文档内容
江苏省泰州中学 2024~2025 学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
命题人：余静 审题人：杨华
一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. “ ”是“直线 和直线 平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 抛物线 的焦点到准线的距离是（ ）
.
A B. C. 1 D. 2
4. 与双曲线 有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
6. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春
分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是
一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（
）
A. 该椭圆的离心率为 B. 该椭圆的离心率为
C. 该椭圆的焦距为 D. 该椭圆的焦距为
7. 如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是．
A. B.
C. D.
8. 已知椭圆 与双曲线 具有相同的左、右焦点
， ，点 为它们在第一象限的交点，动点 在曲线 上，若记曲线 ， 的离心率分别为 ， ，
满足 ，且直线 与 轴的交点的坐标为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡
相应区域.）
9. 已知直线 ，则（ ）
A. 直线 过定点 B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，两直线 之间的距离为1
10. 已知 是抛物线 的焦点， ， 是抛物线 上的两点， 为坐标原点，则（ ）
A. 若 ，则 的面积为
B. 若 垂直 的准线于点 ，且 ，则四边形 的周长为
C. 若直线 过点 ，则 的最小值为1
.
D 若 ，则直线 恒过定点
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 是双曲线 的右支上一点，过点 的直
线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ，则（ ）
A. 的最小值为8
B. 为定值
C. 若直线 与双曲线 相切，则点 的纵坐标之积为 ；
D. 若直线 经过 ，且与双曲线 交于另一点 ，则 的最小值为 .三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 经过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上的截距的2倍的直线 的方程是______.
13. 已知 为椭圆 上的一个动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为
，则 的最小值为__________.
14. 已知双曲线 与平行于 轴的动直线交于 两点，点 在点 左侧，双
曲线 的左焦点为 ，且当 时， .则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，
延长 至点 使 ，连接 交 轴于点 ，则 的值是__________.
四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知 的顶点 ，AB边上的中线所在直线的方程为 ，AC边上的高BH所在直线
的方程为 ．
的
（1）求点B，C 坐标；
（2）求 的面积．
16. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点.
的
（1）求 最小值；
（2）判断点 是否在以 为直径的圆上，并说明理由.17. 椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，离心率为 点 、 、 在椭圆 上，且
．
（1）求椭圆 的方程及直线 的斜率；
（2）当 时，证明原点 是 的重心，并求直线 的方程．
18. 已知 ， 分别是双曲线 的左，右顶点，直线 （不与坐标轴垂直）过点 ，且
与双曲线 交于 ， 两点.
的
（1）若 ，求直线 方程；
（2）若直线 与 相交于点 ，求证：点 在定直线上.
19. 已知曲线 由 和 组成，点 ，点 ，点 在
上.
（1）求 的取值范围（当 与 重合时， ）；
（2）若 ，求 面积的取值范围.江苏省泰州中学 2024~2025 学年度第一学期期中考试
高二数学试题
（考试时间：120分钟；总分：150分）
命题人：余静 审题人：杨华
一､选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.）
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线斜率和倾斜角关系可直接求得结果.
【详解】 直线 的斜率不存在， 直线 的倾斜角为 .
故选：D.
2. “ ”是“直线 和直线 平行”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的等价条件求出 的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】当 ，则直线分别为 和直线 满足平行，即充分性成立，
若直线 和直线 平行，
当 时，直线分别为 和 ，不满足条件，当 时，满足 ，即 ，解得 或 ，
当 时，两直线重合，故不满足条件，故 ，即必要性成立，
综上“ ”是“直线 和直线 平行”的充要条件，
故选：C．
3. 抛物线 的焦点到准线的距离是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线方程确定焦准距p的值，即得答案.
【详解】因为抛物线方程为 ，故焦准距 ，
即焦点到准线的距离是 ，
故选：A.
4. 与双曲线 有公共焦点，且短轴长为2的椭圆方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出椭圆方程，由短轴长求出 ，求出双曲线的焦点坐标，进而求出 ，得到椭圆方程.
【详解】设椭圆方程为 ，双曲线 的焦点坐标为 ，
又短轴长为2，故 ，解得： ，
则 ，故椭圆方程为 .
故选：C
5. 已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】当直线和圆心与点 的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.
【详解】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时
根据弦长公式得最小值为 .
故选：B.
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
6. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春
分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是
一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春
分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（
）A. 该椭圆的离心率为 B. 该椭圆的离心率为
C. 该椭圆的焦距为 D. 该椭圆的焦距为
【答案】BC
【解析】
【分析】先求得 ，结合椭圆的知识以及正弦定理求得 ，进而求得椭圆的离心率和焦距.
