文档内容
长春外国语学校2025-2026学年第一学期期中考试高二年级
数学试卷
出题人 ：马竞 审题人：王先师
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 2页。考试结束 A．2√(m+R)(n+R) B．√(m+R)(n+R) C．2√mn D．√mn
后，将答题卡交回。
注意事项：
．过点（ ， ）的直线中，被圆 截得的弦长最大的直线方程是
1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。 5 2 1
（ ）
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，
． ． ． ．
字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在
A 3x-y-5=0 B 3x+y-7=0 C x+3y-5=0 D x+3y+5=0
．在下列等式中，使点 与点 一定共面的是（ ）
草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
6
5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 ． ．
第I卷（选择题）
A B
一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题 ． ．
目的一项） C D
．在空间直角坐标系中，点P ， ， 关于坐标平面xOy的对称点为（ ） ．已知 为椭圆 的焦点，P为椭圆上一动点， ，则 的
1 ． ， ， ． ，(1 ，2 -3) ． ， ， ． ， ， 7
最小值为（ ）
A (-1 -2 3) B (-1 -2 -3) C (-1 2 -3) D (1 2 3)
．过两点 的直线的倾斜角是 ，则 的值为（ ）
． ． ． ．
2
． ． ． ．
A B 1 C D
A 2 B C D 5
．在菱形 中若 是平面 的法向量则以下等式中可能不成立的是（ ）
．已知椭圆 的左右焦点分别是 ， ，过 的直线与 相交
3 ABCD , ABCD ,
⃗PA⋅ ⃗AB=0 ⃗PC⋅⃗BD=0 ⃗PC⋅⃗AB=0 ⃗PA⋅C⃗D=0 8
． ． ． ．
于A，B两点，若 ， ，则 的离心率为（ ）
4．A我国发射的第一颗人B造地球卫星的运行轨道C是以地心（地球的中心D）F
2
为一个焦点
的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）A距地面m千米，远地点（离地面最远
． ． ． ．
的点）B距离地面n千米，并且F 、A、B在同一条直线上，地球的半径为R千米，
2
A B C D
则卫星运行的轨道的短轴长为（ ）千米 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。若只有2个正确选顶，每选对一个
得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分。）．已知平面 ，其中点 ， ，则下列各点在平面内 （ 分）已知 且
9 15. 13
的是（ ） 求实数 的值；
(1)
． ． ． ． 若 ，求实数 的值．
A B C D (2)
．ΔABC
的三个顶点坐标为
A(4,0)
，
B(0,3)， C(6,7)
，下列说法中正确的是（ ）
10
．边BC与直线 平行
A
．边BC上的高所在的直线的方程为
B
．过点A且平分ΔABC
面积的直线与边BC相交于点
D(3,5)
16．（15分）已知圆 ： ，圆 ： ．
C
当 时，求圆 和圆 的公共弦长﹔
．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线方程一定是
(1)
D
是否存在实数a，使得圆 和圆 内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存
．已知直线 分别与 轴， 轴交于 , 两点，点 在圆 (2)
在，请说明理由．
11 AB
C：(x−1) 2 +(y+1) 2 =2 上，则ΔABP的面积可以是（ ）
． ． ． ． 17．（ 分）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 ，
A 7 B 8 C 9 D 15 ，E为 中点
第 Ⅱ 卷（非选择题）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） .
．经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的方向向量为(1,k)，则k的值是 ．
12
⃗n
．已知直线l的方向向量 ＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)
1到3直线l的距离为 ．
．空间四边形 中， ，且异面直线 与 成 ，
14
求异面直线 与 所成角的余弦值为
求证： 平面 ；
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写. 出文字说明，证明过程或演算步骤）
(1)求直线PC与平面 所成角的正弦值；
(2)求平面 与平面PAC夹角的余弦值 D B C A A C D B
9 10 11
(3) .
ABC BC BCD
18．（ 分）在平面直角坐标系 中，已知圆 与 轴交于 ，
二.填空
17
12.-2 13. 14.
两点，圆 过 ， 两点且与直线 相切．
/
三、解答题
（ ）求圆 的方程；
15.【答案】 ；
1
(1)2 (2) .
（ ）若直线 与圆 ，圆 的交点分别为点 ， ．求证：以线段 为直 【分析】（ ）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可；
2 （ ）根据空1间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解
径的圆恒过点 ．
2 .
【详解】（ ） ，…………………… 分
1 ...1
， 设 ，…………………………………… 分
19．（ 分）已知定圆 ，动圆N过点 且与圆M相切，记
2
17
动圆的圆心N的轨迹为E
， 的值为 ．……… 分
求轨迹E的方程； .
2 5
(1)
已知两定点 和 ，过B的动直线 交轨迹E于P，Q两点若直线AP的斜
（ ）由（ ） ，则 ，………… 分
(2) .
