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高三数学答案
一．选择题：本题共8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
二．选择题：本题共3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D A D C B A B AB ABC AD
三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 200 13. 20π 14．(3，＋∞)
四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
解：（1）当a=1时， f(x)=x−ex， f′(x)=1−ex，
∴ f(0)=−1, f′(0)=0，
∴曲线y=f（x）在点(0，f(0))处的切线的方程为y+1=0.………………4分
（2）由 f(x)=x−aex得， f′(x)=1−aex，
当a≤0时， f′(x)>0，函数 f(x)在R上单调递增，
此时 f(a)=a−aea =a(1−ea)≤0, f(1)=1−ae>0，
所以当a≤0时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点；………………8分
当a>0时，令 f′(x)=0得，x=−lna，
∴x∈(−∞,−lna), f′(x)>0, f(x)单调递增，x∈(−lna,+∞), f′(x)<0, f(x)单调递减，
∴当x=−lna时，函数 f(x)有极大值，
若曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点，
1
则 f(−lna)=−lna−ae−lna =0，解得a= ，
e
1
综上所述，当a≤0或a= 时，曲线y=f（x）与x轴有且只有一个交点.………………13分
e
16.（本小题满分15分）
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学科网（北京）股份有限公司3 2 1 1
解：（1）设甲同学三道题都答对的事件为A，则P(A)= × × = ，
4 3 2 4
1 3
所以甲同学至少有一道题不能答对的概率为P=1−P(A)=1− = .………………5分
4 4
（2）设甲同学本次竞赛中得分为X ，则X 的可能取值为0,2,4,6,8分，
则P(X =0)= 1 × 1 × 1 = 1 ，P(X =2)= 3 × 1 × 1 + 1 × 2 × 1 = 5 ，
4 3 2 24 4 3 2 4 3 2 24
3 2 1 1 1 1 7 3 1 1 1 2 1 5
P(X =4)= × × + × × = ，P(X =6)= × × + × × =
4 3 2 4 3 2 24 4 3 2 4 3 2 24
3 2 1 1
P(X =8)= × × =
4 3 2 4
所以X 的概率分布列为：
X 0 2 4 6 8
1 5 7 5 1
P
24 24 24 24 4
1 5 7 5 1 29
所以E(X)= ×0+ ×2+ ×4+ ×6+ ×8= （分） ………………9分
24 24 24 24 4 6
设乙同学本次竞赛中得分为Y，由Y的可能取值为0,2,4,6,8分
3 2
1 1 2 1 4
P(Y =0)= = ，P(Y =2)=C1 × = ，
3 27 2 3 3 27
2 2 2
2 1 2 1 6 2 1 2 8
P(Y =4)= × + × = = ，P(Y =6)=C1 × =
3 3 3 3 27 9 23 3 27
3
2 8
P(Y =8)= =
3 27
所以Y的概率分布列为：
Y 0 2 4 6 8
1 4 2 8 8
P
27 27 9 27 27
1 4 2 8 8 144 16
所以E(Y)= ×0+ ×2+ ×4+ ×6+ ×8= = ………………13分
27 27 9 27 27 27 3
16 32 29
由于E(Y)= = >E(X)= ，
3 6 6
所以乙同学的得分高.………………15分
17.（本小题满分15分）
证明：(1)因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以BC ⊥PA.
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学科网（北京）股份有限公司四边形ABCD为矩形，所以BC ⊥ AB，因为PAAB= A，所以BC ⊥平面PAB.
从而BC ⊥ AE，因为PA= AB=2，点E是棱PB的中点﹐所以AE⊥PB.
因为PB∩BC =B，所以AE⊥平面PBC.
又因为AE⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面PBC.………………6分
(2)解：以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系A−xyz，
如图所示，依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,3,0),D(0,3,0),E(1,0,1),EC =(1,3,−1)，
AC =(2,3,0),DC =(2,0,0)
EC⋅n=0 x +3y −z =0，
设平面ACE的法向量为n=(x,y ,z )，由 ，得 1 1 1
1 1 1 AC⋅n=0 2x +3y =0
1 1
不妨令x =3,可得n=(3,−2,−3).………………9分
1
EC⋅m=0 x +3y −z =0
设平面CED的法向量为m=(x ,y ,z )，由 ，得 2 2 2
2 2 2 DC⋅m=0 2x =0
2
不妨令y =1，可得m=(0,1,3) .………………12分
2
n⋅m 55
易知二面角A−CE−D为锐角， cos = = ，
n m 10
55
所以二面角A−CE−D的余弦值为 .………………15分
10
18.（本小题满分17分）
p p
解：（1）抛物线的焦点F ,0，准线为x=− ，
2 2
p
因为点P(1,y )(y >0)到其焦点的距离为2，所以1+ =2，解得p=2，………………2分
0 0 2
所以抛物线的方程为y2 =4x，………………4分
高三数学试卷 第 3 页 共 5 页
学科网（北京）股份有限公司因为点P(1,y )(y >0)在抛物线上，所以y 2 =4，解得y =2，所以P(1,2)，
0 0 0 0
综上，P点坐标为(1,2)，抛物线的方程为y2 =4x．………………8分
（2）证明：设直线MN的方程为x=my+n，
1 1 x=my+n
M y2,y ，N y2,y ，联立 ，得y2−4my−4n=0，
4 1 1 4 2 2 y2 =4x
y −2 4
k = 1 =
所以y +y =4m，y y =−4n，所以 PM 1 y +2，………………10分
1 2 1 2 y2−1 1
4 1
4
同理可得k = ， ………………12分
PN y +2
2
1 16 1
因k
PM
⋅k
PN
=−
2
，所以
(y +2)(y +2)
=−
2
，所以y
1
y
2
+2(y
1
+y
2
)+36=0，
1 2
所以−n+2m+9=0，即n=2m+9（满足∆>0），
直线MN的方程为x=my+2m+9=m(y+2)+9，
所以直线MN过定点(9,−2)．………………17分
19.（本小题满分17分）
解：（Ⅰ）依题意a +a =1，且a =a (n=1，2，)，
1 2 n+2 n
所以数列{a }的前10项和为5. ………………5分
n
（Ⅱ）由于数列{a }具有性质P(4)和P(t)，其中t为大于零的奇数，
n 4 t
令t =2k−1，k∈N*，则有a =a =a =a ，
n+2 n+2+2k-1+2k-1 n+4k n
所以a =a =a =a .
n+1 n+1+2k-1 n+2k n
综上{a }为常数列.
n
又因为{a }具有性质P(4)，所以a +a +a +a =4.
n 4 1 2 3 4
所以a =1. ………………10分
n
a ++a a
（Ⅲ）要证 N+1 N+k ≥ ，
k m
a
只需证a +a +a ≥k⋅ ，
N+1 N+2 N+k m
a a a
即只需证(a − )+(a − )++(a − )≥0，
N+1 m N+2 m N+k m
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学科网（北京）股份有限公司a
令数列b =a − ，由于数列{a }具有性质P (a)，则数列{b }具有性质P (0).
n n m n m n m
令S =b +b ++b (i∈N*)，
i 1 2 i
设S，S，，S 的最小值为S (1≤N ≤m)，
1 2 m N
对k∈N*，令N +k = pm+r， p, r∈N,0
