山东省临沂市2025届高三上学期教学质量检测考试暨期中考试（九五联考）数学答案_2024-2025高三（6-6月题库）_2024年11月试卷

数学参考答案及评分标准 说明： 一、本解答只给出一种解法供参考，如考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容参照评分标准酌情赋分． 二、当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容与难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确答案应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误或又出现错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C B D B C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 3 12．4047；13． f(x)= x（答案不唯一）；14． ． 4 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】 （1）由题意可知，A=2，............................................................................................... 1分 7π π 又T =4( − )=π，所以=2； ....................................................................... 3分 12 3 π 2π 所以 f(x)=2sin(2x+)，将( ，2)代入得2=2sin( +)， 3 3 π π 因为 || ，则=− ； ......................................................................................... 5分 2 6 数学试题答案 第1页（共6页）π 所以 f(x)=2sin(2x− )． .......................................................................................... 6分 6 π （2）因为 f(x )= f(x )=1，故只需 f(x)=2sin(2x− )=1， 1 2 6 π 1 所以sin(2x− )= ， ............................................................................................... 8分 6 2 π  π  所以2x− = +2k或2x− = +2k，kZ， 6 6 6 6   所以x= +k或x= +k，kZ， ...................................................................... 11分 6 2   结合图象可知，当x = ，x = 时， 1 6 2 2  |x −x |取到最小值 ． ......................................................................................... 13分 1 2 3 16．【解析】  1 a −a =   1 2 2 a −a 1 （1）因为  ，所以q= 2 3 = ， ............................................................... 2分 1 a −a 2 a −a = 1 2  2 3 4 则a =1， ...................................................................................................................... 4分 1 1 所以a = ． ............................................................................................................ 6分 n 2n−1 1 （2）由题意可知S =2−( )n−1； ...................................................................................... 9分 n 2 1 1 1 1 1 n2−n T =1 ( )2 ( )n−1 =( )1+2+ +(n−1) =( ) 2 ； ............................................ 12分 n 2 2 2 2 2 1 1 n2−n 1 n2−n 1 所以 S +T =2−( )n−1+( ) 2 =2+[( ) 2 −( )n−1] ， n n 2 2 2 2 n2 −n n2 −3n+2 (n−1)(n−2) 因为 −(n−1)= = 0对任意 nN*恒成立， 2 2 2 1 n2−n 1 所以 ( ) 2 −( )n−10 对任意 nN*恒成立， 2 2 所以S +T 2，得证． ........................................................................................... 15分 n n 17．【解析】 （1）因为 3csinA=acosC，所以 3sinCsinA=sinAcosC， ................................ 2分 3 因为sinA0，所以tanC = ， 3 π 因为C(0，π)，所以C = ． ................................................................................ 4分 6 数学试题答案 第2页（共6页）π 3 5π π 3 所以 sin(A− )= sinB ，则 sin( −B− )= sinB ， 3 2 6 3 2 3 2 7 即 cosB= sinB ，所以 sinB= ． .................................................................. 8分 2 7 b c （2）由正弦定理 = ，解得 c= 7 ， ............................................................. 10分 sinB sinC 3 21 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= ， ............................................. 13分 14 1 所以△ABC的面积S = bcsinA=3 3． ............................................................... 15分 2 18．【解析】 1 （1）因为函数 f(x)=lnx+ex−1，所以 f(x)的定义域为(0，+)， f(x)= +ex−1， x 1 f(x)=ex−1− ，注意到 f(x)为增函数，且 f(1)=0， ..................................... 2分 x2 所以 当x(0，1)时， f(x)0， f(x)单调递减； 当x(1，+)时， f(x)0， f(x)单调递增； 所以 当x=1时， f(x)有极小值2，无极大值． ..................................................... 4分 （2）由题意可知lnx+ex−1kx−1对任意x[1，+)恒成立， lnx+ex−1+1 即k  对任意x[1，+)恒成立， ........................................................ 5分 x lnx+ex−1+1 (x−1)ex−1−lnx 设g(x)= ，则g(x)= ， x x2 1 设h(x)=(x−1)ex−1−lnx，则h(x)=xex−1− ， x 因为h(x)在区间[1，+)上单调递增，所以h(x)h(1)=0， 则h(x)在区间[1，+)上单调递增，所以h(x)h(1)=0， 则g(x)0， ................................................................................................................ 