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“宁化、永安、尤溪、大田、沙县一中”五校协作
2023—2024 学年高三 11 月联考
高三数学试题
命题人：尤溪一中 王伟荣 审题学校：永安、宁化、大田、沙县一中
（考试时间：120分钟 总分150分）
试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题，共60分）
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.
1．设全集 ，若集合 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量 , 满足 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若偶函数 满足 ，当 时， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚利将《孙子算法》中“物
不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出
的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲
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学科网（北京）股份有限公司的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2022这2022个数中，能被5除余
1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则此数列的项数为（ ）
A．58 B．57 C．56 D．55
6．下列说法正确的是（ ）
A．随机变量 ，则
B．若随机变量 ， ，则
C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互
斥而不对立的事件
D．从除颜色外完全相同的 个红球和 个白球中，一次摸出 个球，则摸到红球的个数服从超
几何分布；
7．已知函数 ，则 在 上不单调的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．已知在正三棱锥 中， 为 的中点， ，则正三棱锥 的表面积与该
三棱锥的外接球的表面积的比为（ ）
A． B． C． D．
二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．在平面直角坐标系中，角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点
，且 ，则 的值可以是（ ）
A. B. 1 C. 0 D. 2
10．一副三角板由两个直角三角形组成，如图所示， 且
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学科网（北京）股份有限公司，现将两块三角板拼接在一起，得到三棱锥 ，取 和 中点 、 ，则
下列判断中正确的是（ ）
A．直线 面
B．三棱锥 体积为定值.
C． 与面 所成的角为定值
D．设面 面 ，则 ∥
11．已知 ，则实数 满足（ ）
A． B． C． D．
12．数列 的前n项和为 ， ，且当 时， .则下列结论正确的是（ ）
A. 是等差数列 B． 既有最大值也有最小值.
C. D. 若 ,则 .
第II卷（非选择题，共90分）
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．等比数列 的前 项和 ，若 ， ， ， ，则 ___ ．
14．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏，关掉的灯不能相邻，则关灯方案有___ 种．
15．已知函数 ，则不等式 的解集是___ __．
16．已知函数 和 ，若总存在两条不同的直线与函数 和 图象都
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学科网（北京）股份有限公司相切，则实数 的取值范围为___ __．
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
在 中，角 所对的边分别是 .已知 .
（1）若 ，求 ；
（2）求 的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知函数 的最大值为 ，其相邻两个零点之间
的距离为 ，且 的图象关于直线 对称.
（1）当 时，求函数 的递增区间.
（2）若对任意的 恒成立，求实数 的最小正值.
19．（本小题满分12分）
等差数列 满足 ， .数列 的前n项和 满足 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）对于集合 ， ，定义集合 且 .设数列 和 中的所有项分别
构成集合A，B，将集合 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列 ，求数列
的前 项和 .
20．（本小题满分12分）
E
F
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DE
F
D
在多面体 中， ，且 ，
，
（1）证明: ；
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
21．（本小题满分12分）
小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为 的倍数，则
由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是 的倍数，则由对方接着投掷．
（1）规定第 次从小明开始．
（ⅰ）求前 次投掷中小明恰好投掷 次的概率；
（ⅱ）设游戏的前 次中，小芳投掷的次数为 ，求随机变量 的分布列与期望．
（2）若第 次从小芳开始，求第 次由小芳投掷的概率 ．
22．（本小题满分12分）
已知函数 ， ．
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）设 ，讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在正实数 ， 满足 ，求证：
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