文档内容
河南省实验中学 2023——2024学年上期期中试卷
高三 数学 命题人：丁振楠 审题人：程建辉
（时间:120分钟，满分:150分）
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只
有一个选项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知单位向量 与单位向量 的夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3． 的展开式中， 的系数为（ ）
A．200 B．40 C．120 D．80
4．已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若该圆锥底面圆的半径
为1，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，A是双曲
线C的左顶点，以 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线相交于P，Q两点，且
，则双曲线C的离心率为（ ）
高三 数学 第1页 （共4页）A． B． C．2 D．
6．若 ，且 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．设 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A． B．若 互为共轭复数，则
C．若 ，则 D．若 为纯虚数，则
10．已知 ，且 则（ ）
A． B． 的最大值为4
C． 的最小值为9 D． 的最小值为
高三 数学 第2页 （共4页）11．已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 的值域为
C． 的最小正周期为 D． 的图象关于直线 对称
12．已知抛物线C： 与圆O： 交于A，B两点，且 ，
直线 过C的焦点F，且与C交于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．若直线 的斜率为 ，则
B． 的最小值为
C．若以MF为直径的圆与y轴的公共点为 ，则点M的横坐标为
D．若点 ，则 周长的最小值为
三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．数列 的前 项和为 ，若 ， ( )，则
14．若将 名志愿者安排到三个学校进行志愿服务，每人只去一个学校，每个学校至
少去一人，则不同的分配方案共有 种.（用数字作答）
15．在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形， 平面 ，若 ，
四点都在表面积为 的球的球面上，则三棱锥 的体积为 .
16．设 ，则下列说法正确的是 .
① ； ②若 在定义域内单调，则 ；
③若 ，则 恒成立； ④若 ，则 的所有零点之和为 .
高三 数学 第3页 （共4页）四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算骤.
17．在 中， （其中 分别为
的对边）．
(1)求 的大小；
(2)若 ， ，求 的周长．
18．对数列 ，记 为数列 的前n项交替和；
(1)若 ，求 的前n项交替和 ；
(2)若数列 的前n项交替和为 ，求 的前n项和.
19．如图，在四棱锥 中，四边形 是菱
形， ， ， ，
点 是棱 的中点．
(1)证明： ；
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值．
20．某社区为鼓励社区居民积极参与体育运动，组织社区居民参加有奖投篮比赛，已知
某居民甲每次在罚球点投进的概率均为 ．
(1)甲在罚球点连续投篮6次(假设每次投篮相互独立)，设恰好投进4次的概率为 ，
若 时， 取得最大值，求 ；
(2)现有两种投篮比赛规则，规则一：在罚球点连续投篮6次，每次投篮相互独立，每次
高三 数学 第4页 （共4页）在罚球点投进的概率均为（1）中 的值，每投进一次，奖励10元代金券；规则二：连
续投篮2次，第一次在罚球点投篮，每次在罚球点投进的概率均为（1）中 的值，若前
次投进，则下一次投篮位置不变，投进概率也不变，若前次未投进，则下次投篮要后退
2米，投进概率变为上次投进概率的一半，每投进一次，奖励40元代金券．以获得代金
券金额的期望为依据，分析甲应选哪种比赛规则．
21．已知椭圆 的离心率为 分别是 的左、右顶点， 是
的右焦点，过点 作直线 与 交于 (异于 )两点，且当 轴时，
的面积为 .
（1）求 的标准方程;
（2）设直线 与直线 交于点 ，求证:点 在一条定直线上.
22．已知 ；
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
高三 数学 第5页 （共4页）
