文档内容
“宁化、永安、尤溪、大田、沙县一中”五校协作
2023—2024 学年高三 11 月联考
高三数学参考答案
一. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1-4．CBCC 5-8.ADBD
8．【解析】正三棱锥 中， ， ，∴ 平面 ，
又 平面 ∴ ， ，
又三棱锥 为正三棱锥，所以三条侧棱两两相互垂直，
设 可得正三棱锥 的表面积为
．设外接球的
半径为 ，则 ，
，则外接球的表面积
所以两表面积的比为 ，故选：D．
二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．BC 10.ACD 11.AD 12.ABD
12．【解析】 ,且当 时, .两边同时取倒数可得: ,
第 1 页 共 10 页
学科网（北京）股份有限公司即 ,且 , 数列 是等差数列,其公差为2,首项为2,所以A正确.
,可得 ,
当 时, ,所以 ;
所以 是先递减再递增的数列，当 时， ，所以 最大， 最小.B正确，C错
误..
对于D.当 时, ,又 时, ,对于上式也成立. ,
时, ,
，D正确
故选ABD
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．31 14．120 15． 16．
16．【解析】设函数 上的切点坐标为 ，且 ，函数 上的
切点坐标为 ，且 又 ，
则公切线的斜率 ，则 所以 ，
则公切线方程为 ，即
第 2 页 共 10 页
学科网（北京）股份有限公司代入 得： ，则 ，整理得
，
若总存在两条不同的直线与函数 图象均相切，则方程 有两个不同的实
根，设 ，则
令 得 ，当 时， 单调递增， 时，
单调递减，
又 可得 ，则 时， 时，
，则函数 的大致图象如右：
所以 ，解得 故实数 的取值范围为 .
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．解：（1）由已知： ， ……1分
得 ， ……2分
所以 或 （舍去）， ……3分
即 ……4分
若 ，则 ； ……5分
第 3 页 共 10 页
学科网（北京）股份有限公司（2）由题意得
， ……7分
而 ，所以 ， ……8分
故 ，即 . ……10分
18．解：（1）由题意可得 ，设函数 的最小正周期为 ，则 ，得
， ，此时， . ……2分
因为函数 的图象关于直线 对称，则 ，
， ， ， ，则 ……4分
令 ，得
，∴取 ， ……6分
因此，函数 在区间 上的递增区间为 . ……7分
（2）又因为 ，所以函数 图象的对称中心为 ，…8分
则 ，所以 ， ……10分
第 4 页 共 10 页
学科网（北京）股份有限公司解得 ， ……11分
当 时， 取到了最小正值为 . ……12分
19 ． 解 : （ 1 ） 设 等 差 数 列 的 公 差 为 ， 则 等 差 数 列 通 项 公 式 为
，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ， ……3分
又因为 ，所以当 时， ，
两式相减可得 ，即 ，
令 ，则 ，解得 ，
所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以 . ……6分
法二、由 可得 ， ，
所以 ，解得 ，（其他同上）
法三、由 可得
解得 ，（其他同上）
（2）由（1）可知，
第 5 页 共 10 页
学科网（北京）股份有限公司所以数列 的前 项为数列 的前52项去除 ……10分
所以数列 的前50项和
. ……12分
20．解:（1）证明：连接 ， ，在 中，
E
F
， ， ，
D
C
，
A B
……2分
可得 ，即 ，同时 ，可得 ， ……3分
同理可得 ， ……4分
因为 ， ，且 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ； ……5分
又因为 平面 ，所以 . ……6分
（2）解：在 中，易得 ，且 ，
所以 ，同时 ， ，
以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，以 所在直线为 轴，如图所示，
建立空间直角坐标系 .……7分
第 6 页 共 10 页
学科网（北京）股份有限公司z
E
F
D
C
A
x B
y
其中 ， ， ， ，
， ， ， ……8分
设向量 为平面 的法向量，
满足 ，不妨取 ， ……10分
直线 与平面 所成角的正弦值为：
. ……12分
21．解:（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为 ． ……1分
（ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率，
． ……2分
（ⅱ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为 ，依题意， 可取0，1，2，3，
所以 ， ，
， ．所以 的分布列为
第 7 页 共 10 页
学科网（北京）股份有限公司0 1 2 3
…5分
所以 ． ……6分
（2）若第1次从小芳开始，则第 次由小芳投掷骰子有两种情况：
①第 次由小芳投掷，第 次继续由小芳投掷，其概率为 ；
②第 次由小明投掷，第 次由小芳投掷，其概率为
． ……8分
因为①②两种情形是互斥的，所以
， ……10分
所以 ．
因为 ，所以 是以 为首项， ……11分
为公比的等比数列，所以 ，即 . ……12分
22．（1）解：因为 ，所以 ， ……1分
因为 在 处取得极值，所以 ，解得 ． ……2分
验证：当 时， ，
易得 在 处取得极大值． ……3分
（2）解：因为 ，
第 8 页 共 10 页
学科网（北京）股份有限公司所以 ． ……4分
①若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ， 函数 在 上单调递减．
②若 ， ，
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减……8分
（3）证明：当 时， ，
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 . ……9分
令 ， ，则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 ． ……10分
所以 ，
即 ，所以 或 ． ……11分
因为 为正实数，所以 ．
第 9 页 共 10 页
学科网（北京）股份有限公司当 时， ，此时不存在 满足条件，
所以 ． ……12分
第 10 页 共 10 页
学科网（北京）股份有限公司