2 1 7
率为 ，直线AQ的斜率为 ，求证： 为定值 ，………………………… 分
. 9
，………… 分 ．……… 分
长春外国语学校2025-2026学年第一学期期中考试高二年级 .11 13
16.【答案】 不存在，理由见解析
数学试卷答案
(1) (2)
【分析】（ ）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解；
一、 选择题
（ ）假设存1在实数a，根据两圆内含关系列不等式并求解，可判断a的存在性．
1 2 3 4 5 6 7 8 2
【详解】（ ）圆 ： 即 ，…………… 分
1 1当 时，圆 ： ，………………………… 分 又∵ ， ， 平面PAD，∴ 平面PAD，……… 分
2 2
又 平面PAD，∴ ，………………………………………………… 分
两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为 ，…………… 分
∵ ，且E为 中点，∴ ，……………………… 分 3
3
圆 ： 的圆心 ，半径 ，……………… 分 4
又 ， 平面 ，
.5
∴ 平面 ．…………………… 分
圆心 到公共弦所在直线的距离 ，…… 分
（ ）如图，以A为坐标原点，分别以A5B，AD，AP所在直线为x，y，z轴，
6
建2立空间直角坐标系，
则两圆的公共弦长为 ……………… 分
7
（ ）不存在，理由如下：
2
圆 ： 可化为 ，
则圆心 ，半径 ，……………………………………… 分
9
又圆 ： 的圆心 ，半径 ，…………… 分
则 ， ， ， ， ，P(0,0,2)
11
假设存在实数a，使得圆 和圆 内含，
⃗AC=(2,2,0),⃗AE=(0,1,1),⃗PC=(2,2,−2)
∴ ，………………… 分
则圆心距 ，……………………… 分
设平面 的法向量为 ，
6
13
即 ，此不等式无解，故不存在实数a，使得圆 和圆 内含…… 分
则 ，即 ，………………………… 分
.15
1 √6 7
17.【答案】 证明见解析
3 3
令 ，则 ， ，∴ ，…………… 分
(1) (2) (3)
【分析】（ ）由线面垂直的判定定理可得 平面PAD，由线面垂直的性质定理得
8
2 1
，1进而利用线面垂直的判定定理得 平面 ； ∴cos< ⃗PC，⃗n>= = .
2√3×√3 3 分
（ ）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐
………………………9
标2系，求出平面 的法向量、向量PC，由线面角公式可得答案．
sinθ=|cos< ⃗PC，⃗n>|=
1
PC 3
（ ）求出平面 的法向量、平面PAC的法向量，由向量的夹角公式可得答案．
设平面 与直线 所成的角为 ，则 ，
【3详解】（ ）∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，……… 分
1 11
所以平面 与直线PC所成角的正弦值为 ．………………… 分 设圆 的方程为： ，圆心 坐标 ， ，将 ， 点代
3
10
（ ）∵ 平面 ，
BD⊂平面
，∴
PA⊥BD
………… 分
∵AC⊥BD，PA∩AC=A，PA,AC⊂平面PAC
3 11
入可得： ，解得： ， ，……………………… 分
∴BD⊥平面PAC.∴平面PAC的法向量为⃗BD=(−2，2，0） 4
分
设平面 与平面PAC的夹角为α，则 …………13 由题意可得 ，所以 ，可得 ，……………… 分
4 √6 6
cosα=|cos< ⃗BD,⃗n>|= = ，
2√2×√3 3
所以圆 的方程为： ；……………………… 分
√6 8
所以平面 与平面PAC的夹角余弦值为 …………………… 分
3 （ ）由题意可得 且 ，………………… 分
15
18.【答案】（ ） ﹣ ﹣ ；（ ）证明见解析 2 9
2 2
1x y+ x2 y4 =0 2 . 联立与圆 的方程： ，整理得： ，可得
【分析】（ ）由圆 的方程求出 轴上的点 ， 的坐标，设圆 的一般方程求出圆
1
心 坐标，由题意过 ， 点代入圆的方程求出参数的值，又有与直线 相切，即 ， ，………………………………… 分
11
联立与圆 的方程： ，整理得： ，可得
可得参数的值，进而求出圆 的方程；
（ ）由题意将直线 分别于两个圆联立求出 ， 的坐标，注意不能相切，即 的值
， ，……………………………… 分
2
13
满足 且 ，进而求出直线 ， 的斜率，可得两条直线的斜率为定值 ，
因为 ， ，………………… 分
可得直线垂直，即可证明线段 为直径的圆恒过点 ．
15
【详解】解：（ ）由题意令 ，代入圆 中可得 ， ，可得： ，
，即 ，
1
所以以线段 为直径的圆恒过点 ．…………………………… 分
，……………………………… 分
17
19.【答案】 证明见解析
..2
(1) (2)
【分析】（ ）结合椭圆定义，用定义法求轨迹E的方程即可；
1（ ）易判断直线PQ斜率非零，令直线方程 ，利用斜率公式将 与韦达定
2
理关联，代入化简求值即可得解 .
. 故 为定值（与直线 的斜率无关）………………… 分
【详解】（ ）由点 在定圆M： 内，知圆N与圆M内切，
17
1
……………………………………………… 分
1
于是有 ，………………………………………… 分
3
由椭圆的定义可知，
动圆的圆心N的轨迹为一个以 ， 为焦点，以 为长轴长的椭圆，… 分
4 4
即 ，所以 ，…………………… 分
7
故点N的轨迹P的方程为 ………………… 分
8
（ ）当直线PQ斜率为零时， 或 两点重合，不满足题意，
2
设直线PQ方程为 ，………………………… 分
9
由 ，得 ，…………… 分
11
易知 ，
设点 ，所以 ，…………… 分
14
于是
