文档内容
济南一中 2022 级高三上学期期中学情检测
数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】化简集合 ，由交集的概念即可得解.
【详解】因为 ，且注意到 ，
从而 .
故选：A.
2. 已知 ，则 ＝（ ）
A. 2 B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的运算法则计算出复数 ，再计算复数的模.【详解】由题意知 ，
所以 ，
故选：C.
3. 若 ， ，则实数 （ ）
A. 6 B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量数量积坐标公式即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
4. 函数 的定义域为 ，数列 满足 ，则“函数 为减函数”是“数列 为
递减数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充要条件的要求分别判断即可，若是推不出，则只需举反例.
【详解】因函数 的定义域为 ，函数 为减函数，又因数列 满足 中，
,而 ,则 在 上必是递减的，
即数列 为递减数列，故“函数 为减函数”是“数列 为递减数列” 充的分条件；反之，数列 为递减数列，即 在 上是递减的，但是 在 上未必递减.
(如函数 在 上的函数值都是 ，显然函数不是减函数，同时对应的数列
却是递减数列.)
故“函数 为减函数”不是“数列 为递减数列”的必要条件.
故选：A.
5. 一组数据按从小到大的顺序排列为1，4， ，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的 ，则该组
数据的第45百分位数是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】利用对极差及中位数的概念理解，就可解得.
【详解】由已知可得极差是： ，而中位数是极差的 ，即中位数是 ，
根据六个数的中位数是： ，解得 ，
故选：D.
6. 已知 的展开式中所有项的系数之和为64，则展开式中含 的项的系数为（ ）
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
【答案】B
【解析】
的
【分析】根据所有项 系数之和求解 ，写出 的展开式，求 与二项式中含 的项相乘所得的
项，-1与二项式中含 的项相乘所得的项，两项相加，即为 的展开式中含 的项.
【详解】所有项的系数之和为64，∴ ，∴， 展开式第 项 ，
时， ， ，
时， ， ， ，
故选：B．
7. 已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的最小值是（
）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知条件求出切点的横坐标，从而得到 ，利用基本不等式即可求解.
【详解】由于直线 与曲线 相切，
设切点为 ，且 ，所以 ，
则切点的横坐标 ，则 ，即 .
又 ，所以 ，即 ，
当且仅当 时取等号，所以 的最小值为1.
故选：D
8. 函数 的零点个数为（ ）
A. 1 B. 0 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】【分析】利用导数判断函数的单调性，结合 ，即可判断出答案.
【详解】由 ，可得 ，即定义域为(−1,1)，
所以 ，
由于 ，故 ，
即f′(x)≥0，当且仅当x=0时取等号，
即 在(−1,1)上为单调递增函数，又 ，
所以 仅有一个零点．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题正确的是（ ）
A. 线性回归直线 不一定经过样本点的中心
B. 设 ，若 ， ，则
C. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1
D. 一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为
样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则 服从二项分布，且
【答案】BC
【解析】
【分析】根据线性回归方程过样本点中心可判断A；由二项分布的有关性质判断B；由相关系数的表示意
义判断C；由超几何分布的定义判断D.
【详解】对于A，线性回归直线 一定经过样本点的中心 ，故A错误；对于B，由 ， ， ，得 ，解得 ，故B正确；
对于C，两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故C正确；
对于D，由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，
所以由超几何分布的定义知 服从超几何分布，得 ，故D错误.
故选：BC
10. 已知f (x)=Asin(ωx+φ)（ ， ， ）的部分图象如图所示，则（ ）
A. B. 的最小正周期为
C. 在 内有2个极值点 D. 在区间 上的最大值为2
【答案】ABC
【解析】
【分析】先由图像确定振幅、周期判断A、B，再根据最大值点确定 ，确定函数解析式，再由函数的性
质即可判断C、D.
根据函数 的部分图像求出 、 、 、 ，即可得到函数解析式，
【详解】对于AB，根据函数 的部分图象知， ，
， ，故AB正确，对于C，由五点法画图知， ， ，解得 ， ，
由于 ，所以 ，∴ .
令 ， ，则 ， ，
时， ， 时， ，
当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故 在 内有2个极值点，分别为 ， ，故C正确，
对于D，∵ ，可得： ，
令 ，则 ， ，此时 单调递增，
所以 ，所以当 ，
此时 取最大值 ，故D错误.
故选：ABC.
11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 、 是 上异于点 的两点（ 为坐标原点）则
下列说法正确的是（ ）
A. 若 、 、 三点共线，则 的最小值为
B. 若 ，则 的面积为C. 若 ，则直线 过定点
D. 若 ，过 中点 作 于点 ，则 的最小值为
的
【答案】ABD
【解析】
【分析】设出直线 的方程，将直线 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理、焦半径公式以及
基本不等式可求得 的最小值，可判断A选项；求出点 的横坐标的绝对值，利用三角形的面积公式
可判断B选项；设直线 的方程为 ，将直线 的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理
以及 求出 的值，求出直线 所过定点的坐标，可判断C选项；利用抛物线的定义以及基
本不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，易知抛物线 的焦点为 ，
当直线 与 轴重合时，直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ， ，则 ，
易知 ， ，所以， ，
当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为 ，A对；对于B选项，设点 ， ，可得 ，所以， ，
则 ，所以， ，B对；
对于C选项，易知 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
设点 、 ，由于直线 不过原点，所以， ，
联立 可得 ， ，
由韦达定理可得 ，所以， ，
因为 ，则 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ，故直线 过定点 ，C错；
对于D选项，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
设 ， ，所以 ，
因为
，
所以 ，则 的最小值为 ，当且仅当 时，等号成立，D对．故选：ABD．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
的
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目 的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知A工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为95％，从
库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为______
【答案】0.92
【解析】
【分析】根据题意利用全概率公式直接求解即可.
