半期考试答案（正版）(1)_251205四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二上学期期中考试（全）_四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学PDF版含答案（可编辑）

射洪中学高2024级高二上期半期考试 数学参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B A B D C B D A AD BC ABD 3 1 填空题 12.-1 13. 14.0, 3 2  8.【详解】由圆方程知圆心为C(-2,0)，半径为1， 因为QA,QB为圆的切线，所以AB⊥QC，CA⊥QA,CB⊥QB，QA  =QB  ， S =QA 四边形QACB  AC  =QA  ，要使得S 最小，只要QA 四边形QACB  最小， 由切线长公式知，只要QC  最小. 当QC⊥l时，QC  -2+0-2 = min  =2 2，此时QA 2  = QC  2-CA  2= 7, 所以S 的最小值是2 7，故选：A. 四边形QACB 10.【解析】对于A，圆C：x2+y2-4x+8y-2m=0的标准方程为x-2  2+y+4  2=20+2m， 所以圆心C2,-4  ，半径r= 20+2m， 由圆C的半径为2，则 20+2m=2，解得m=-8，故A错误； 对于B，因为直线l方程为4x-3y-8=0， 则圆心C2,-4  4×2-3×-4 到直线l的距离d=   -8 42+-3  12 = >2，所以直线l与圆C相离，故B正确； 2 5 对于C，因为圆心C2,-4  12 到直线l的距离d= ， 5 12 2 2 由d-r= -2= ，所以到直线l的距离等于 的P点只有1个，故C正确. 5 5 5 3 对于D，因为直线l垂直的直线斜率为- ， 4 则过圆心C且与直线l垂直的直线方程为y--4  3 =- x-2 4  ，即3x+4y+10=0，故D错误；故选：BC. 11.【解析】对于A：△AAD的面积不变，点P到平面AADD的距离为正方体棱长， 1 1 1 所以三棱锥P-AAD的体积不变， 1 1 1 1 4 且V = S ⋅AB= × ×2×2×2= ，所以A正确； P-A1A1D 3 △AA1D 3 2 3 对于B：以D为原点，DA,DA,DD 所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系， 1 可得A 12,0,2  ,D 10,0,2  ,C 10,2,2  ， 设Px,2-x,0   ,0≤x≤2，则D 1 P=x,2-x,-2   ，A 1 C 1 =-2,2,0  ，     DP⋅AC 1 1 1 设DP与AC 所成角为θ，cosθ=cos= 1 1 1 1 1 1   DP 1   AC 1 1  x-1 =  x-1  ， 2+3 因为0≤x-1  ≤1， 当x-1  π =0时，可得cosθ=0，所以θ= ， 2 当0<x-1  x-1 ≤1时，cosθ=  x-1  1 1 = ≤ ， 2+3 3 2 x-1+ x-1 π 由θ∈ 0,  2  π π ，所以 ≤θ< ， 3 2 π π 所以异面直线DP与AC 所成角的取值范围是  , 1 1 1  3 2  ，所以B正确； 对于C，由B 12,2,2  ,D 10,0,2  ,C0,2,0  ,F2,1,2  ， 高二数学 第1页 共4页 参考答案设Pm,n,0   ，0≤m≤2,0≤n≤2,则CB 1 =2,0,2   ，CD 1 =0,-2,2   ，FP=m-2,n-1,-2  ，  设平面B 1 CD 1 的一个法向量为n=a,b,c      ，则n⋅CD =-2b+2c=0,n⋅CB =2a+2c=0， 1 1  取a=1，可得b=-1,c=-1，所以n=1,-1,-1  ，   因为PF⎳平面B 1 CD 1 ，所以FP⋅n=m-2  -n-1  +2=0，可得n=m+1，  所以FP  = m-2  2+n-1  2+4= 2m2-4m+8= 2m-1  2+6≥ 6， 当m=1时，等号成立，所以C错误； 对于D：因为直线AP与平面ABCD所成的角为45°， 由AA ⊥平面ABCD，得直线AP与AA 所成的角为45°， 1 1 若点P在平面DCCD 和平面BCCB 内， 1 1 1 1 因为∠BAB=45°，∠DAD=45°，故不成立； 1 1 在平面ADDA 内，点P的轨迹是AD=2 2； 1 1 1 在平面ABBA 内，点P的轨迹是AB =2 2； 1 1 1 在平面ABCD 内，作PM⊥平面ABCD，如图所示， 1 1 1 1 因为∠PAM=45°，所以PM=AM， 又因为PM=AB，所以AM=AB，所以AP=AB， 1 所以点P的轨迹是以A 点为圆心，以2为半径的四分之一圆， 1 1 所以点P的轨迹的长度为 ×2π×2=π， 4 综上，点P的轨迹的总长度为π+4 2，所以D正确.