文档内容
高三数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合 ， ，再用补集和交集的概念求解即可.
【详解】由 ，得 ，所以 ，
或x>1}，
由 ，得 ，所以 ，
所以 .
故选：D.
2. 设复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
第1页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【分析】由题可得 ，计算后可得 与 ，即可得答案.
【详解】由 ，可得 ，
则 ，则 .
故选：C
3. 已知命题 ，命题 ，则 成立是 成立的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】先化简命题p: ， ： ，再利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：由 ，得 ，解得 ；
由 ，得 ，
当 时， 成立；
当 时， ，解得 ，综上 ，
所以 成立是 成立的充分不必要条件，
故选：A
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
第2页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】根据诱导公式和余弦二倍角公式得到 ，化弦为切，
代入求值即可.
【详解】 ，
故
.
故选：A
5. 已知 为椭圆 的上焦点， 为 上一点， 为圆 上一点，则
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、 的长；利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解
的最大值问题，利用三角形三边关系可知当 三点共线时取得最大值，由此可得
第3页/共27页
学科网（北京）股份有限公司结果.
【详解】由圆 方程得：圆心 ，半径 ；
由椭圆 方程得： ， ，设椭圆 下焦点为 ，则 ，
由椭圆定义知： ， ；
（当且仅当 三点共线时取等号），
，
又 （当且仅当 三点共线时取等号），
，即 的最大值为 .
故选：D.
6. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数 ，利用函数的奇偶性及导数与函数单调性间的关系，可得
第4页/共27页
学科网（北京）股份有限公司，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，结合条件可得 ，即可求解.
【详解】令 ，则 ，
则 是偶函数，
又 ，当 时， 恒成立，
所以 ，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
又 ，且 ，即 ，所以 ，则 ，所以选项B
正确，
当 时， ，所以选项A和D错误，
当 时， ，所以选项C错误，
故选：B.
7. 已知定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， .函数
，则 与 的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】画出 、 在区间 上的图象，根据对称性、周期性等知识来求得正确答案.
【详解】依题意， 是定义在R上的偶函数，图象关于直线 对称，
第5页/共27页
学科网（北京）股份有限公司，所以 ，
所以 是周期为 的周期函数，所以 的图象关于直线 对称.
函数 的图象也关于直线 对称.
当 时， .
当 时， ， ，
当 时， ， ，
，所以直线 与曲线y=g(x)相切于点(2,1).
画出 、 在区间 上的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有 个公共点，
所以所有交点的横坐标之和为 .
故选：C
8. 在 中， ， ， 是 所在平面内一点， ，则
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
第6页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据向量的数量积以及基本不等式求解即可.
【详解】 ， ，
，
，
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数 ，则（ ）
A. 是 的一个周期 B. 是 的一条对称轴
C. 的值域为 D. 在 上单调递减
第7页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【答案】BC
【解析】
【分析】先化简函数，再结合函数图像对各个选项逐一分析判断即可.
【详解】 ，
图像如图所示：
由图像可得，函数的最小正周期为2π，故选项A错误，不符合题意；
是 的一条对称轴，故选项B正确，符合题意；
的值域为 ，故选项C正确，符合题意；
在 上先增后减，选项D错误，不符合题意；
故选：BC.
10. 如图，在四边形 中， 为边 上的一列点，连接 交 于点 ，且
满足 ，其中数列 是首项为1的正项数列，则（ ）
A. 数列 为等比数列
第8页/共27页
学科网（北京）股份有限公司B. 数列 的前 项和为
C. 数列 为递增数列
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据向量共线定理得到 ，从而 ，A正确；B选项，在
A选项基础上得到 ，由分组求和和等比数列求和公式得到B正确；C选项，举出反例即可；D
选项，在B选项基础上得到D正确.
【详解】A选项，因为 为边 上的一列点，设 ，
即 ，所以
，
即 ，所以 ，
即 ，所以数列 为公比为2的等比数列，A正确；
B选项，因为 ，所以 ，
故 是首项为2，公比为2的等比数列，
第9页/共27页
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
的前 项和为
，B正确；
CD选项， ，故 ，显然 ，
则数列 不 是递增数列，C错误，D正确.
