半期考试答案（正版）(1)_251205四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二上学期期中考试（全）_四川省遂宁市射洪中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学PDF版含答案（可编辑）

射洪中学高2024级高二上期半期考试
数学参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A B D C B D A AD BC ABD
3 1
填空题 12.-1 13. 14.0,
3 2

8.【详解】由圆方程知圆心为C(-2,0)，半径为1，
因为QA,QB为圆的切线，所以AB⊥QC，CA⊥QA,CB⊥QB，QA  =QB  ，
S =QA
四边形QACB
 AC  =QA  ，要使得S 最小，只要QA
四边形QACB
 最小，
由切线长公式知，只要QC  最小.
当QC⊥l时，QC 
-2+0-2
=
min

=2 2，此时QA
2
 = QC  2-CA  2= 7,
所以S 的最小值是2 7，故选：A.
四边形QACB
10.【解析】对于A，圆C：x2+y2-4x+8y-2m=0的标准方程为x-2

2+y+4

2=20+2m，
所以圆心C2,-4  ，半径r= 20+2m，
由圆C的半径为2，则 20+2m=2，解得m=-8，故A错误；
对于B，因为直线l方程为4x-3y-8=0，
则圆心C2,-4 
4×2-3×-4
到直线l的距离d=
  -8
42+-3

12
= >2，所以直线l与圆C相离，故B正确；
2 5
对于C，因为圆心C2,-4 
12
到直线l的距离d= ，
5
12 2 2
由d-r= -2= ，所以到直线l的距离等于 的P点只有1个，故C正确.
5 5 5
3
对于D，因为直线l垂直的直线斜率为- ，
4
则过圆心C且与直线l垂直的直线方程为y--4 
3
=- x-2
4
 ，即3x+4y+10=0，故D错误；故选：BC.
11.【解析】对于A：△AAD的面积不变，点P到平面AADD的距离为正方体棱长，
1 1 1
所以三棱锥P-AAD的体积不变，
1
1 1 1 4
且V = S ⋅AB= × ×2×2×2= ，所以A正确；
P-A1A1D 3 △AA1D 3 2 3
对于B：以D为原点，DA,DA,DD 所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，
1
可得A 12,0,2  ,D 10,0,2  ,C 10,2,2  ，
设Px,2-x,0 

,0≤x≤2，则D 1 P=x,2-x,-2 

，A 1 C 1 =-2,2,0  ，
 
  DP⋅AC 1 1 1
设DP与AC 所成角为θ，cosθ=cos<DP,AC >=
1 1 1 1 1 1


DP 1 

AC 1 1 
x-1
=

x-1 
，
2+3
因为0≤x-1  ≤1，
当x-1 
π
=0时，可得cosθ=0，所以θ= ，
2
当0<x-1 
x-1
≤1时，cosθ=

x-1 
1 1
= ≤ ，
2+3 3 2 x-1+
x-1
π
由θ∈ 0,
 2

π π
，所以 ≤θ< ，
3 2
π π
所以异面直线DP与AC 所成角的取值范围是  ,
1 1 1  3 2
 ，所以B正确；
对于C，由B 12,2,2  ,D 10,0,2  ,C0,2,0  ,F2,1,2  ，
高二数学 第1页 共4页 参考答案设Pm,n,0 