故选：ABD. 13.【解析】不妨设F 2c,0  a2-b2=c2,c>0  ，则PF 2  c2 b2 =b⋅ 1- a2 = a ，F 1 F 2  =2c, b2 a2-c2 2c 又△FPQ为等边三角形，则 × 3=2c⇒ = ， 1 a a 3 即 3a2- 3c2=2ac,∴ 3e2+2e- 3= 3e-1  e+ 3  =0， 3 3 解之得e= ，负根舍去.故答案为： . 3 3 14.【解析】该问题等价于y=mx-1与y=- 1-(x-1)2有两个不同交点， y≤0 对于y=- 1-(x-1)2等价于 x-1   ，即半圆，  2+y2=1 对于y=mx-1，该直线过定点0，-1  ， 如图：直线绕点0，-1  从l 1 逆时针旋转到l 2不包括l 1  时， 1 1 直线与半圆有两个不同交点，k =0，k = ，故m∈0, l1 l2 2 2  . x2 y2 15.【解析】(1)由题意可设C: + =1a>b>0 a2 b2  ，1分 1 将M 3, 2  3 1 代入得 + =1，3分 a2 4b2 又c= 3，解得a=2,b=1，6分 x2 所以椭圆方程为 +y2=1.7分 4 x2 (2)将直线y=x-1与椭圆 +y2=1联立得5x2-8x=0，9分 4 设Px 1 ,y 1  ,Qx 2 ,y 2  8 ，则x +x = ,xx =0，11分 1 2 5 1 2 ∴PQ  = 1+k2 x 1 +x 2  y 2，0 l 2 O x l 1 8 2 2-4xx = . 13分 1 2 5  高二数学 第2页 共4页 参考答案16.【解析】(1)如图，建立空间直角坐标系D-xyz，所以D 10,0,2  ,F0,1,0  ,A2,0,0  ,E2,2,1  ，  则D 1 F=0,1,-2   ,DA=2,0,0   ,DE=2,2,1  ，3分  设平面ADE的一个法向量为n=x,y,z  ，   n⋅DA=2x=0  则  ，令y=1，则x=0,z=-2，即n=0,1,-2 n⋅DE=2x+2y+z=0  ，6分   显然n=DF，所以DF⊥平面ADE；8分 1 1  (2)由(1)可知平面ADE的法向量为n=0,1,-2  ；  又DC 1 =0,2,2    DC ⋅n 1 ，所以C 到平面ADE的距离d= 1   n  1×2+-2 =   ×2  12+-2  2 5 = .13分 2 5 17.【解析】(1)设“甲答对3道题目”为事件A， 2 因为甲答对每道题目的概率都是 ，且对抽到的不同题目能否答对是独立的， 3 所以PA  2 2 2 8 = × × = ；5分 3 3 3 27 (2)设“乙恰好答对2道题目”为事件B， 1 又乙答对每道题目的概率都是 ，且对抽到的不同题目能否答对是独立的， 2 所以PB  1 =3× 2  3 3 = ；10分 8 (3)设“甲通过面试”为事件C，“乙通过面试”为事件D，且C与D相互独立， 所以PC   =1-PC  1 1 1 26 =1- × × = ，11分 3 3 3 27 PD   =1-PD  1 1 1 7 =1- × × = ，12分 2 2 2 8   设“甲、乙两人只有一人通过面试”为事件E，则E=(CD)∪(CD)，     因为CD与CD互斥，C与D，C与D分别相互独立， 所以PE    =PCD∪CD   =PCD   +PCD  =PC   PD   +PC  PD  26 1 1 7 11 = × + × = ， 27 8 27 8 72 11 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 . 15分 72 18.