 ，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以 或 ，
其中 为双曲线， 为直线.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹方程，关键之处在于由题意对所得的等式进行恒等变形，提现了核心素养中的逻辑推理素养和数学运算素养，属于中等题.
4．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知曲线 .（ ）
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【分析】结合选项进行逐项分析求解， 时表示椭圆， 时表示圆， 时表示双曲线，
时表示两条直线.
【详解】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算
的核心素养.
5．（2020·全国·高考真题）在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.
【详解】设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故选：A.
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能
力和计算求解能力.
6．（2019·北京·高考真题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C： 就是其中
之一（如图）.给出下列三个结论：
①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 ；
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中，所有正确结论的序号是
A．① B．② C．①② D．①②③
【答案】C
【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到
坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.【详解】由 得, , ,
所以 可为的整数有0,-1,1,从而曲线 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,
结论①正确.
由 得, ,解得 ,所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 .
结论②正确.
如图所示,易知 ,
四边形 的面积 ,很明显“心形”区域的面积大于 ,即“心形”区域的面
积大于3,说法③错误.
故选C.
【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算
能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.
7．（2016·四川·高考真题）在平面直角坐标系中，当 不是原点时，定义 的“伴随点”为
，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
①若点A的“伴随点”是点 ，则点 的“伴随点”是点 .
②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称
④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．
其中的真命题是 ．
【答案】②③
【详解】对于①，若令 ，则其伴随点为 ，
而 的伴随点为 ，而不是 ，故错误；
对于②，设曲线 关于 轴对称，则 对曲线 表示同一曲线，
其伴随曲线分别为 与 也表示同一曲线，
又因为其伴随曲线分别为 与 的图象关于 轴对称，所以正确；
③令单位圆上点的坐标为 其伴随点为 仍在单位圆上，
故正确；
对于④，直线 上取点后得其伴随点 消参后轨迹是圆，
故错误.
故答案为：②③.
8．（2015·山东·高考真题）关于 ， 的方程 ，给出以下命题；
①当 时，方程表示双曲线；②当 时，方程表示抛物线；③当 时，方程表示椭圆；④当
时，方程表示等轴双曲线；⑤当 时，方程表示椭圆．
其中，真命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据曲线方程，讨论m的取值确定对应曲线的类别即可.
【详解】当 时，方程表示双曲线；
当 时，方程表示两条垂直于 轴的直线；
当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆；
当 时，方程表示圆；
当 时，方程表示焦点在 轴上的椭圆．
∴①③⑤正确.
故答案为：B
9．（2015·浙江·高考真题）如图，斜线段 与平面 所成的角为 ， 为斜足，平面 上的动点 满足
，则点 的轨迹是
A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支
【答案】C
【详解】用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一
条母线平行时，得到抛物线．
此题中平面 上的动点 满足 ，可理解为 在以 为轴的圆锥的侧面上，
再由斜线段 与平面 所成的角为 ，可知 的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．
故可知动点 的轨迹是椭圆．
故选C.
考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.
考点08 圆锥曲线中的最值及范围问题
1．（2021·全国乙卷·高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再
构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得
，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该
不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论
函数的单调性从而确定最值．
2．（2021·全国乙卷·高考真题）设B是椭圆 的上顶点，点P在C上，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】设点 ，由依题意可知， ， ，再根据两点间的距离公式得到 ，然后
消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】设点 ，因为 ， ，所以
，
而 ，所以当 时， 的最大值为 ．
故选：A．
【点睛】本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数
的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的
长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量
的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
3．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知 ， 是椭圆 ： 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为（ ）
A．13 B．12 C．9 D．6
【答案】C
【分析】本题通过利用椭圆定义得到 ，借助基本不等式 即
可得到答案．
【详解】由题， ，则 ，
所以 （当且仅当 时，等号成立）．
故选：C．
【点睛】
4．（2020·全国·高考真题）设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐近线分别
交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B
【分析】因为 ，可得双曲线的渐近线方程是 ，与直线 联立方程求得 ，
两点坐标，即可求得 ，根据 的面积为 ，可得 值，根据 ，结合均值不等式，
即可求得答案.
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限
联立 ，解得
故
联立 ，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当 取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求
最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
5．（2018·浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足 ，则当m=
时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【分析】方法一：先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关
于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出.【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质
设 ，由 得
因为A,B在椭圆上,所以 ，即 ，与
相减得： ，所以，
，当且仅当 时取最等号，即 时，点B横坐标的绝对值
最大.
