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泰安一中新校区 2025 届高三上学期期中模拟考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次不等式求集合A，根据指数函数单调性求集合B，进而求交集.
【详解】因为集合 ，
，
所以 ．
故选：D．
2. 命题“ ， ”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将不等式成立的存在性问题转化为函数的最值问题，得到 的取值范围，再由充分不必要条件的
定义得到结果.
【详解】因 “ ， ”，所以 ，所以 ．
为结合选项及充分不必要条件知“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选：D．
3. 已知奇函数 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由 即可求解.
【详解】 ，
是奇函数， ，
， ， ．
故选:A．
4. 设公差 的等差数列 中， ， ， 成等比数列，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等比数列求出首项与公差的关系，然后利用等差中项化简所求表达式即可．
【详解】解：因为公差 的等差数列{a }中， ， ， 成等比数列，
n
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，
故选： C．5. 已知 ， 都是锐角， ， ，求 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用同角三角函数之间的关系可求得 ， ，再利用两角差的余弦公式可得结果.
【详解】由 ， 以及 ， 都是锐角可得 ， ；
所以
.
故选：A
6. 函数 的零点个数为（ ）
A. 1 B. 0 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数判断函数的单调性，结合 ，即可判断出答案.
【详解】由 ，可得 ，即定义域为(−1,1)，
所以 ，
由于 ，故 ，
即f′(x)≥0，当且仅当x=0时取等号，即 在(−1,1)上为单调递增函数，又 ，
所以 仅有一个零点．
故选：A．
7. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 成等差数列，则
的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得 ，然后结合和差公式将所求化简为关于
的表达式，利用基本不等式可得.
【详解】由题知 ，由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，得 ，
所以 最多有一个是钝角，所以 ，
因为
，
由基本不等式得 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为3.
故选：A
【点睛】关键点睛：本题主要在于利用三角恒等变换和三角形内角和定理，将已知和所求转化为
的表达式，即可利用基本不等式求解.
8. 已知函数 的定义域为R，且满足 ， ，则下列结论正
确的是（ ）
A. B. 方程 有解
C. 是偶函数 D. 是偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知得到 ，应用递推式及累加法求 解析式，进而判断各项正误.
【详解】因为函数 的定义域为R，
由 ， ，取 ，得 ，
取 ，得 ，故A错误．
取 ，得 ，
所以 ， ， ， ，
⋯
以上各式相加得 ，所以 ，不是偶函数，故C错误；
令 ，得 ，解得x=1或2，故B正确；
因为 ，所以 不是偶函数，故D错误.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选
对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设正实数 满足 ，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】利用基本不等式判断A，利用基本不等式“1”的妙用判断B，利用平方法，结合基本不等式判断
C，利用完全平方公式，结合基本不等式判断D，从而得解.
【详解】对于A， ，
当且仅当 时取等号，此时 取最大值 ，故A不正确；
对于B，因为正实数 满足 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，所以 的最小值为 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 时取等号，所以 ，即最大值为√2，故C错误；
对于D，由 ，
因此 ，
当且仅当 时取等号，则 的最小值为 ，故D正确.
故选：BD
10. 已知函数 的图象过点 和 ，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A.
.
B
C. 当 时，函数 值域为
D. 函数 有三个零点
【答案】ABD
【解析】【分析】根据 和 的范围即可得 ，进而根据 可得 即可判断AB，根
据整体法即可求解C ，利用函数图象即可求解D.
【详解】解：点 代入解析式得， ，即 ，
又 故A项正确.
由 ，解得 ， 又 ， ，
由A项可知 ，则有 ，
因此 ， 又因为 和 和 ，
可知， ，解得 故B项正确.
由AB选项可知， ， 则 时， ，此时函数 值
域为 故C项错误.
由五点作图法作出 的图象及 的图象，如下图所示。
通过图象可知 与 的图像有3个不同交点，
因此函数 有三个零点.因此D项正确。
故选：ABD11. 已知 是数列 的前n项和，且 ，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B.
C. 若 ，则
D. 若数列 单调递增，则 的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】由 推出 ，两式相减即可判断A；由
推出 ，两式相减即可判断B；由 分
析知，{a }中奇数项是以 为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以 为首项，2为公差的等差
n
数列，再由等差数列得前 项和公式求和可判断C；根据数列{a }单调递增可判断D.
n
【详解】对于A， ①， ②.
由① ②式可得； ， A选项正确；
对于B，因为 ，
所以 ，两式相减得： ，所以B正确；
对于C，因为 ，
令 ，得 ，因为 ，所以 ，
令 ，得 ，因为 ， ，
可得 ，
因为 ，而 ，所以 ，
所以{a }奇数项是以 为首项，2为公差的等差数列，
n
偶数项是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以
，所以C选项正确；
对于D， ，
令 ，则 ，所以 ，则 ，
又因为 ，令 ，则 ，
所以 ，
同理：
，
，因为数列{a }单调递增，所以 ，
n
解 得： ，
解 得： ，
解 得： ，
解 得： ，
解 得： ，
所以 的取值范围是 ，所以D不正确.
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用 得出{a }的奇数项、偶数项分别成等差数列.
n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列 为正项等比数列， ，若 是数列 的前 项积，则当 取最
大值时 的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设等比数列 的公比为 ，根据题意，列出方程求得 ，得到 ，结合
， ，进而得到答案.
【详解】设等比数列 的公比为 ，其中 ，因为 ，可得 ，所以 ，
解得 或 （舍去），则 ，
又当 时， ，当 时 ，
所以当 取最大值时 的值为 ．
故答案为： .