7分 所以g(x)在区间[1，+)上单调递增， 所以g(x)g(1)=2，所以k2． ............................................................................. 9分 （3）由题意可知lnx+ex−1 =kx+b有唯一解， 设 p(x)=lnx+ex−1−kx−b，x(0，+)， 注意到，当x→+时， p(x)→+；当x→0时，p(x)→−； 所以 p(x)=0至少有一个解． ................................................................................... 11分 因为lnx+ex−1 =kx+b有唯一解， 数学试题答案 第3页（共6页）lnx+ex−1−b 所以k = 有唯一解， ............................................................................ 13分 x lnx+ex−1−b 设q(x)= ，因为kR，所以q(x)为单调函数， x (x−1)ex−1−lnx+1+b 则q(x)= 0恒成立， x2 设r(x)=(x−1)ex−1−lnx+1+b，则r(x)0恒成立． ............................................ 15分 1 1 则r(x)=xex−1− ，r(x)=xex−1+ 0， x x2 所以r(x)在区间(0，+)上单调递增，注意到r(1)=0， 所以当x(0，1)时，r(x)0，r(x)单调递减； 当x(1，+)时，r(x)0，r(x)单调递增； 故只需r(1)=1+b0即可， 所以b−1． .............................................................................................................. 17分 19．【解析】 （1）由题意可知，集合A包含元素1和2的 “缺等差子集” 分别为{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，4，5}． ............................................................. 3分 （2）考虑集合A ={1，2，3，4，5，6，7}，记A 的“缺等差子集”为B ，元素个数为|B | 1 1 1 1 因为“缺等差子集”中不能出现连续的三个数，所以集合{1，2，3}与{5，6，7}中至少 有一个数不在任何一个 “缺等差子集”中，所以|B |5． ...................................... 5分 1 若|B |=5，因为{1，2，3}与{5，6，7}中有且只有两个元素属于B ，故4B ， 1 1 1 对于{1，2，3}，显然2和3不全在B 中，故1，2B 或1，3B ． 1 1 1 若1，2B ，则6B 且7B ，矛盾； 1 1 1 若1，3B ，则5B 且7B ，矛盾； 1 1 1 故|B |4，当B ={1，2，4，5}时，符合|B |=4， 1 1 1 即|B |的最大值为4． .................................................................................................. 7分 1 同理{8，9，10，11，12，13，14}的“缺等差子集”中元素个数最大为4． 所以 当m=14时，对于集合A，其“缺等差子集”元素个数不超过8， 数学试题答案 第4页（共6页）因为当B={1，2，4，5，10，11，13，14}时，符合题意； 故集合A的“缺等差子集”元素个数的最大值为8． ................................................. 9分 （3）存在，理由如下： 1 对于m= (3k +1)，记A ={1，2， ，m} 2 k 由（1）（2）可知 A ={1，2，3，4，5}，B ={1，2，4，5}； 2 2 A ={1，2， ，14}，B ={1，2，4，5，10，11，13，14}； 3 3 在此基础上，当k =4时， A ={1，2， ，41}，B ={1，2，4，5，10，11，13，14，28，29，31，32，37，38，40，41}， 4 4 满足题目要求. 1 下面证明对每一个A ={1，2， ，m}，m= (3k +1)，若已经构造出元素个数为 k 2 数学试题答案 第5页（共6页） 2 k 的“缺 等差子集”B ，则可用添项的方法来构造新的A 和“缺等差子集”B ，使得B 的元 k k+1 k+1 k+1 1 素个数为2k+1. 当A ={1，2， ，(3k+1+1)}时，B =B {y|y=3k +x,xB }是新的 k+1 2 k+1 k k “缺等差子集”，且满足n=2k+1. ................................................................................. 11分 ①首先证明，B 是A 的子集，即B  A . k+1 k+1 k+1 k+1 1 考虑B 中的最大项x ，则x  (3k +1)， k 0 0 2 1 1 所以B 中的最大项x +3k  (3k +1)+3k = (3k+1+1)， k+1 0 2 2 所以x +3k A ，于是x B ，都有x A ， 0 k+1 i k+1 i k+1 所以B  A . ........................................................................................................... 13分 k+1 k+1 ②证明B 是“缺等差子集”，即y ，y ，y B ，y  y  y ，都有y + y 2y . k+1 1 2 3 k+1 1 2 3 1 3 2 若y ，y ，y B ，由题意可知y + y 2y ； 1 2 3 k 1 3 2 若y ，y B ，y {y|y=3k +x，xB }， 1 2 k 3 k 1 则2y 2 (3k +1)=3k +1 y  y + y ，故y + y 2y ； 2 2 3 1 3 1 3 2 若y B ，y ，y {y| y=3k +x，xB }， 1 k 2 3 k则x ，x B 使得y =3k +x ，y =3k +x ， 2 3 k 2 2 3 3 1 1 1 其中1 y  (3k +1)，2x  (3k +1)，4x  (3k +1)， 1 2 2 2 3 2 故y + y −2y = y +3k +x −2(3k +x )= y +x −3k −2x ， 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 因为y +x  (3k +1)+ (3k +1)=3k +13k +2x ， 1 3 2 2 2 所以y + y −2y 0，y + y 2y ； 1 3 2 1 3 2 若y ，y ，y {y|y=3k +x，xB }， 1 2 3 k 则x ，x ，x B ，使得y =3k +x ，y =3k +x ，y =3k +x ， 1 2 3 k 1 1 2 2 3 3 1 1 1 其中1x  (3k +1)，2x  (3k +1)，4x  (3k +1)， 1 2 2 2 3 2 故y + y −2y =3k +x +3k +x −2(3k +x )=x +x −2x 1 3 2 1 3 2 1 3 2 由B 是“缺等差子集”可知，x +x 2x ， k 1 3 2 所以y + y 2y . 1 3 2 综上所述，B 是“缺等差子集”. ............................................................................ 15分 k+1 ③证明B 的元素个数|B |=2k+1. k+1 k+1 由题意可知|B |=2k，因为集合B 中元素与{y|y=3k +x，xB }中元素一一对应， k k k 所以集合{y|y=3k +x，xB }中元素个数也是2k. k 考虑集合B 中的最小元素x ， k 0 1 则集合{y|y=3k +x，xB }中的最小元素x +3k 1+3k  (3k +1)； k 0 2 所以对于集合B =B {y|y=3k +x,xB }，|B |=2k +2k =2k+1 k+1 k k k+1 即B 的元素个数为2k+1. k+1 1 综合①②③可得，当m= (3k +1)，且k2时， 2 存在满足n=2k的“缺等差子集”B. ........................................................................... 17分 数学试题答案 第6页（共6页）