【解析】1  连接AC，交BD于O，则O为AC的中点，连接EO，且O、E分别为AC、CP的中点， 所以OE⎳PA，PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，PA⎳平面BDE.4分 2  因为底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD， 以点D为坐标原点，DA，DC，DP方向的直线分别为x轴，y轴，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，不妨设AB=2， D0,0,0  ，P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1)    所以PB=(2,2,-2),DB=(2,2,0),DE=(0,1,1)，6分   设平面BDE的法向量为n  =(x,y,z)，则   n  ⋅D  B  =0 ，即  2x+2y=0 ， n⋅DE=0 y+z=0  令x=1，则n=(1,-1,1).8分   PB⋅n 设直线PB与平面BDE所成角为α，则sinα=   PB   ⋅n  2-2-2 =  1 = ， 2 3× 3 3 1 所以直线PB与平面BDE所成角的正弦值为 . 10分 3 高二数学 第3页 共4页 参考答案3     设PF=λPB，则F(2λ,2λ,2-2λ)，所以EF=(2λ,2λ-1,1-2λ)，   1 又EF⊥PB，所以EF⋅PB=4λ+4λ-2-2+4λ=12λ-4=0，解得λ= ，12分 3 2 2 4 所以F , , 3 3 3    2 2 4 .则DA=(2,0,0),DF= , , 3 3 3   ,DE=(0,1,1)，  设平面ADF的法向量为n =(x,y,z)， 1 1 1 1   2x =0 n ⋅DA=0  1  则  n 1 1 ⋅D  F  =0 ，即 2 3 x 1 + 2 3 y 1 + 4 3 z 1 =0 ，令z 1 =-1，则n 1 =(0,2,-1)；14分 由2   平面BDE的法向量为n=(1,-1,1)，   设平面ADF与平面BDE的夹角为θ，则cosθ= n 1 ⋅n   n 1⋅    n  -2-1 =  15 = ； 5× 3 5 15 所以平面ADF与平面DEF的夹角的余弦值为 . 17分 5 19.【解析】(1)设圆心C的坐标为a,b  . 因为A,B是圆C上的两点，所以CA  =CB  ，所以 a2+(b-3)2= a2+(b+1)2, 即-6b+9=2b+1，解得b=1. 因为圆心C在直线y=2x+1上，所以b=2a+1=1，解得a=0， 则圆C的半径r=CA  = 0+(1-3)2=2，故圆C的标准方程为x2+(y-1)2=4.5分 (2)设直线l:y=kx+2,Dx 1 ,y 1  ,Ex 2 ,y 2  . 由   y x2 = + k ( x y + - 2 1 , )2=4, 整理得k2+1  x2+2kx-3=0， 则Δ=4k2-4k2+1  ×-3  =16k2+12>0， 2k 3 故x +x =- ,xx =- .8分 1 2 k2+1 1 2 k2+1 y -3 y -3 ①证明：因为k = 1 ,k = 2 ， 1 x 2 x 1 2 所以kk = y 1 -3 ⋅ y 2 -3 = y 1 y 2 -3y 1 +y 2 1 2 x x 1 2  +9 = k2x 1 x 2 -kx 1 +x 2 xx 1 2  +1 . xx 1 2 2k 3 把x +x =- ,xx =- 代入上式， 1 2 k2+1 1 2 k2+1 3 k2⋅- k2+1 得kk = 1 2  2k -k⋅- k2+1  +1 1 =- .12分 3 3 - k2+1 y -3 y +1 ②直线AD的方程为y= 1 x+3，直线BE的方程为y= 2 x-1. x x 1 2 y -3 y= 1 x+3, 由   x 1 得 y-3 = y 1 -3 y +1 y+1 y= 2 x-1, x 2  x 2 x 1y 2 +1  = kx 1 -1  x 2 x 1kx 2 +3  kxx -x = 1 2 2 . kxx +3x 1 2 1 2k 3 因为x 1 +x 2 =- k2+1 ,x 1 x 2 =- k2+1 ，所以3x 1 +x 2  =2kxx ， 1 2 3 kxx -x 2 x 1 +x 2 所以 1 2 2 = kxx +3x 1 2 1  -x 2 3 2 x 1 +x 2  3x +x 1 = 1 2 = ， 9x +3x 3 +3x 1 2 1 y-3 1 即 = ，则y=5，即点P在定直线y=5上. 17分 y+1 3 高二数学 第4页 共4页 参考答案