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绵阳南山中学实验学校高 2021 级高三（上）一诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
4. 已知命题 ： ，使得 成立为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A. B.
C. D.
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学科网（北京）股份有限公司6. 执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为17，则输入的最小整数 的值为（ ）
A. 9 B. 12 C. 14 D. 16
7. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它
使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现
电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量 、放电时间 和放电电流
之间关系的经验公式： ，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不
变的条件下，当放电电流为 时，放电时间为 ；当放电电流为 时，放电时间为 ，则该萻
电池的Peukert常数 约为（ ）（参考数据： ， ）
A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15
8. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
9. 函数 的大致图象为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C.
D.
10. 设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 取值范围是（ ）
的
A. B. C. D.
11. 已知函数 .若过点 可以作曲线 三条切线，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数 ，函数 恰有5个零点，则m 取值范围是（
的
）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
.
13 已知向量 ．若 ，则 ________．
14. 如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角
，C 点的仰角 以及 ；从 C 点测得 ．已知山高
m，则山高 ______m．
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知等比数列 的前3项和为 ，则 ___________.
的
16. 已知函数 是 奇函数，对任意 ，都有 成立，当 ，
且 时，都有 ，有下列命题
① ②直线 是函数 图象的一条对称轴
③函数 在 上有5个零点 ④函数 在 上为减函数
则结论正确的有____________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知函数 的部分图象，如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐
标不变，得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域.
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学科网（北京）股份有限公司18. 已知数列 的前n项和为 ， ，且 ． ，
．
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和 ．
19. 记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上，
.
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
20. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
21. 已知函数
（1）当 时，求曲线 在点 处 的切线方程；
（2）若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第
一题记分．
选修4—4：坐标系与参考方程
22. 在直角坐标系 中，曲线M的方程为 ，曲线N的方程为 ，以坐标原点O为极
点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线M，N的极坐标方程；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若射线 与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且
，求 ．
选修4—5：不等式选讲
23. 已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）设函数 的最小值为m，且正实数a，b，c满足 ，求证：
．
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