13. 为了测量隧道口 、 间的距离，开车从 点出发，沿正西方向行驶 米到达 点，然后从
点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达 点，再从 点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口 点处，
测得 间的距离为1000米.则隧道口 间的距离是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理列式计算即得.
【详解】在 中， ，由正弦定理得
，
而 ，则 ，在 中， ，由余弦定理得： .
故答案为：1000
14. 函数 的导函数为 ，若在 的定义域内存在一个区间 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，则称区间 为函数 的一个“渐缓增区间”．若对于函数
，区间 是其一个渐缓增区间，那么实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先通过f′(x)在区间 上单调递减，得到其导函数不大于零恒成立，通过参变分离求最值得
的范围，再通过 在区间 上单调递增，得到其导函数不小于零恒成立，通过单调性求得 的范
围，综合可得答案.
【详解】对于函数 ，
，令 ，
则 ，因为f′(x)在区间 上单调递减，
所以 恒成立，即 恒成立，又 ，
所以 ，又 在区间 上单调递增，
所以 恒成立，
所以 ，解得 ，
综合得 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）证明：
（2）若 ， ，求 的周长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦函数的和差公式，结合正弦定理与余弦定理的边角变换，化简整理即可得证；
（2）利用（1）中结论与余弦定理分别求得 ，从而求得 ，由此得解.
【小问1详解】
已知 ，
可化为 ，
由正弦定理可得 ，即 ，由余弦定理可得 ，
整理得 .
【
小问2详解】
当 ， 时， ，
，
所以 ，解得 ，
所以 的周长为
16. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位，得到
函数 的图象，若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数 的解析式，再由整体角范围求解不等
式可得单调区间；
（2）由伸缩变换与平移变换得 解析式，得 ，根据整体角范围求余弦值，再由
角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.
【小问1详解】
.
由 ，
解得
即 时，函数单调递减，
所以函数 的单调递减区间为 ；
【小问2详解】
将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），则得到函数 的图象，再向右平移 个单位，得到函数 的图象，
所以 .
若 ，则 ， .
由 ，得 ，又 ，
所以 ，则 ，
故
.
故 的值为 .
17. 已知数列 是以公比为3，首项为3的等比数列，且 .
（1）求出 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求
实数λ的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】【分析】（1）由 利用累加法求出 的通项公式，进而求出{a }的通项公式.
n
（2）由 得 ，利用错位相减法求出 ，不等式 可转化为
，利用 的单调性求出最小值即可.
【小问1详解】
∵数列 是首项为3，公比为3的等比数列，∴ ，
∴当 时， ，
即 ，∴ ，∴ .
又 也满足上式，∴数列{a }的通项公式为 ；
n
【小问2详解】
由（1），可得 ，
∴ ①，
②，
由①-②，得 ，∴ ，
∴不等式 可化为 ，
即 对任意的 恒成立，
令 且 为递增数列，即转化为 .
又 ，所以 ，
综上，λ的取值范围是 .
18. 已知函数 ，其中 是实数.
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若函数 不具有单调性，求实数 的取值范围；
（3）若 恒成立，求 的最小值.
【答案】（1） 在 单调递增， 单调递减
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解；（2）由题意 在定义域内有异号零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理列
不等式求解即可；
（3）易知当 时， ，再证 能成立，即证：存在 ，使得 恒成立，构
造函数，利用导数研究其最值即可求解.
【小问1详解】
当 时， ，则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 在 单调递增， 单调递减；
【小问2详解】
函数 的图象是连续的，且不具有单调性，
在定义域内有正有负（有异号零点），
记 ，则 在 为负， 为正，
在 单调递减， 单调递增，
故存在 ，使得 ，
只需 ，即 .
【小问3详解】
对任意 都成立，当 时， ，下证： 能成立，即证：存在 ，使得 恒成立，
记 ，故 （必要性），
而 ，则 ，解得 ，
只需证： 恒成立，
，由（2）知，其在 单调递减， 单调递增，
在 为正，在 为负，在 为负，
在 单调递增， 单调递减， ，得证；
综上， 的最小值为0.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；
二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇
数为 ；若n为奇数，则对 不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为 .若 ，则称正
整数n为“理想数”.
（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知 .求m的值；
（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列 ，记 的前n项和为 ，证明：
.【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”
（2） 的值为12或18
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；
（2）分析题意知道 必为奇数，则 必为偶数，结合整除知识得解；
（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.
【小问1详解】
的
以内 质数为 ，
，故 ，所以 为“理想数”；
，而 ，故 不是“理想数”；
，而 ，故 是“理想数”；
，而 ，故 不是“理想数”；
，而 ，故 不是“理想数”；
，而 ，故 不是“理想数”；
，而 ，故 不是“理想数”；
，而 ，故 不是“理想数”；
和5为两个质数“理想数”；
【小问2详解】由题设可知 必为奇数， 必为偶数，
存在正整数 ，使得 ，即 ：
，且 ，
，或 ，或 ，解得 ，或 ，
，或 ，即 的值为12或18．
【小问3详解】
显然偶数"理想数"必为形如 的整数，
下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间： ，
若奇数 ，不妨设 ，
若 为"理想数"，则 ，且 ，即 ，且 ，
①当 ，且 时， ；
②当 时， ；
，且 ，
又 ，即 ，
易知 为上述不等式的唯一整数解，区间 ]存在唯一的奇数"理想数" ，且 ，
显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为 ，
所有 的奇数"理想数"的倒数为 ，
，即 ．