，0≤m≤2,0≤n≤2,则CB 1 =2,0,2 

，CD 1 =0,-2,2 

，FP=m-2,n-1,-2  ，

设平面B 1 CD 1 的一个法向量为n=a,b,c 
 
 
，则n⋅CD =-2b+2c=0,n⋅CB =2a+2c=0， 1 1

取a=1，可得b=-1,c=-1，所以n=1,-1,-1  ，


因为PF⎳平面B 1 CD 1 ，所以FP⋅n=m-2  -n-1  +2=0，可得n=m+1，

所以FP  = m-2  2+n-1  2+4= 2m2-4m+8= 2m-1  2+6≥ 6，
当m=1时，等号成立，所以C错误；
对于D：因为直线AP与平面ABCD所成的角为45°，
由AA ⊥平面ABCD，得直线AP与AA 所成的角为45°，
1 1
若点P在平面DCCD 和平面BCCB 内，
1 1 1 1
因为∠BAB=45°，∠DAD=45°，故不成立；
1 1
在平面ADDA 内，点P的轨迹是AD=2 2；
1 1 1
在平面ABBA 内，点P的轨迹是AB =2 2；
1 1 1
在平面ABCD 内，作PM⊥平面ABCD，如图所示，
1 1 1 1
因为∠PAM=45°，所以PM=AM，
又因为PM=AB，所以AM=AB，所以AP=AB，
1
所以点P的轨迹是以A 点为圆心，以2为半径的四分之一圆，
1
1
所以点P的轨迹的长度为 ×2π×2=π，
4
综上，点P的轨迹的总长度为π+4 2，所以D正确.故选：ABD.
13.【解析】不妨设F 2c,0  a2-b2=c2,c>0  ，则PF 2 
c2 b2
=b⋅ 1- a2 = a ，F 1 F 2  =2c,
b2 a2-c2 2c
又△FPQ为等边三角形，则 × 3=2c⇒ = ，
1 a a 3
即 3a2- 3c2=2ac,∴ 3e2+2e- 3= 3e-1  e+ 3  =0，
3 3
解之得e= ，负根舍去.故答案为： .
3 3
14.【解析】该问题等价于y=mx-1与y=- 1-(x-1)2有两个不同交点，
y≤0
对于y=- 1-(x-1)2等价于
x-1 
 ，即半圆，
 2+y2=1
对于y=mx-1，该直线过定点0，-1  ，
如图：直线绕点0，-1  从l 1 逆时针旋转到l 2不包括l 1  时，
1 1
直线与半圆有两个不同交点，k =0，k = ，故m∈0,
l1 l2 2 2
 .
x2 y2
15.【解析】(1)由题意可设C: + =1a>b>0
a2 b2
 ，1分
1
将M 3,
2

3 1
代入得 + =1，3分
a2 4b2
又c= 3，解得a=2,b=1，6分
x2
所以椭圆方程为 +y2=1.7分
4
x2
(2)将直线y=x-1与椭圆 +y2=1联立得5x2-8x=0，9分
4
设Px 1 ,y 1  ,Qx 2 ,y 2 
8
，则x +x = ,xx =0，11分 1 2 5 1 2
∴PQ  = 1+k2 x 1 +x 2 
y 2，0 l
2
O x
l
1
8 2
2-4xx = . 13分 1 2 5

高二数学 第2页 共4页 参考答案16.【解析】(1)如图，建立空间直角坐标系D-xyz，所以D 10,0,2  ,F0,1,0  ,A2,0,0  ,E2,2,1  ，

则D 1 F=0,1,-2 

,DA=2,0,0 

,DE=2,2,1  ，3分

设平面ADE的一个法向量为n=x,y,z  ，


n⋅DA=2x=0 
则  ，令y=1，则x=0,z=-2，即n=0,1,-2
n⋅DE=2x+2y+z=0
 ，6分


显然n=DF，所以DF⊥平面ADE；8分
1 1

(2)由(1)可知平面ADE的法向量为n=0,1,-2  ；

又DC 1 =0,2,2 


DC ⋅n 1
，所以C 到平面ADE的距离d= 1

 n 
1×2+-2
=
  ×2 
12+-2 
2 5
= .13分 2 5
17.【解析】(1)设“甲答对3道题目”为事件A，
2
因为甲答对每道题目的概率都是 ，且对抽到的不同题目能否答对是独立的，
3
所以PA 
2 2 2 8
= × × = ；5分
3 3 3 27
(2)设“乙恰好答对2道题目”为事件B，
1
又乙答对每道题目的概率都是 ，且对抽到的不同题目能否答对是独立的，
2
所以PB 
1
=3×
2

3 3
= ；10分
8
(3)设“甲通过面试”为事件C，“乙通过面试”为事件D，且C与D相互独立，
所以PC 

=1-PC 
1 1 1 26
=1- × × = ，11分
3 3 3 27
PD 

=1-PD 
1 1 1 7
=1- × × = ，12分
2 2 2 8
 
设“甲、乙两人只有一人通过面试”为事件E，则E=(CD)∪(CD)，
   
因为CD与CD互斥，C与D，C与D分别相互独立，
所以PE 
 
=PCD∪CD 

=PCD 

+PCD  =PC 

PD 

+PC  PD 
26 1 1 7 11
= × + × = ，
27 8 27 8 72
11
所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 . 15分
72
18.【解析】1  连接AC，交BD于O，则O为AC的中点，连接EO，且O、E分别为AC、CP的中点，
所以OE⎳PA，PA⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，PA⎳平面BDE.4分
2  因为底面ABCD为正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，
以点D为坐标原点，DA，DC，DP方向的直线分别为x轴，y轴，z轴
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，不妨设AB=2，
D0,0,0  ，P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1)
  