【详解】 ，
如图， 分别是椭圆的左､右顶点， 是椭圆的左焦点， 是圆的直径， 为该圆的圆心.
因为 ，所以 ，
设椭圆的长轴长为 ，焦距为 ，则 .
因为 ，
由正弦定理得 ，
解得 ，所以 ，
所以 .
故选：BC7. 如图，平面直角坐标系中，曲线(实线部分)的方程可以是．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象，对选项一一验证，找到方程所表示的曲线的图形满足题意即可.
【详解】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线，
A选项等价于 或 ，表示折线 的全部和双曲线，
故错误；
B选项，等价于 或 ，又 表示折线 的全部，故错误；
C选项，等价于 或 ，
∴ 表示折线 在双曲线外部（包含有原点）的部分，
表示双曲线 - ，符合题中的图象，故C正确.D选项，等价于 或 ，
表示折线 在双曲线外部（包含有原点）的部分，
和 表示双曲线在x轴下方的部分，故错误.
故选C.
【点睛】本题考查曲线的方程和方程的曲线概念，关键在于考虑问题要周全，即在每个因式等于0时同时
需保证另一个因式有意义，此题是中档题，也是易错题．
8. 已知椭圆 与双曲线 具有相同的左、右焦点
， ，点 为它们在第一象限的交点，动点 在曲线 上，若记曲线 ， 的离心率分别为 ， ，
满足 ，且直线 与 轴的交点的坐标为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆、双曲线的定义可得 ，结合离心率可得 ，在 中，利用
余弦定理可得 ，进而结合椭圆性质可知：当 为椭圆短轴顶点时， 取到最大值，分析求解
即可.
【详解】由题意可知： ，解得 ，又因为 ，可得 ，
由直线 与 轴的交点的坐标为 可得 ，
在 中，由余弦定理可得
，
可得 ，整理得 ，解得 或 （舍去），
且 ，所以 ，
由椭圆性质可知：当 为椭圆短轴顶点时， 取到最大值，
此时 ，
且 ，则 ，所以 ，即 .
故选：A..
【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于找到 的两种表达方式，构造了关于 的方程，从而
得解.
二､多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡
相应区域.）
9. 已知直线 ，则（ ）
A. 直线 过定点 B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，两直线 之间的距离为1
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，将直线 化简整理为 ，令 ，解方程组即可求出
所过定点；
对于B，将 代入直线 中，分别求出直线 与 的斜率，通过两条直线垂直的判定条件判断选项正误
即可；
对于C，将 代入直线 中，分别求出直线 与 的斜率，通过两条直线平行的判定条件判断选项正误
即可；
对于D，通过 ，求出参数 ，然后根据平行线间距离公式求解即可.【详解】对于A，直线 化为 ，
令 ，解得： ，所以直线 过定点 ，故A选项正确；
设直线 的斜率为 ，设直线 的斜率为 ，
对于B，当 时， ， ，
， ，
又 与 均存在且 ， 与 不垂直，故B选项错误；
对于C，当 时， ， ，
， ，
又 ，且 与 不重合， 与 平行，故C选项正确；
对于D， ， ，解得： ，
得 ， ，
故两条直线之间的距离为 ，故D选项错误.
故选：AC
10. 已知 是抛物线 的焦点， ， 是抛物线 上的两点， 为坐标原点，则（ ）
A. 若 ，则 的面积为
B. 若 垂直 的准线于点 ，且 ，则四边形 的周长为C. 若直线 过点 ，则 的最小值为1
D. 若 ，则直线 恒过定点
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用抛物线焦点弦的性质，可判定A，C正确；利用拋物线的定义，数形结合求解四边形
的周长，可判定判断B不正确；设直线 的方程为 ，联立方程组，结合根与系数的关系，求
得 的值，可判定D正确．
【详解】对于选项A中，设 ，由焦半径公式得 ，解得 ，所以 ，
所以 ，所以A正确；
对于选项B中，由题意知 ，根据抛物线的定义可知 ，
设 与 轴的交点为 ，易知 ， ，故 ，
所以四边形 的周长为 ，所以B错误；
对于选项C中，若直线 过点 ，则当 轴时， 最小，且最小值为1，
所以C正确；
对于选项D，设直线 ， ， ，
联立直线 与抛物线方程得 ，则 ，所以 ，
由 可得 ，即 ，解得 ，
故直线 的方程为 ，即直线 恒过定点 ，选项D正确．
故选ACD．【点睛】对于抛物线的焦点弦的性质的结论拓展：
若 是一条过抛物线 焦点 的弦，当 所在直线的倾斜角为 ，设 ，
，可得 ，则 ，弦长 ；
同时通径是指过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦，弦长等于 ，且通径是过焦点的最短的弦．
11. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 是双曲线 的右支上一点，过点 的直
线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ，则（ ）
A. 的最小值为8
B. 为定值
C. 若直线 与双曲线 相切，则点 的纵坐标之积为 ；
D. 若直线 经过 ，且与双曲线 交于另一点 ，则 的最小值为 .
【答案】AB
【解析】
【分析】设 ，由 ，可判定A正确；化简 ，可判定B
正确；设直线 的方程为 ，联立方程组，结合 ，得到 ，在化简 ，可
判定C不正确；根据通经长和实轴长，可判定D错误.
【详解】由题意，双曲线 ，可得 ，则 ，
所以焦点 ，且 ，设 ，则 ，且 ，即 ，
双曲线 的两条渐近线的方程为 ，
对于A中，由 ，
所以A正确；
对于B中，
（定值），所以B正确；
对于C中，不妨设 ，直线 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
若直线 与双曲线 相切，则 ，
整理得 ，
联立方程组 ，解得 ，即点 的纵坐标为 ，
联立方程组 ，解得 ，即点 的纵坐标为 ，
则点 的纵坐标之积为
所以C不正确；
对于D中，若点 在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为 ，若点 在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为 ，所以D错误.
故选：AB.
三､填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 经过点 ，且在 轴上的截距是在 轴上的截距的2倍的直线 的方程是______.
【答案】 和 ；
【解析】
【分析】根据直线过原点和不经过原点两种情况，即可由待定系数的方法求解.
【详解】若直线经过原点，则设直线方程为 ，将 代入可得 ，
若直线不经过原点，设直线方程为 ，
将 代入可得 ，所以直线方程为 ，即 ，
故答案为： 和 ；
13. 已知 为椭圆 上的一个动点，过 作圆 的两条切线，切点分别为
，则 的最小值为__________.【答案】 ##
【解析】
【分析】设 ，解三角形可得 ， ，利用两点距离公式求
的最小值，结合平方关系可求|AB|的最小值.
【详解】设 ，
由已知 ，由对称性可得 ,
所以 ，
则 ， ，
且 ，
因为 ，
因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 .所以|AB|的最小值为 .
故答案为： .
14. 已知双曲线 与平行于 轴的动直线交于 两点，点 在点 左侧，双
曲线 的左焦点为 ，且当 时， .则双曲线的离心率是__________；当直线运动时，
延长 至点 使 ，连接 交 轴于点 ，则 的值是__________.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】根据条件，设 ，代入双曲线方程得 ，再根据条件即可得 ，从而求出结
果；利用 ，得到 ，设 ，则有 ，
， ，代入化简即可得出结果.
【详解】当 时，设 ，则有 ，解得 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ，两边同除 ，得到 ，
解得 或 （舍），
因为 ，有 ，
设 ，则 ， ， ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，
故答案为： ； .
【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第二空，利用 ，得到 ，
设 ， ，求出 ，化简并结合双曲线定义，即可求解.
四､解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 已知 的顶点 ，AB边上的中线所在直线的方程为 ，AC边上的高BH所在直线
的方程为 ．（1）求点B，C的坐标；
（2）求 的面积．
【答案】（1） ,
（2）7
【解析】
【分析】（1）设点 ，由题意可知点 坐标满足BH的方程，再表示出 的中点，代入AB
边上的中线方程，解方程组可求出点 的坐标，求出 的斜率，可求出直线 的方程，再与
联立，可得点 的坐标，
（2）利用两点间的距离公式求出 的长，再利用点到直线的距离公式求出 到直线 的距离，从而
可求出三角形的面积.
【小问1详解】
设点 ，因为 在直线 上，所以 ， ①
又 ， 的中点为 ，且点 在 的中线上，
所以 ， ②
联立①②，得 ，即点 ．
由题意，得 ，所以 ，
所以 所在直线的方程为 ，即 ， ③
因为点 在AB边上的中线上，
所以点 的坐标满足直线方程 ， ④联立③④，得 ，即 ．
【小问2详解】
由（1）得 ，
到直线 的距离为 ，
所以 ，
故 的面积为7．
16. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 ， 两点.
（1）求 的最小值；
（2）判断点 是否在以 为直径的圆上，并说明理由.
【答案】（1）11 （2）在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）需对直线分斜率存在和不存在，分别将两种情况下的直线与抛物线联立，从而求解.
