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泰安一中新校区 2025 届高三上学期期中模拟考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 已知集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
2. 命题“ ， ”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知奇函数 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D.
4. 设公差 的等差数列 中， ， ， 成等比数列，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知 ， 都是锐角， ， ，求 （ ）
A. B. C. D.
6. 函数 的零点个数为（ ）A. 1 B. 0 C. 3 D. 2
7. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 成等差数列，则
的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 已知函数 的定义域为R，且满足 ， ，则下列结论正
确的是（ ）
A. B. 方程 有解
C. 是偶函数 D. 是偶函数
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选
对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 设正实数 满足 ，则（ ）
A. 最的小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10. 已知函数 的图象过点 和 ，且满足
，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.C. 当 时，函数 值域为
D. 函数 有三个零点
11. 已知 是数列 的前n项和，且 ，则下列选项中正确的是（ ）
.
A
B.
C. 若 ，则
D. 若数列 单调递增，则 取值范围是
的
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知数列 为正项等比数列， ，若 是数列 的前 项积，则当 取最
大值时 的值为______．
13. 为了测量隧道口 、 间的距离，开车从 点出发，沿正西方向行驶 米到达 点，然后从
点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达 点，再从 点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口 点处，
测得 间的距离为1000米.则隧道口 间的距离是___________.
14. 函数 的导函数为 ，若在 的定义域内存在一个区间 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减，则称区间 为函数 的一个“渐缓增区间”．若对于函数，区间 是其一个渐缓增区间，那么实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）证明：
（2）若 ， ，求 的周长.
16. 已知函数 ．
（1）求函数 的单调递减区间；
（2）将函数 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位，得到
函数 的图象，若 ，且 ，求 的值．
17. 已知数列 是以公比为3，首项为3的等比数列，且 .
（1）求出 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，若不等式 对任意的 恒成立，求
实数λ的取值范围.
18. 已知函数 ，其中 是实数.
（1）若 ，求 的单调区间；（2）若函数 不具有单调性，求实数 的取值范围；
（3）若 恒成立，求 的最小值.
19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇
数为 ；若n为奇数，则对 不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为 .若 ，则称正
整数n为“理想数”.
（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知 .求m的值；