所以PB=(2,2,-2),DB=(2,2,0),DE=(0,1,1)，6分


设平面BDE的法向量为n  =(x,y,z)，则   n  ⋅D  B  =0 ，即  2x+2y=0 ，
n⋅DE=0 y+z=0

令x=1，则n=(1,-1,1).8分


PB⋅n
设直线PB与平面BDE所成角为α，则sinα=


PB   ⋅n 
2-2-2
=
 1
= ，
2 3× 3 3
1
所以直线PB与平面BDE所成角的正弦值为 . 10分
3
高二数学 第3页 共4页 参考答案3 
  
设PF=λPB，则F(2λ,2λ,2-2λ)，所以EF=(2λ,2λ-1,1-2λ)，
 
1
又EF⊥PB，所以EF⋅PB=4λ+4λ-2-2+4λ=12λ-4=0，解得λ= ，12分
3
2 2 4
所以F , ,
3 3 3

 
2 2 4
.则DA=(2,0,0),DF= , ,
3 3 3


,DE=(0,1,1)，

设平面ADF的法向量为n =(x,y,z)，
1 1 1 1
 
2x =0
n ⋅DA=0  1 
则  n 1 1 ⋅D  F  =0 ，即 2 3 x 1 + 2 3 y 1 + 4 3 z 1 =0 ，令z 1 =-1，则n 1 =(0,2,-1)；14分
由2 

平面BDE的法向量为n=(1,-1,1)，
 
设平面ADF与平面BDE的夹角为θ，则cosθ= n 1 ⋅n  
n 1⋅ 

 n 
-2-1 =  15 = ；
5× 3 5
15
所以平面ADF与平面DEF的夹角的余弦值为 . 17分
5
19.【解析】(1)设圆心C的坐标为a,b  .
因为A,B是圆C上的两点，所以CA  =CB  ，所以 a2+(b-3)2= a2+(b+1)2,
即-6b+9=2b+1，解得b=1.
因为圆心C在直线y=2x+1上，所以b=2a+1=1，解得a=0，
则圆C的半径r=CA  = 0+(1-3)2=2，故圆C的标准方程为x2+(y-1)2=4.5分
(2)设直线l:y=kx+2,Dx 1 ,y 1  ,Ex 2 ,y 2  .
由   y x2 = + k ( x y + - 2 1 , )2=4, 整理得k2+1  x2+2kx-3=0，
则Δ=4k2-4k2+1  ×-3  =16k2+12>0，
2k 3
故x +x =- ,xx =- .8分
1 2 k2+1 1 2 k2+1
y -3 y -3
①证明：因为k = 1 ,k = 2 ，
1 x 2 x
1 2
所以kk = y 1 -3 ⋅ y 2 -3 = y 1 y 2 -3y 1 +y 2
1 2 x x
1 2
 +9 = k2x 1 x 2 -kx 1 +x 2
xx
1 2
 +1 .
xx
1 2
2k 3
把x +x =- ,xx =- 代入上式，
1 2 k2+1 1 2 k2+1
3
k2⋅-
k2+1
得kk =
1 2

2k
-k⋅-
k2+1
 +1
1
=- .12分
3 3
-
k2+1
y -3 y +1
②直线AD的方程为y= 1 x+3，直线BE的方程为y= 2 x-1.
x x
1 2
y -3
y= 1 x+3,
由   x 1 得 y-3 = y 1 -3
y +1 y+1 y= 2 x-1,
x
2
 x 2
x 1y 2 +1 
= kx 1 -1  x 2
x 1kx 2 +3 
kxx -x = 1 2 2 .
kxx +3x 1 2 1
2k 3
因为x 1 +x 2 =- k2+1 ,x 1 x 2 =- k2+1 ，所以3x 1 +x 2  =2kxx ， 1 2
3
kxx -x 2 x 1 +x 2
所以 1 2 2 =
kxx +3x
1 2 1
 -x 2
3
2 x 1 +x 2 
3x +x 1
= 1 2 = ，
9x +3x 3
+3x 1 2 1
y-3 1
即 = ，则y=5，即点P在定直线y=5上. 17分
y+1 3
高二数学 第4页 共4页 参考答案