故选：ABD
11. 已知正方体 的棱长为 ，点 满足 ，则（ ）
A. 点 到平面 的距离为
B. 二面角 的正弦值为
C. 当 时，过点 的平面截该正方体外接球所得截面面积的取值范围为
D. 若 是对角线 上一点，则 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，根据条件可得 面 ，从而将 到平面 的距离转化成 到平面 的
距离，进而转化成 到平面 的距离，再利用等体积法，即可求解；选项B，取 中点 ， 中
点 ，连接 ，根据条件可得 为二面角 的平面角，再利用几何关系，即可求
第10页/共27页
学科网（北京）股份有限公司解；选项C，由题知，过点 的平面经过球心 时，截面圆的面积最大，当 为截面圆的圆心时，截面圆
的面积最大，即可求解；选项D，通过翻折平面，使得点 翻转后得到的点 满足 三点共线，且
.即可求得
【详解】如图1，易知 ， 面 ， 面 ，所以 面 ，
对于选项A，因为 ，即点 在线段 上（含端点），
因为 面 ，所以 到平面 的距离，也即 到平面 的距离，
连接 交 于 ，易知 为 中点，则 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
又正方体的棱长为 ，则 ，所以 ，
设 到平面 的距离为 ，
由 ，得到 ，解得 ，所以选项A正确，
对于选项B，如图1，取 中点 ， 中点 ，连接 ，
易知 ，所以 为二面角 的平面角，
在 中， ， ，
所以 ，则 ，所以选项B错误，
对于选项C，正方体的外接球的球心 为正方体的体心，且外接球的直径 为正方体的体对角线长，
则 ，当过点 的平面经过球心 时，此时平面截该正方体外接球所得截面面积最大，截面面积为
第11页/共27页
学科网（北京）股份有限公司，
当过点 的平面经不过球心 时，不妨设截面圆的半径为 ，球心到截面圆的距离为 ，
则 ，显然有 ，当且仅当 为截面圆的圆心时取等号，即截面圆的直径为 ，此
时 ，
所以平面截该正方体外接球所得截面面积最小值为 ，故选项C正确，
对于选项D，如图2，将平面 绕着 旋转到 位置，使之与平面 在一个平面内，
因 是对角线 上一点，要使 最小，需使三点 共线，且 .
设 ，则 ，
故 ，
于是 ，故选项D正确，
第12页/共27页
学科网（北京）股份有限公司故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：解决空间角问题，关键在于根据定义找到平面角，然后借助于三角形和正、余弦定
理求解；对于包含动点的线段和最小问题，一般考虑将其中一个平面翻折，使之与另一个平面共面，化空
间距离的和为平面距离的和来求解.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知底面半径为3的圆锥 ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的
侧面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出圆锥的轴截面 ，求出圆锥的高，利用三角形相似求出圆柱的高，再根据侧面积公式计算
可得.
【详解】如图作出圆锥的轴截面 ，根据题意可知 ,
,
所以可得 ,
根据三角形相似可得 ,
所以 ,可求得 ,
根据圆柱侧面积公式可得 .
第13页/共27页
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
13. 已知函数 ，若将函数 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来
的2倍，再将得到的图象向右平移 个单位长度，得到的函数图象关于 轴对称，则
__________.
【答案】
【解析】
【分析】由图象变换写出新解析式，然后由图象关于 轴对称求得参数值．
【详解】 ，变换后函数式为
，它的图象关于 轴对称，
则 ， ,
又 ，所以 ，
故答案为： ．
14. 已知 ， 是双曲线 的左､右焦点，过 的直线与 的左､右两支分别
第14页/共27页
学科网（北京）股份有限公司交于 ， 两点.若以 的中心为圆心， 的长为直径的圆与 的右支的一个交点恰为 ，若 ，
， 成等差数列，则 的渐近线方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由已知以 为直径的圆过点 ，可知 ，再结合等差数列及双曲线定义可得各边
长，再根据直角三角形勾股定理可得 ，即可得渐近线方程.
【详解】
如图所示，由已知以 的中心为圆心， 的长为直径的圆过点 ，
可知 ，
再由|AB|， ， 成等差数列，
得 ，
由双曲线定义可知 ， ，
则 ，
即 ， ，
又 ，
第15页/共27页
学科网（北京）股份有限公司则 ，即 ，
则 ，
即渐近线方程为 ，
故答案为： .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知数列 的各项均为正数，其前 项和记为 ，其中 为
常数且 .
（1）若数列 为等差数列，求 ；
（2）若 ，求 .
【答案】（1）
（2） .
【解析】
【分析】（1）根据等差数列列方程，求得 ，求得公差，进而求得 .
（2）利用分组求和法，结合等差数列的前 项和公式来求得正确答案.
【小问1详解】
当 时， ，解得 ，
当 时， ，解得 ，
因 为数列 为等差数列，所以 ，
即 ，解得 ，
第16页/共27页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，公差为2，所以 .
