文档内容
2024/2025 学年度第一学期联盟校期末考试
高二年级数学试题
总分 150 分考试时间 120 分钟）
注意事项:
1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.
2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.
3.作答非选择题时必须用黑色字迹 0.5 毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必
须用 2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答
案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.
一、单项选择题.本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线 与 垂直，则实数 （ ）
A. 3 B. C. D. 2
3. 已知数列 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，则 （ ）
A. B. C. 23 D. 25
4. 已知直线 恒过点 P，则以点 P 为圆心， 为半径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为 25m，拱顶距
水面 ，该处路面厚度约 .若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点
处，则绳子最合适的长度是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6. 已知点 ， ，点 P 是圆 上任意一点，则 面积的最小值为（ ）
A. B. 9 C. 6 D. 3
7. 若直线 是曲线 的一条切线，则 k 的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
8. 已知双曲线 （ ）的左焦点 ，点 分别在双曲线 的左、右两支上，
（ 为坐标原点），且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题.本题共 3 题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题选项中，有多项符合题目要求，
全选对给 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知曲线 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 若 ，则 C 是焦点在 x 轴上 双曲线
B. 若 ，则 C 是圆
C. 若 ，则 C 是焦点在 x 轴上的椭圆
D. 若 ，则 C 是两条平行于 y 轴的直线
10. 已知数列 ，下列结论正确的有（ ）
A. 若 ，则
B 若 ，则
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学科网（北京）股份有限公司C. 若 ，则数列 是等比数列
D. 若 ，则数列 是等比数列
11. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 .若 是奇函数，且
且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题.本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 直线 ： 与直线 ： 的交点坐标为________.
13. 已知圆 ，直线 过点 且与圆 相切，若 与两坐标轴交点分别为 、 ，
则 ______.
14. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以用
“裂 项 相 消 法 ”求 解 ， 例 如 ， 故 的 前 n 项 和
，记数列 的前 n 项和为 T，利用上述方法得 ＝__________.
n
四、解答题.本题共 6 小题，共 77 分.
15. （1）求过 ，且与直线 平行 直线的方程.
（2）已知 三个顶点 ， ， ，求边 上的高所在的直线方程.
16. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 已 知 ， M 上 存 在 两 点 关 于 直
线
对称.
（1）求圆 M 的半径；
（2）过坐标原点 O 的直线 l 被 M 得的弦长为 ，求 l 的方程.
17. 已知等差数列 的前 n 项和为 ，且满足 ， ，数列 满足 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
（1）证明:数列 是等比数列，并求 ， 的通项公式;
（2）已知数列 满足 ，求 的前 2n 项和
18. 凸函数是数学中一个值得研究的分支，它包括数学中大多数重要的函数，如 ， 等.记 为
的导数.现有如下定理：
在区间 上 为凸函数的充要条件为 .
（1）证明：函数 为 上的凸函数;
（2）已知函数 .
① 若 为 上的凸函数，求 的最小值;
② 在① 的条件下，当 取最小值时，证明： 在 上恒成立.
19. 已知椭圆 C: 的左右焦点为 ,点 为椭圆 C 上的三点，且满足
，直线 与直线 交于点 Q，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为
·
（1）若点 P 在 y 轴上，则 是边长为 2 的等边三角形，求椭圆方程;
（2）若 ，求椭圆 C 的离心率;
（3）求证 定值.
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