故答案为：5．
［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理
由条件知直线 的斜率存在，设 ，直线 的方程为 ，联立
得 ，根据韦达定理得 ，由 知 ，
代入上式解得 ，所以 ．此时 ，又
，解得 ．
［方法三］：直线的参数方程+基本不等式
设直线 的参数方程为 其中t为参数， 为直线 的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得
，设点A，B对应的参数分别为 ，则 ．由韦达定理知
，解得 ，所以
，此时
，即 ，代入 ，解得 ．
［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质
设 ，因为 ，所以 ．
即 ①， ②，
又因为 ，所以 ．不妨设 ，因此 ，代入②式可得 ．化简整理得
．
由此可知，当 时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．
所以 ．
［方法五］：【最优解】仿射变换
如图1，作如下仿射变换 ，则 为一个圆．
根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点 的横坐标的绝对值最大，则
．
当 时等号成立，根据 易得 ，此时 ．
［方法六］：中点弦性质的应用
设 ，由 可知 ，则 中点 ．因为 ，所以
，整理得 ，由于 ，则 时， ，所以 ．
【整体点评】方法一：由题意中点 的坐标关系，以及点差法可求出点 的横、纵坐标，从而可以根据
二次函数的性质解出；
方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点 的横坐标，然后利用基本不等式求出
最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；
方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点 的横坐标，再利用基本不
等式求出最值，由取等条件得解；
方法四：利用题目条件硬算求出点 的横坐标，再根据二次函数的性质解出；
方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，
从而解出，计算难度小，是该题的最优解；
方法六：利用中点弦的性质找出点 的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点 的横坐标的绝对
值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法．6．（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l ，l ，直线l
1 2 1
与C交于A、B两点，直线l 与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
2
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】A
【详解】设 ，直线 的方程为 ，联立方程 ，
得 ，∴ ，同理直线 与抛物线的交点满足
，由抛物线定义可知
，当且仅当 （或 ）时，取等号.
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直
线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到
用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为 ，则
，则 ，所以
.
7．（2017·全国·高考真题）（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A，B是椭圆C： 长轴的两个端点，
若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】当 时，焦点在 轴上，要使C上存在点M满足 ，则 ，
即 ，得 ；当 时，焦点在 轴上，要使C上存在点M满足 ，则
，即 ，得 ，故 的取值范围为 ，选A．
点睛:本题设置的是一道以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题的关键是利用条件确定
的关系，求解时充分借助题设条件 转化为 ，这是简化本题求解过程的一个重要措施，同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论．
8．（2017·全国·高考真题）若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ， ，
， ， ，则 ，选C.
9．（2016·四川·高考真题）设 为坐标原点， 是以 为焦点的抛物线 上任意一点， 是
线段 上的点，且 ,则直线 的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】方法一：设 ，根据题意求出点 的坐标，再根据基本不等式即可求出．
【详解】［方法一］：【最优解】直接法
设 ，由题意知 ，显然 时不符合题意，故 ，则
，可得：
，当且仅当 时取等号．
故选：C．
［方法二］：参数法
由题意可知： ，设 点坐标为 ， 点坐标为 .,则 ，即 ，
，当且仅当 等号成立.
则直线 斜率的最大值 ．
故选：C．
［方法三］：几何法
由题意可知： ， 点坐标为 ， 点坐标为 ，作点 关于点 的对称点 ，
由已知可得点 为 重心，坐标为
，当且仅当 等号成立.
则直线 斜率的最大值 ．
故选：C．
［方法四］：方程法
由题意可知： ，设 点坐标为 ， 点坐标为 .
易知直线 的斜率最大时， ， ，则 ，可得 ，即
点 的轨迹方程为： 与 联立
可得 ，
，则直线 斜率的最大值 ．
故选：C．
【整体点评】方法一：设出点 的坐标，再求出点 坐标，根据基本不等式求出最值，简单高效，是该题
的通性通法，也是最优解；
方法二：同方法一几乎一致，只是设点 的坐标形式与方法一不同；
方法三：构造三角形，利用三角形重心性质求出点 坐标，再基本不等式求出最值；
方法四：先求出点 的轨迹方程，根据直线与抛物线的位置关系解出．
10．（2016·全国·高考真题）已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，
则n的取值范围是
A．(–1,3) B．(–1, ) C．(0,3) D．(0, )
【答案】A
【详解】由题意知：双曲线的焦点在 轴上，所以 ，解得 ，因为方程
表示双曲线，所以 ，解得 ，所以 的取值范围是 ，故选A．
【考点】双曲线的性质
【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距
是2c而不是c,这一点易出错.
11．（2016·浙江·高考真题）设双曲线x2– =1的左、右焦点分别为F ，F ．若点P在双曲线上，且△F PF
1 2 1 2
为锐角三角形，则|PF |+|PF |的取值范围是 ．
1 2
【答案】 ．
【详解】试题分析：由已知得 ，则 ，设 是双曲线上任一点，由对称性不
妨设 在双曲线的右支上，则 ， ， ， 为锐角，则
，即 ，解得 ，所以 ，则
．【考点】双曲线的几何性质.
【思路点睛】先由对称性可设点 在右支上，进而可得 和 ，再由 为锐角三角形可得
，进而可得 的不等式，解不等式可得 的取值范围．
12．（2015·上海·高考真题）抛物线 上的动点 到焦点的距离的最小值为1，则
.
【答案】2
【详解】设点 点的坐标为 ，根据抛物线的定义，可得 ，
当 时， 取得最小值 ，解得 ．
考点：抛物线的性质，最值.
13．（2015·全国·高考真题）已知 是双曲线 ： 上的一点， ， 是 的两个焦点，
若 ，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知 ， ，所以 = =
，解得 ，故选A.
考点：双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.
14．（2015·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中， 为双曲线 右支上的一个动点．若点
到直线 的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为
【答案】
【详解】设 ，因为直线 平行于渐近线 ，所以点 到直线 的
距离恒大于直线 与渐近线 之间距离，因此c的最大值为直线 与渐近线
之间距离，为
考点：双曲线渐近线，恒成立转化