【小问2详解】
当 时， ①
所以 ②
所以②-①得， ，
因为 ，所以 ，
当 时， ，解得 ，
所以数列 的奇数项成等差数列，首项为 ，公差为 ；
偶数项成等差数列，首项为 ，公差为 ，
所以 .
16. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小；
（2）若 ，如图， 是 上的动点，且 始终等于 ，记 .当 为
何值时， 的面积取到最小值，并求出最小值.
【答案】（1）
（2） ，最小值为
第17页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】（1）根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果；
（2）在 中，根据正弦定理表示出 ，在 中，根据正弦定理表示出 ，根据三角形面
积公式得到 的面积，即可求出结果.
【小问1详解】
在 中，由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，即得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
【小问2详解】
因为 ，由（1）知 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，所以 ，
在 中，由正弦定理可得 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当 时， 取得最小值 ，此时 ，即 ，
所以当 时， 的面积取到最小值，最小值为 .
第18页/共27页
学科网（北京）股份有限公司17. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 为等边三角形，
， 为 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值的最大值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ，由面面垂直得 平面 ，从而得 ，再由
线面垂直的判定定理证得线面垂直 平面 ，得证 ，然后再由线面垂直的判定定理证
得结论成立.
（2）证明 平面 ，然后以 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方
向，建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，用空间向量法求线面角，利用基本不等式、不等式的性
质得最值.
【小问1详解】
取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形，所以
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
第19页/共27页
学科网（北京）股份有限公司因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，所以 ，
因为 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
连接 ，
因为 ，所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
所以 平面 ，
以 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系，
设 ，
则
所以 ，
设平面 的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，
第20页/共27页
学科网（北京）股份有限公司则 ，可得 ，
令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 即 时取得最大值 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 .
18. 已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）令 .若曲线 与 存在公切线，求实
数 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，即可对 讨论求解导函数的单调性，结合二次函数的性质求解，
第21页/共27页
学科网（北京）股份有限公司（2）设出切点，根据点斜式求解直线方程，根据公切线可得 ，进而可得
，构造函数 且 求导，即可根据单调性求解函数的值
域得解.
【小问1详解】
，
①当 时， 的定义域为(0,+∞)，
令f′(x)>0，即得 ，所以 ，
因为 ，解得： ；
令 ，解得： ，
②当 时， 的定义域为 ，
令f′(x)>0，即得 ，所以 ，
因为 ，解得： ，
令 ，解得： ，
综上：当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为
第22页/共27页
学科网（北京）股份有限公司；
当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
【小问2详解】
由题意知：设 的切点横坐标 ，则ℎ(x)在 处的切线方程为
.③
设 的切点横坐标 ，则 在 处的切线方程
为 .④
联立③④，得 ，
当 时， ，代入方程组，不成立，
所以消去 得 .
设函数 且 .
令 ，得 或 .
第23页/共27页
学科网（北京）股份有限公司令φ′(x)>0，解得 且 ；令φ′(x)<0，解得 或 ，
(1 )
所以φ(x)在 和 上单调递减，在 ,1 和 上单调递增，
2
因为 ，
结合图象可知，当 时，方程 有解，
从而当 时，曲线y=g(x)与 存在公切线.
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这
种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
19. 定义二元函数 ，同时满足：① ；②
；③ 三个条件.
第24页/共27页
学科网（北京）股份有限公司（1）求 的值；
（2）求 的解析式；
（3）若 .比较 与0的大小关系，
并说明理由.
附：参考公式
.
【答案】（1）7；17
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）结合已知条件迭代求函数值；
（2）根据函数列出等式，然后根据等式累加解得
；
（3） ，然后求解 ，根据三角函数的有界性进行伸缩变换，最后判断 与
0的大小关系；
【小问1详解】
因为 ，由①得 ，
由②得 ，
由①得 ，
由②得 .
第25页/共27页
学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由①得： ，
将上述等式相加，可得 ，
所以 ， 也满足此式，故 .
由②得， ，
将上述等式相加，可得 ，
所以 .
而 也满足此式，故 .
【小问3详解】
由（2）知 ，
，
所以
第26页/共27页
学科网（北京）股份有限公司当且仅当 时， ， 上式取得等号，
即当 时，均有 ，
所以当 时， ；当 时， ；当 时， .
【点睛】根据已知条件迭代，结合数列的累加法找到解题的突破点，本题章节跨度大，题目较难，是高考
新题型的典型例题.
第27页/共27页
学科网（北京）股份有限公司