【详解】因为A工厂库房中的某种零件60％来自甲公司，正品率为90％；40％来自乙公司，正品率为
95％，
所以从库房中任取一个这种零件，它是正品的概率为 ，
故答案为：0.92
13. 古希腊数学家阿基米德发现了“圆柱容球”定理.圆柱形容器里放一个球，该球顶天立地，四周碰边（即
球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的
三分之二.在一个“圆柱容球”模型中，若球的体积为 ，则该模型中圆柱的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据球的体积得出球的半径，再根据圆柱的表面积公式计算即可.
【详解】可设球的半径为 ，则根据题意可知圆柱的底面半径也为 ，圆柱的高等于直径，即为 ，由球的体积为 ，
利用球的体积公式可得： ，解得： ，
再由圆柱的表面积公式得：
，
故答案为： .
14. 已知 是 的等差中项，直线 与圆 交于 两点，则|AB|的小
值为______
【答案】
【解析】
【分析】结合等差数列性质将 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法，结合勾股定理代入计算即
可求解.
【详解】因为 成等差数列， 是 的等差中项，所以 ，即 ，
代入直线方程 得 ，
即 ，令 得 ，
故直线恒过 ，设 ，圆化为标准方程得： ，
设圆心为 ，画出直线与圆的图形，由图可知，当 时，|AB|最小，
，此时 .故答案为：4
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在平面内，四边形 满足 ， 点在 的两侧， ， ， 为正三角形，
设 .
（1）当 时，求 ；
（2）当 变化时，求四边形 面积的最大值.
【答案】（1）√3
（2）
【解析】
【分析】（1）在 中，由余弦定理可得 的值；
（2）由余弦定理可得 的表达式，进而求出正三角形 的面积的表达式，进而求出四边形
的面积的表达式，由辅助角公式及 的范围，可得四边形面积的范围．
【小问1详解】
因为 ， ， ，
由余弦定理可得： .
【小问2详解】
由余弦定理可得 ，因为 为正三角形，所以 ，
，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
故当 时，四边形 面积的最大值为 .
16. 如图，在四棱锥 中， ， ， 平面 ，
， 、 分别是棱 、 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 的夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析（2） ．
【解析】
【分析】（1）由中位线易证明四边形 是平行四边形，进而得到 ，进而得到 平面
；
（2）由题易知 ， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，
通过平面与平面的夹角计算公式计算余弦值，再用同角三角函数的基本关系计算正弦值；
【小问1详解】
如图所示，连接 ．
因为 ， 分别是棱 ， 的中点，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 是平行四边形，
则 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
【小问2详解】
因为 平面 ，
平面 ,所以 ，
又因为 ，
所以 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 ， ， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标
系．
由题中数据可得 ， ，
， ．
设平面 的法向量为 ，
则
令 ，得 ．
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面
平面 的一个法向量为 ．
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ．
故 ，即平面 与平面 的夹角的正弦值为 ．
17. 已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程：
（2）过点 的直线 与椭圆 交于点 、 ，设点 ，若 的面积为 ，求直线 的
斜率 .
【答案】（1） ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，列式求出 即可求得椭圆 的方程.
（2）设出直线 的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及三角形面积公式列出方程求解即得.
【小问1详解】
由椭圆 的离心率为 ，得 ，解得 ，
由椭圆 过点 ，得 ，联立解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
依题意，直线 不垂直于 轴，设其方程为 ， ，则 ，由 消去 得 ，显然 ，
则 ，
的面积
，解得 ，
所以直线 的斜率 .
18. 已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时，
（ⅰ）求 的极值；
（ⅱ）若 的极小值小于0，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）极小值 ，无极大值；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）（ⅰ）求导，利用导数判断单调性进而求出极值；（ⅱ）分析可得 ，构造函数 ， ，解法一利用导数判断函数
的单调性，解法二根据 ， 在 内均单调递增得到函数 的单调性，再根据
求解即可.
【小问1详解】
当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 ；
【小问2详解】
（ⅰ）因为 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ；
当 时， ；当 时， ；
所以 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值；
（ⅱ）由题意可得： ，
因为 ，所以 ，
构建 ， ，
因为 ，所以 在 内单调递增，因为 ，不等式 等价于 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
解法二：
由题意可得： ，即 ，
构建 ， ，
因为 ， 在 内均单调递增，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
19. 已知数列 满足 ，且对任意正整数 都有 .
（1）写出 ，并求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前 项和为 ，若存在正整数 ，使得 ，求 的值；
（3）设 是数列 的前 项和，求证： .
【答案】（1） ， ，
（2）2 （3）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
因为对任意正整数 都有 ，
故 ， ，
令 ，可得 ，所以 .
当 时， ，
当 时， ，符合上式，所以 ；
【小问2详解】
由（1）得 ，当 为偶数时，
当 为奇数时， 为偶数，
.
综上所述， ；
若 为偶数，则 为奇数，由 ，得 ，
解得 （舍去）或 ；
若 为奇数，则 为偶数，由 ，得 ，方程无解，
不合题意，舍去.
综上，所求 的值为2.
【小问3详解】
由现在我们来证明 时， ，
令 ，求导得 ，
所以 在(0,+∞)上单调递增，所以 ，
结合当 时， ，有 ，
所以 .
故
【点睛】关键点点睛：问题的第三问，先化简 ，得 ，再证明 时，
，利用结论，对数列{b }进行放缩，得到 ，可证结论.
n
