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绵阳南山中学实验学校高 2021 级高三（上）一诊模拟考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在
本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. 设全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解一元二次不等式,化简集合A,再利用数轴进行集合的补集和交集运算可得.
【详解】解一元二次不等式化简集合A,得 ,
由 得 ,
所以 .
故选D.
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合的交集和补集运算,用数轴运算补集和交集时,注意空心点
和实心点的问题,属基础题.
2. 若复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由复数的四则运算结合共轭复数的概念求解.
【详解】由 ，得 ．
故选：C
3. 设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差数列的性质求出 ，再根据等差数列前n项和公式即可得解.
【详解】由题意得 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
4. 已知命题 ： ，使得 成立为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当 时，命题为真命题，当 时，需 ，最
后综合讨论结果，可得答案．
【详解】命题 为真命题等价于不等式 有解．
当 时，不等式变形为 ，则 ，符合题意；
当 时， ，解得 ；
当 时，总存在 ，使得 ；
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学科网（北京）股份有限公司综上可得实数 的取值范围为 ．
故选：B
5. 在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用
向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，
下一步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加
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学科网（北京）股份有限公司法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
6. 执行如图所示的程序框图，若输出的a的值为17，则输入的最小整数 的值为（ ）
A. 9 B. 12 C. 14 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】根据流程框图代数进行计算即可，当进行第四次循环时发现输出的 值恰好满足题意，然后停止
循环求出 的值.
【详解】第一次循环， ， 不成立；
第二次循环， ， 不成立；
第三次循环， ． 不成立；
第四次循环， ， ，成立，
所以 ，输入的最小整数t的值为9．
故选：A
7. 纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通､安全法规各项要求的车辆，它
使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现
电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量 、放电时间 和放电电流
之间关系的经验公式： ，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不
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学科网（北京）股份有限公司变的条件下，当放电电流为 时，放电时间为 ；当放电电流为 时，放电时间为 ，则该萻
电池的Peukert常数 约为（ ）（参考数据： ， ）
A. 1.12 B. 1.13 C. 1.14 D. 1.15
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得 ，再结合对数式与指数式的互化及换底公式即可求解．
【详解】由题意知 ，
所以 ，两边取以10为底的对数，得 ，
所以 ．
故选：D．
8. 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二倍角公式可得 ，再结合已知可求得 ，利用同角三
角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ，解得 ，
， .
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出 .
9. 函数 的大致图象为（ ）
A B. C.
.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可
【详解】因为 ， ，
所以 为偶函数，所以函数图象关于 轴对称，所以排除A，C选项；
又 ，所以排除B选项，
故选：D．
10. 设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由 的取值范围得到 的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．
【详解】解：依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：
则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
11. 已知函数 .若过点 可以作曲线 三条切线，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】切点为 ，利用导数的几何意义求切线的斜率，设切线为： ，
可得 ，设 ，求 ，利用导数求 的单调性和极值，切线的条数即为
直线 与 图象交点的个数，结合图象即可得出答案.
【详解】设切点为 ，由 可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以在点 处的切线的斜率为 ，
所以在点 处的切线为： ，
因为切线过点 ，所以 ，
即 ，即这个方程有三个不等根即可，
切线的条数即为直线 与 图象交点的个数，
设 ，
则
由 可得 ，由 可得： 或 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
当 趋近于正无穷， 趋近于0，当 趋近于负无穷， 趋近于正无穷，
的图象如下图，且 ，
要使 与 的图象有三个交点，则 .
则 的取值范围是: .
故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司12. 已知函数 ，函数 恰有5个零点，则m的取值范围是（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可先做出函数 的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m的取值范围.
【详解】当 时， ．由 ，得 ，由 ，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，故 的大致图象如图所示．
设 ，则 ，由图可知当 时， 有且只有1个实根，
则 最多有3个不同的实根，不符合题意．
当 时， 的解是 ， ． 有2个不同的实根， 有2个不同的实
根，
则 有4个不同的实根，不符合题意．
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学科网（北京）股份有限公司当 时， 有3个不同的实根 ， ， ，且 ， ， ．
有2个不同的实根， 有2个不同的实根， 有3个不同的实根，
则 有7个不同的实根，不符合题意．
当 时， 有2个不同的实根 ， ，且 ， ．
有2个不同的实根， 有3个不同的实根，
则 有5个不同的实根，符合题意．
当 时， 有2个不同的实根 ， ，且 ， ，
有2个不同的实根， ，有2个不同的实根，则 有4个不同的实根，不符合题
意．
当 时， 有且只有1个实根，则 最多有3个不同的实根，不符合题意，
综上，m的取值范围是 ．
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，
即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有 ， ， ， ， 这几
种情况,也是解题关键.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量 ．若 ，则 ________．
【答案】 .