（2）由（1）知分情况对以 为直径的圆对点 进行验证，从而求解．
【小问1详解】
从而求（2）由（1）中当直线斜率，由题意知：抛物线焦点 ，准线：x=−1，
直线过定点 ，且定点在抛物线内，所以得：直线的斜率不为0，
设直线方程为 ，
当 时，直线率不存在，即直线方程为： ，
此时： ， ，所以： ；
当 时，即直线斜率存在时，得直线方程为： ，
将直线与抛物线联立得： ，化简得： ，
，
设： ， ，由根与系数关系得： ，
，
所以：当直线斜率存在时， 的最小值为： .
综上所述： 的最小值为： .
【小问2详解】
在，理由如下：
由（1）知：当直线斜率不存在时：直线为： ， ，
以 为直径的圆方程为： ，
将 代入得： ，所以点 在以 为直径 的圆上；
当直线斜率存在时：由（1）知： ， ，
，所以得： ， ，
所以得：点 在以 为直径的圆上.
综上所述：点 在以 为直径的圆上.
17. 椭圆 的中心在坐标原点 ，焦点在 轴上，离心率为 点 、 、 在椭圆 上，且
．
（1）求椭圆 的方程及直线 的斜率；
（2）当 时，证明原点 是 的重心，并求直线 的方程．
【答案】（1） ， ；
（2）证明见解析， .
【解析】
【分析】（1）设出椭圆方程，利用给定条件列出方程组求解；再设出点 的坐标，利用点差法求解作
答；
（2）证明 的重心坐标为 ，确定 中点坐标，点差法求出 的斜率，即可求解 的方程．
【小问1详解】
设椭圆 的方程为 ，则 ，且 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ；
设 ，而 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，
又由 ，得 ，
则直线 斜率 .
的
【小问2详解】
当 时，由（1）知，点 坐标满足 ，
的
而 ，因此 的重心坐标为 ，所以原点 是 的重心；
显然线段 的中点坐标为 ，此点在椭圆 内，即直线 与椭圆 必相交，由（1）知直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
18. 已知 ， 分别是双曲线 的左，右顶点，直线 （不与坐标轴垂直）过点 ，且
与双曲线 交于 ， 两点.
（1）若 ，求直线 的方程；
（2）若直线 与 相交于点 ，求证：点 在定直线上.
【答案】（1） 或 ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）设直线 的方程为 并联立双曲线根据韦达定理可得 与 关系，结合 可得
，从而求得 值得直线方程；
（2）列出直线 与 方程，并求点 坐标得 ，故得证.
【详解】解：设直线 的方程为 ，设 ， ，把直线 与双曲线
联立方程组， ，可得 ，
则 ，
（1） ， ，由 ，可得 ，即 ①， ②，
把①式代入②式，可得 ，解得 ， ，
即直线 的方程为 或 ．
（2）直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
直线 与 的交点为 ，故 ，即 ，
进而得到 ，又 ，
故 ，解得
故点 在定直线 上．
【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.
19. 已知曲线 由 和 组成，点 ，点 ，点 在
上.
（1）求 的取值范围（当 与 重合时， ）；
（2）若 ，求 面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）【解析】
【分析】（1）注意到 是椭圆的左右焦点，且是圆与 轴的交点，分点 是否在 轴的右侧两种情况
讨论即可得解；
（2）当两点在半椭圆上时（不含 轴），设 ，求出|OP|，同理求出
|OQ|，进而可求出面积的表达式，再讨论两点都在半圆上，一点在半圆上一点在半椭圆上（不含 轴）
和一点在 轴上一点在半椭圆上三种情况讨论，进而可得出答案.
【小问1详解】
注意到 是椭圆的左右焦点，且是圆与 轴的交点，
当点 在 轴的右侧时，由椭圆的定义可得 ；
当点 不在 轴 的右侧时，设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
综上所述， ；
【小问2详解】
记 的面积为 ，
当两点在半椭圆上时（不含 轴），设 ，
联立 ，则有 ，故 ，
同理可得 ，
故 ，
令 ，则 ，
则 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以 ；
当两点都在半圆上时， ，
则 ；
当一点在半圆上一点在半椭圆上时（不含 轴），
由对称性，可设点 在半椭圆上，则 ，
故 ，
由 ，可得 ，所以 ，所以 ；
当一点在 轴上一点在半椭圆上时，
由对称性，可设点 是曲线与 轴的交点，则点 为椭圆的右顶点，
则 ，
，
综上所述， 面积的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