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
【详解】 ,
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学科网（北京）股份有限公司，解得 ,
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量
垂直的充分必要条件是其数量积 .
14. 如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点，从 A 点测得 M 点的仰角
，C 点的仰角 以及 ；从 C 点测得 ．已知山高
m，则山高 ______m．
【答案】300
【解析】
【分析】先求 ，由正弦定理得 ，最后由 可
求.
【详解】由题意， m， ，
由正弦定理得 m，
所以 m.
故答案为：300
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学科网（北京）股份有限公司15. 已知等比数列 的前3项和为 ，则 ___________.
【答案】3
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据已知条件利用等比数列的定义计算可得 ， ，即
可求得 的值.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ， ，由题意 ，
因为前3项和为168，故 ，
又 ，
所以 ， ，
则 .
故答案为：3.
16. 已知函数 是 的奇函数，对任意 ，都有 成立，当 ，
且 时，都有 ，有下列命题
① ②直线 是函数 图象的一条对称轴
③函数 在 上有5个零点 ④函数 在 上为减函数
则结论正确的有____________．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据题意，利用特殊值法求得 ，进而分析得到 时函数 的一条对称轴，，函
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学科网（北京）股份有限公司数 时周期为4的周期函数，且函数 在 上单调递增，据此结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，函数 是 的奇函数，则 ，
对任意 ，都有 成立，
当 ，有 ，即 ，
则有 ，即 时函数 的一条对称轴，
又由 为奇函数，则 ，即 ，
可得 ，所以函数 时周期为4的周期函数，
当 ，且 时，都有 ，可函数 在 上单调递增，
对于①中，由 ，则 ，
所以
，所以①正确；
对于②中，由 时函数 的一条对称轴，且函数 时周期为4的周期函数，
则直线 是函数 图象的一条对称轴，所以②正确；
对于③中，函数 在 上有7个零点，分别为 ，所以C错误；
对于④中，函数 在 上为增函数且周期为4，可得 在 上为增函数，又由
是函数 图象的一条对称轴，则函数 在 上为减函数，所以④正确.
故答案为：①②④
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
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学科网（北京）股份有限公司17. 已知函数 的部分图象，如图所示.
（1）求函数 的解析式；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐
标不变，得到函数 的图象，当 时，求函数 的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出 ，由最小正周期求出 ，
并确定 .
（2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域.
【小问1详解】
解：根据函数 的部分图象
可得 ， ，所以 .
再根据五点法作图可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， .
【小问2详解】
将函数 的图象向右平移 个单位后，可得 的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数 的图象.
由 ，可得
又 函数 在 上单调递增，在 单调递减
， ，
函数 在 的值域 .
18. 已知数列 的前n项和为 ， ，且 ． ，
．
（1）求数列 和 的通项公式；
的
（2）若 ，求数列 前n项和 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据对数运算得 ，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列 为
等差数列，建立方程求出公差，从而可得 的通项；
（2）利用错位相减法计算即可.
【小问1详解】
∵ ，∴ ，则 ，所以 为等比数列，
又 ，得 ，所以 ，
由 知 是等差数列，且 ， ，
∴ ，得 ， ．∴ .
【小问2详解】
因为 ， ，所以 ，
所以
则
上面两式作差得
，
∴
19. 记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在边 上，
.
（1）证明： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有 ，结合已知即可证结论.
（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边 与 的关系，然后利用余弦定理即可求得 的值.
【详解】（1）设 的外接圆半径为R，由正弦定理，
得 ，
因为 ，所以 ，即 ．
又因为 ，所以 ．
（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理
因为 ，如图，在 中， ，①
在 中， ．②
由①②得 ，整理得 ．
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学科网（北京）股份有限公司又因为 ，所以 ，解得 或 ，
当 时， （舍去）．
当 时， ．
所以 ．
[方法二]：等面积法和三角形相似
如图，已知 ，则 ，
即 ，
而 ，即 ，
故有 ，从而 ．
由 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，即 ，
又 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ．
[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合
由（1）知 ，再由 得 ．
在 中，由正弦定理得 ．
又 ，所以 ，化简得 ．
在 中，由正弦定理知 ，又由 ，所以 ．
在 中，由余弦定理，得 ．
故 ．
[方法四]：构造辅助线利用相似的性质
如图，作 ，交 于点E，则 ．
由 ，得 ．
在 中， ．
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学科网（北京）股份有限公司在 中 ．
因为 ，
所以 ，
整理得 ．
又因为 ，所以 ，
即 或 ．
下同解法1．
[方法五]：平面向量基本定理
因为 ，所以 ．
以向量 为基底，有 ．
所以 ，
即 ，
又因为 ，所以 ．③
由余弦定理得 ，
所以 ④
联立③④，得 ．
所以 或 ．
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学科网（北京）股份有限公司下同解法1．
[方法六]：建系求解
以D为坐标原点， 所在直线为x轴，过点D垂直于 的直线为y轴，
长为单位长度建立直角坐标系，
如图所示，则 ．
由（1）知， ，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．
设 ，则 ．⑤
由 知， ，
即 ．⑥
联立⑤⑥解得 或 （舍去）， ，
代入⑥式得 ，
由余弦定理得 ．
【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的
性质解题；
方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似
是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；
方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；
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学科网（北京）股份有限公司方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将
其与余弦定理充分结合到一起；
方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直
观化.
20. 已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求导，再分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为 的恒成立问题，构造函数
，利用导数证得 即可.
方法二：构造函数 ，证得 ，从而得到 ，进而将问题
转化为 的恒成立问题，由此得证.
【小问1详解】
因为 ，定义域为 ，所以 ，
当 时，由于 ，则 ，故 恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，则 在 上单调递减；
当 时， ，则 在 上单调递增；
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增.
【小问2详解】
方法一：
由（1）得， ，
要证 ，即证 ，即证 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
方法二：
令 ，则 ，
由于 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ；当 时， ；
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以要证 ，即证 ，即证 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ；令 ，则 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 恒成立，
所以当 时， 恒成立，证毕.
.
21 已知函数
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在区间 各恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可
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学科网（北京）股份有限公司,
（2）求导 对 分类讨论,对 分 两部分研究
【小问1详解】
的定义域为
当 时, ,所以切点为 ,所以切线斜
率为2
所以曲线 在点 处的切线方程为
【小问2详解】
设
若 ,当 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若 ,当 ,则
所以 在 上单调递增所以 ,即
所以 在 上单调递增,
故 在 上没有零点,不合题意
若
(1)当 ,则 ,所以 在 上单调递增
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学科网（北京）股份有限公司所以存在 ,使得 ,即
当 单调递减
当 单调递增
所以
当 ,
令 则
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，
又 ， ，
所以 在 上有唯一零点
又 没有零点,即 在 上有唯一零点
(2)当
设
所以 在 单调递增
所以存在 ,使得
当 单调递减
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学科网（北京）股份有限公司当 单调递增,
又
所以存在 ,使得 ,即
当 单调递增,当 单调递减，
当 ， ，
又 ，
而 ,所以当
所以 在 上有唯一零点, 上无零点
即 在 上有唯一零点
所以 ,符合题意
所以若 在区间 各恰有一个零点,求 的取值范围为
【点睛】
方法点睛：本题的关键是对 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，
肯定要两方面都说明.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第
一题记分．
选修4—4：坐标系与参考方程
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学科网（北京）股份有限公司22. 在直角坐标系 中，曲线M的方程为 ，曲线N的方程为 ，以坐标原点O为极
点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求曲线M，N的极坐标方程；
（2）若射线 与曲线M交于点A（异于极点），与曲线N交于点B，且
，求 ．
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线 和 的极坐标方程；
（2）将 代入曲线 和 的方程，求得 和 ，结合题意求
得 ，即可求解.
【小问1详解】
解：由 ，可得 ，即 ，
又由 ，可得 ，
所以曲线M的极坐标方程为 ．
由 ，可得 ，即 ，
即曲线N的极坐标方程为 .
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司解：将 代入 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ．
选修4—5：不等式选讲
23. 已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）设函数 的最小值为m，且正实数a，b，c满足 ，求证：
．
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）分段讨论去绝对值即可求解；（2）利用绝对值不等式可求得 ，再利用基本不等式即
可证明.
【小问1详解】
由题意可得： ，
当 时，则 ，解得 ；
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学科网（北京）股份有限公司当 时，则 ，解得 ；
当 时，则 ，解得 ；
综上所述：不等式 的解集为 .
【小问2详解】
∵ ，当且仅当 时等号成立，
∴函数 的最小值为 ，则 ，
又∵ ，当且仅当 ，即 时等号成立；
，当且仅当 ，即 时等号成立；
，当且仅当 ，即 时等号成立；
上式相加可得： ，当且仅当 时等号成立，
∴ .
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学科网（北京）股份有限公司
